Ejercicios resueltos del método de sustitución

El método de sustitución consiste en despejar una de las incógnitas en una de las ecuaciones de un sistema y reemplazar su expresión algebraica en la otra ecuación. Mediante este procedimiento, convertimos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (2×2) en una sola ecuación lineal con una variable, cuya resolución es directa.

Este método resulta especialmente eficiente cuando al menos una de las incógnitas tiene coeficiente igual a 1 o −1, ya que permite realizar el despeje sin generar fracciones en los primeros pasos. Aunque suele aplicarse en sistemas 2×2, este mismo principio algebraico puede extenderse a sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas (3×3), eliminando una variable a la vez hasta reducir el problema.

Ejemplo

Para ilustrar el procedimiento en un sistema 2×2, analizamos el siguiente ejemplo introductorio:

$$\begin{cases} x + 3y = 6 \\ 5x - 2y = 13 \end{cases}$$

Identificamos cada ecuación con un número para mantener el orden durante todo el desarrollo:

$$x + 3y = 6 \quad (1)$$

$$5x - 2y = 13 \quad (2)$$

Observamos los coeficientes de las variables en ambas ecuaciones. En la ecuación (1), la variable x tiene coeficiente 1, por lo que es la opción más sencilla para despejar sin introducir fracciones:

$$x = 6 - 3y \quad (3)$$

A continuación, sustituimos la expresión hallada para x dentro de la ecuación (2). Es fundamental colocar la expresión entre paréntesis para aplicar la propiedad distributiva correctamente:

$$5(6 - 3y) - 2y = 13$$

Multiplicamos los términos dentro del paréntesis y agrupamos los términos semejantes que contienen a la variable y:

$$30 - 15y - 2y = 13$$

$$30 - 17y = 13$$

Restamos 30 en ambos miembros y dividimos entre −17 para obtener el valor numérico de la primera incógnita:

$$-17y = 13 - 30$$

$$-17y = -17$$

$$y = \frac{-17}{-17} = 1$$

Con el valor \(y = 1\) calculado, sustituimos este resultado en la ecuación (3) que ya teníamos despejada:

$$x = 6 - 3(1)$$

$$x = 6 - 3 = 3$$

De esta manera, obtenemos como solución los valores \(x = 3\) e \(y = 1\). En el plano cartesiano, esta solución representa el punto de intersección entre las dos rectas y suele expresarse en forma de par ordenado como \((x, y) = (3, 1)\), o bien como el conjunto solución \(S = \{(3, 1)\}\).

Para comprobar que estos valores satisfacen simultáneamente el sistema, sustituimos \(x = 3\) e \(y = 1\) en las ecuaciones originales (1) y (2):

En la ecuación (1):

$$3 + 3(1) = 3 + 3 = 6$$

En la ecuación (2):

$$5(3) - 2(1) = 15 - 2 = 13$$

Ambas igualdades se verifican, lo que confirma que el resultado obtenido es correcto.

Pasos para resolver un sistema por sustitución

Para resolver cualquier sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante este procedimiento, aplicamos la siguiente secuencia ordenada de pasos:

1. Despejar una incógnita: Elegimos una de las dos ecuaciones y aislamos una variable, priorizando aquella que tenga coeficiente 1 o −1 para evitar el cálculo con denominadores.
2. Sustituir en la otra ecuación: Reemplazamos la expresión obtenida en el lugar de dicha variable dentro de la ecuación que no hemos utilizado, escribiendo la expresión entre paréntesis.
3. Resolver la ecuación lineal resultante: Desarrollamos las operaciones algebraicas (propiedad distributiva y reducción de términos semejantes) para hallar el valor numérico de la incógnita restante.
4. Calcular la otra incógnita: Sustituimos el valor hallado en el paso anterior dentro de la ecuación despejada en el primer paso para determinar el valor de la segunda variable.
5. Verificar la solución: Reemplazamos los dos valores numéricos obtenidos en las dos ecuaciones originales para comprobar que ambas igualdades se cumplen con exactitud.

Tipos de soluciones

Al aplicar el método de sustitución en un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, no siempre obtenemos un único valor numérico para cada variable. Dependiendo de la relación entre las rectas que componen el sistema, podemos encontrarnos con tres escenarios algebraicos bien diferenciados:

Clasificación del sistema	Resultado algebraico al sustituir	Número de soluciones	Interpretación geométrica
Sistema compatible determinado (SCD)	Se obtiene un valor numérico único para cada variable: \(x = a\), \(y = b\).	Solución única \((a, b)\).	Dos rectas secantes que se cortan exactamente en un punto.
Sistema compatible indeterminado (SCI)	Las variables se cancelan por completo y resulta una identidad numérica verdadera, como \(0 = 0\) o \(c = c\).	Infinitas soluciones.	Dos rectas coincidentes (representan la misma recta en el plano).
Sistema incompatible (SI)	Las variables se cancelan por completo y resulta una contradicción numérica falsa, como \(0 = k\) con \(k \neq 0\).	No tiene solución.	Dos rectas paralelas que nunca se intersecan.

Para reconocer con rapidez estos casos durante la resolución práctica, analizamos cómo se comportan algebraicamente las ecuaciones cuando se anulan las incógnitas:

• Identidad verdadera (0 = 0): Si al sustituir la expresión y simplificar desaparecen todos los términos con variables y ambos miembros quedan iguales, significa que cualquier punto que pertenezca a la primera recta también pertenece a la segunda. En este caso, las ecuaciones son dependientes y el sistema tiene infinitas soluciones.
• Contradicción (0 = k): Si las incógnitas se eliminan pero la igualdad resultante es falsa (por ejemplo, 0 = 8 o -5 = 3), el sistema plantea una condición imposible de satisfacer. Geométricamente, las rectas son paralelas no coincidentes (tienen la misma dirección o pendiente, pero distinta posición), por lo que nunca comparten ningún punto.

Ejercicios resueltos

A continuación resolvemos una serie de problemas ordenados según su complejidad algebraica. En cada caso numeramos las ecuaciones para detallar los despejes, las sustituciones y la comprobación. En los últimos ejercicios resolveremos problemas de aplicación.

Ejercicio 1

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x + 4y = 17 \end{cases}$$

Solución

Identificamos cada una de las ecuaciones del sistema:

$$x + 2y = 7 \quad (1)$$

$$3x + 4y = 17 \quad (2)$$

Despejamos la incógnita x en la ecuación (1), ya que su coeficiente es igual a 1:

$$x = 7 - 2y \quad (3)$$

Sustituimos la expresión hallada para x en la ecuación (2):

$$3(7 - 2y) + 4y = 17$$

Aplicamos la propiedad distributiva y agrupamos los términos que contienen a la variable y:

$$21 - 6y + 4y = 17$$

$$21 - 2y = 17$$

Restamos 21 en ambos miembros y despejamos la variable:

$$-2y = 17 - 21$$

$$-2y = -4$$

$$y = \frac{-4}{-2} = 2$$

Sustituimos el valor \(y = 2\) en la ecuación (3) para calcular x:

$$x = 7 - 2(2)$$

$$x = 7 - 4 = 3$$

La solución del sistema es \(x = 3\) e \(y = 2\), que expresamos como el par ordenado \((x, y) = (3, 2)\).

Comprobamos el resultado sustituyendo en las ecuaciones iniciales:

En (1):

$$3 + 2(2) = 3 + 4 = 7$$

En (2):

$$3(3) + 4(2) = 9 + 8 = 17$$

Ambas igualdades se cumplen simultáneamente.

Ejercicio 2

$$\begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x + 2y = 12 \end{cases}$$

Solución

Asignamos una referencia a cada ecuación:

$$2x + y = 7 \quad (1)$$

$$3x + 2y = 12 \quad (2)$$

En este caso, la variable y en la ecuación (1) tiene coeficiente unitario. Despejamos y en (1):

$$y = 7 - 2x \quad (3)$$

Sustituimos la expresión obtenida en la ecuación (2):

$$3x + 2(7 - 2x) = 12$$

Desarrollamos el producto y agrupamos los términos semejantes:

$$3x + 14 - 4x = 12$$

$$-x + 14 = 12$$

Aislamos la incógnita x:

$$-x = 12 - 14$$

$$-x = -2$$

$$x = 2$$

Calculamos el valor de y reemplazando \(x = 2\) en la ecuación (3):

$$y = 7 - 2(2)$$

$$y = 7 - 4 = 3$$

Obtenemos como solución \(x = 2\) e \(y = 3\), correspondiente al punto \((x, y) = (2, 3)\).

Comprobamos los valores en ambas ecuaciones originales:

En (1):

$$2(2) + 3 = 4 + 3 = 7$$

En (2):

$$3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12$$

Las dos ecuaciones quedan verificadas.

Ejercicio 3

$$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 4x - y = 2 \end{cases}$$

Solución

Numeramos las ecuaciones del sistema:

$$2x + 3y = 8 \quad (1)$$

$$4x - y = 2 \quad (2)$$

Observamos que en la ecuación (2) la variable y tiene coeficiente −1. Para despejarla de forma directa sin alterar signos al final, sumamos y y restamos 2 en ambos miembros:

$$4x - 2 = y \implies y = 4x - 2 \quad (3)$$

Sustituimos esta expresión en la ecuación (1):

$$2x + 3(4x - 2) = 8$$

Efectuamos el producto distributivo:

$$2x + 12x - 6 = 8$$

$$14x - 6 = 8$$

Sumamos 6 en ambos miembros y despejamos x:

$$14x = 8 + 6$$

$$14x = 14$$

$$x = \frac{14}{14} = 1$$

Sustituimos el valor \(x = 1\) en la ecuación (3) para determinar el valor de y:

$$y = 4(1) - 2$$

$$y = 4 - 2 = 2$$

La solución del sistema es el par ordenado \((x, y) = (1, 2)\).

Comprobamos el par obtenido en las ecuaciones del enunciado:

En (1):

$$2(1) + 3(2) = 2 + 6 = 8$$

En (2):

$$4(1) - 2 = 4 - 2 = 2$$

El sistema queda verificado.

Ejercicio 4

$$\begin{cases} -x + 3y = 8 \\ 2x - 5y = -13 \end{cases}$$

Solución

Escribimos las referencias de las ecuaciones:

$$-x + 3y = 8 \quad (1)$$

$$2x - 5y = -13 \quad (2)$$

En la ecuación (1), la variable x tiene coeficiente −1. Sumamos x en ambos miembros y restamos 8 para aislarla:

$$3y - 8 = x \implies x = 3y - 8 \quad (3)$$

Sustituimos la expresión en la ecuación (2):

$$2(3y - 8) - 5y = -13$$

Distribuimos el factor 2 cuidando los signos y reducimos términos semejantes:

$$6y - 16 - 5y = -13$$

$$y - 16 = -13$$

Sumamos 16 en ambos miembros para hallar y:

$$y = -13 + 16$$

$$y = 3$$

Reemplazamos \(y = 3\) en la ecuación (3) para calcular x:

$$x = 3(3) - 8$$

$$x = 9 - 8 = 1$$

La solución corresponde a \(x = 1\) e \(y = 3\), es decir, el punto \((x, y) = (1, 3)\).

Comprobamos en las ecuaciones iniciales:

En (1):

$$-(1) + 3(3) = -1 + 9 = 8$$

En (2):

$$2(1) - 5(3) = 2 - 15 = -13$$

Ambas igualdades confirman la solución.

Ejercicio 5

Resolver y clasificar el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{cases} 3x - y = 3 \\ 9x - 3y = 9 \end{cases}$$

Solución

Identificamos las ecuaciones:

$$3x - y = 3 \quad (1)$$

$$9x - 3y = 9 \quad (2)$$

Aislamos la variable y en la ecuación (1):

$$3x - 3 = y \implies y = 3x - 3 \quad (3)$$

Sustituimos la expresión de y en la ecuación (2):

$$9x - 3(3x - 3) = 9$$

Aplicamos la propiedad distributiva con el factor −3:

$$9x - 9x + 9 = 9$$

Los términos con la variable x se anulan entre sí:

$$0x + 9 = 9$$

$$9 = 9$$

O bien, restando 9 en ambos lados, obtenemos la igualdad \(0 = 0\).

Al eliminarse las variables, el desarrollo conduce a una identidad matemática que resulta verdadera para cualquier valor real. Esto indica que las dos ecuaciones son equivalentes y describen la misma recta en el plano cartesiano.

Por lo tanto, se trata de un sistema compatible indeterminado (SCI) y admite infinitas soluciones. El conjunto solución está formado por todos los pares de la forma \((x, 3x - 3)\) con \(x \in \mathbb{R}\).

Ejercicio 6

Encontrar la solución del sistema:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 3x + 4y = 0 \end{cases}$$

Solución

Numeramos las ecuaciones del sistema:

$$2x + 3y = 1 \quad (1)$$

$$3x + 4y = 0 \quad (2)$$

Dado que ningún coeficiente es igual a 1 ni a −1, el despeje generará necesariamente una fracción. Despejamos la incógnita x en la ecuación (1):

$$2x = 1 - 3y \implies x = \frac{1 - 3y}{2} \quad (3)$$

Sustituimos esta expresión fraccionaria en la ecuación (2):

$$3\left(\frac{1 - 3y}{2}\right) + 4y = 0$$

Multiplicamos el numerador por el factor 3:

$$\frac{3 - 9y}{2} + 4y = 0$$

Para eliminar el denominador 2, multiplicamos todos los términos de la ecuación por 2:

$$(3 - 9y) + 2(4y) = 2(0)$$

$$3 - 9y + 8y = 0$$

Reducimos los términos semejantes y despejamos la variable y:

$$3 - y = 0 \implies y = 3$$

Calculamos el valor de x reemplazando \(y = 3\) en la ecuación (3):

$$x = \frac{1 - 3(3)}{2} = \frac{1 - 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

La solución del sistema es \(x = -4\) e \(y = 3\), que corresponde al punto \((x, y) = (-4, 3)\).

Comprobamos el resultado en las ecuaciones iniciales:

En (1):

$$2(-4) + 3(3) = -8 + 9 = 1$$

En (2):

$$3(-4) + 4(3) = -12 + 12 = 0$$

Ambas ecuaciones se verifican de forma simultánea.

Ejercicio 7

$$\begin{cases} 2x - y = 5 \\ 4x - 2y = 7 \end{cases}$$

Solución

Identificamos las dos ecuaciones:

$$2x - y = 5 \quad (1)$$

$$4x - 2y = 7 \quad (2)$$

Aislamos la variable y en la ecuación (1) sumando y y restando 5:

$$2x - 5 = y \implies y = 2x - 5 \quad (3)$$

Sustituimos la expresión en la ecuación (2):

$$4x - 2(2x - 5) = 7$$

Aplicamos la propiedad distributiva con el factor −2:

$$4x - 4x + 10 = 7$$

Al restar los términos con la variable x, estos se cancelan:

$$0x + 10 = 7$$

$$10 = 7$$

O equivalentemente, restando 10 en ambos lados, obtenemos la igualdad falsa \(0 = -3\).

La eliminación completa de las incógnitas conduce a una contradicción aritmética. Esto demuestra que no existe ningún par de números reales \((x, y)\) que cumpla ambas condiciones al mismo tiempo. En el plano cartesiano, las rectas tienen igual pendiente pero diferente ordenada, por lo que son paralelas y nunca se cruzan.

Concluimos que es un sistema incompatible (SI) y no tiene solución. Su conjunto solución es el conjunto vacío: \(S = \emptyset\).

Ejercicio 8

Determinar la solución del siguiente sistema lineal:

$$\begin{cases} 2x + 5y = 5 \\ 3x + 7y = 36 \end{cases}$$

Solución

Asignamos una numeración a cada ecuación:

$$2x + 5y = 5 \quad (1)$$

$$3x + 7y = 36 \quad (2)$$

Despejamos la incógnita x en la ecuación (1):

$$2x = 5 - 5y \implies x = \frac{5 - 5y}{2} \quad (3)$$

Sustituimos la expresión resultante en la ecuación (2):

$$3\left(\frac{5 - 5y}{2}\right) + 7y = 36$$

Distribuimos el factor 3 en el numerador:

$$\frac{15 - 15y}{2} + 7y = 36$$

Multiplicamos toda la ecuación por 2 para trabajar sin denominadores:

$$(15 - 15y) + 2(7y) = 2(36)$$

$$15 - 15y + 14y = 72$$

Reducimos los términos con la incógnita y y agrupamos las constantes:

$$15 - y = 72$$

$$-y = 72 - 15$$

$$-y = 57 \implies y = -57$$

Reemplazamos el valor \(y = -57\) en la ecuación despejada (3):

$$x = \frac{5 - 5(-57)}{2} = \frac{5 + 285}{2} = \frac{290}{2} = 145$$

Obtenemos como solución \(x = 145\) e \(y = -57\), que expresamos como el par ordenado \((x, y) = (145, -57)\).

Verificamos la solución en ambas ecuaciones originales:

En (1):

$$2(145) + 5(-57) = 290 - 285 = 5$$

En (2):

$$3(145) + 7(-57) = 435 - 399 = 36$$

Las dos igualdades resultan verdaderas.

Ejercicio 9

Hallar los valores de x e y que satisfacen el sistema:

$$\begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} = 4 \\ \\ x - \dfrac{y}{2} = 1 \end{cases}$$

Solución

Identificamos las ecuaciones iniciales:

$$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4 \quad (1)$$

$$x - \frac{y}{2} = 1 \quad (2)$$

Cuando un sistema contiene fracciones en su planteamiento original, el procedimiento más ordenado consiste en multiplicar cada ecuación por el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de sus denominadores para transformarlo en un sistema entero equivalente.

En la ecuación (1), los denominadores son 2 y 3, cuyo m.c.m. es 6. Multiplicamos ambos miembros por 6:

$$6\left(\frac{x}{2}\right) + 6\left(\frac{y}{3}\right) = 6(4) \implies 3x + 2y = 24 \quad (1')$$

En la ecuación (2), multiplicamos ambos miembros por 2 para cancelar el denominador:

$$2(x) - 2\left(\frac{y}{2}\right) = 2(1) \implies 2x - y = 2 \quad (2')$$

Con el sistema ya preparado sin fracciones, aislamos la variable y en la ecuación (2'):

$$2x - 2 = y \implies y = 2x - 2 \quad (3)$$

Sustituimos esta expresión en la ecuación (1'):

$$3x + 2(2x - 2) = 24$$

Aplicamos la propiedad distributiva y agrupamos los términos en x:

$$3x + 4x - 4 = 24$$

$$7x - 4 = 24$$

Sumamos 4 en ambos lados y dividimos entre 7:

$$7x = 24 + 4$$

$$7x = 28$$

$$x = \frac{28}{7} = 4$$

Calculamos el valor de y sustituyendo \(x = 4\) en la ecuación (3):

$$y = 2(4) - 2 = 8 - 2 = 6$$

El punto de intersección es \((x, y) = (4, 6)\).

Comprobamos los valores directamente en las ecuaciones con fracciones originales:

En (1):

$$\frac{4}{2} + \frac{6}{3} = 2 + 2 = 4$$

En (2):

$$4 - \frac{6}{2} = 4 - 3 = 1$$

El resultado queda completamente verificado.

Ejercicio 10

$$\begin{cases} \dfrac{2x + y}{3} = 5 \\ \\ \dfrac{x - 3y}{4} = 2 \end{cases}$$

Solución

Numeramos las ecuaciones dadas:

$$\frac{2x + y}{3} = 5 \quad (1)$$

$$\frac{x - 3y}{4} = 2 \quad (2)$$

Cuando un miembro completo se encuentra dividido por una constante, despejamos la expresión pasando el denominador a multiplicar directamente al miembro opuesto.

En la ecuación (1), multiplicamos ambos lados por 3:

$$2x + y = 5 \cdot 3 \implies 2x + y = 15 \quad (1')$$

En la ecuación (2), multiplicamos ambos lados por 4:

$$x - 3y = 2 \cdot 4 \implies x - 3y = 8 \quad (2')$$

Aislamos la variable x en la ecuación (2') sumando \(3y\):

$$x = 8 + 3y \quad (3)$$

Sustituimos la expresión de x en la ecuación (1'):

$$2(8 + 3y) + y = 15$$

Distribuimos el producto y agrupamos los términos con y:

$$16 + 6y + y = 15$$

$$16 + 7y = 15$$

Restamos 16 en ambos miembros:

$$7y = 15 - 16$$

$$7y = -1$$

$$y = -\frac{1}{7}$$

Calculamos el valor de x reemplazando \(y = -\frac{1}{7}\) en la ecuación (3):

$$x = 8 + 3\left(-\frac{1}{7}\right) = 8 - \frac{3}{7}$$

Escribimos 8 con denominador común 7 multiplicando por \(\frac{7}{7}\):

$$x = \frac{56}{7} - \frac{3}{7} = \frac{53}{7}$$

La solución del sistema se expresa de forma exacta como las fracciones irreducibles \(x = \frac{53}{7}\) e \(y = -\frac{1}{7}\), es decir, el par ordenado \((x, y) = \left(\frac{53}{7}, -\frac{1}{7}\right)\).

Comprobamos los resultados sustituyendo en las expresiones originales:

En (1):

$$\frac{2\left(\frac{53}{7}\right) + \left(-\frac{1}{7}\right)}{3} = \frac{\frac{106}{7} - \frac{1}{7}}{3} = \frac{\frac{105}{7}}{3} = \frac{15}{3} = 5$$

En (2):

$$\frac{\frac{53}{7} - 3\left(-\frac{1}{7}\right)}{4} = \frac{\frac{53}{7} + \frac{3}{7}}{4} = \frac{\frac{56}{7}}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

Ambas ecuaciones satisfacen los valores calculados.

Ejercicio 11

Hallar la solución del sistema:

$$\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 3x + 2y = 8 \end{cases}$$

Solución

Identificamos las dos ecuaciones dadas:

$$y = 2x - 3 \quad (1)$$

$$3x + 2y = 8 \quad (2)$$

Cuando una de las ecuaciones se presenta con una incógnita ya aislada en uno de sus miembros, el primer paso del método ya se encuentra resuelto. No es necesario reordenar los términos; sustituimos de forma directa la expresión de y dada en la ecuación (1) dentro de la ecuación (2):

$$3x + 2(2x - 3) = 8$$

Aplicamos la propiedad distributiva con el factor 2:

$$3x + 4x - 6 = 8$$

$$7x - 6 = 8$$

Sumamos 6 en ambos miembros y despejamos la variable x:

$$7x = 8 + 6$$

$$7x = 14$$

$$x = \frac{14}{7} = 2$$

Calculamos el valor de y reemplazando \(x = 2\) en la ecuación (1):

$$y = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$$

La solución del sistema es \(x = 2\) e \(y = 1\), correspondiente al par ordenado \((x, y) = (2, 1)\).

Comprobamos en ambas ecuaciones del enunciado:

En (1):

$$1 = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1$$

En (2):

$$3(2) + 2(1) = 6 + 2 = 8$$

Ambas igualdades se satisfacen.

Ejercicio 12

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{cases} 3(x - 1) + 2y = x + 1 \\ 2x - (y + 3) = 1 \end{cases}$$

Solución

Antes de aplicar el método de sustitución, es conveniente eliminar los paréntesis y agrupar los términos semejantes para llevar cada ecuación a su forma estándar \(Ax + By = C\).

Desarrollamos y simplificamos la primera ecuación:

$$3x - 3 + 2y = x + 1$$

$$3x - x + 2y = 1 + 3$$

$$2x + 2y = 4 \quad (1')$$

Podemos simplificar aún más la ecuación (1') dividiendo todos sus términos entre 2:

$$x + y = 2 \quad (1'')$$

Desarrollamos y simplificamos la segunda ecuación prestando atención al signo menos que antecede al paréntesis:

$$2x - y - 3 = 1$$

$$2x - y = 1 + 3$$

$$2x - y = 4 \quad (2')$$

Con el sistema equivalente ya ordenado, despejamos la incógnita y en la ecuación (1''):

$$y = 2 - x \quad (3)$$

Sustituimos la expresión en la ecuación (2'):

$$2x - (2 - x) = 4$$

Distribuimos el signo negativo y agrupamos términos semejantes:

$$2x - 2 + x = 4$$

$$3x - 2 = 4$$

Sumamos 2 en ambos lados y despejamos x:

$$3x = 4 + 2$$

$$3x = 6$$

$$x = \frac{6}{3} = 2$$

Sustituimos \(x = 2\) en la ecuación (3) para calcular y:

$$y = 2 - 2 = 0$$

El punto solución es \((x, y) = (2, 0)\).

Comprobamos en las expresiones originales del enunciado:

En la primera ecuación:

$$3(2 - 1) + 2(0) = 2+1 ⇒ 3 = 3$$

En la segunda ecuación:

$$2(2) - (0 + 3) = 4 - 3 = 1$$

Ambas igualdades se cumplen con exactitud.

Ejercicio 13

$$\begin{cases} 15x - 11y = 32 \\ 7y - 9x = 8 \end{cases}$$

Solución

Asignamos una numeración a cada ecuación:

$$15x - 11y = 32 \quad (1)$$

$$7y - 9x = 8 \quad (2)$$

Notamos que en la ecuación (2) las variables aparecen en orden inverso (\(y\) antecede a \(x\)). Al realizar la sustitución, debemos identificar con cuidado la variable correspondiente para evitar reemplazar una incógnita en la posición incorrecta.

Despejamos la variable x en la ecuación (2), aislando el término con signo negativo:

$$7y - 8 = 9x \implies x = \frac{7y - 8}{9} \quad (3)$$

Sustituimos esta expresión en el lugar de x dentro de la ecuación (1):

$$15\left(\frac{7y - 8}{9}\right) - 11y = 32$$

Simplificamos el factor 15 con el denominador 9 dividiendo ambos por 3:

$$5\left(\frac{7y - 8}{3}\right) - 11y = 32$$

Distribuimos el factor 5 en el numerador:

$$\frac{35y - 40}{3} - 11y = 32$$

Multiplicamos toda la ecuación por 3 para eliminar el denominador:

$$(35y - 40) - 3(11y) = 3(32)$$

$$35y - 40 - 33y = 96$$

Reducimos términos semejantes y sumamos 40 en ambos miembros:

$$2y - 40 = 96$$

$$2y = 96 + 40$$

$$2y = 136$$

$$y = \frac{136}{2} = 68$$

Reemplazamos \(y = 68\) en la ecuación (3) para calcular el valor de x:

$$x = \frac{7(68) - 8}{9} = \frac{476 - 8}{9} = \frac{468}{9} = 52$$

La solución del sistema es \(x = 52\) e \(y = 68\), que corresponde al punto \((x, y) = (52, 68)\).

Comprobamos el resultado en las dos ecuaciones del enunciado:

En (1):

$$15(52) - 11(68) = 780 - 748 = 32$$

En (2):

$$7(68) - 9(52) = 476 - 468 = 8$$

Ambas relaciones quedan confirmadas.

Ejercicio 14

Determinar los valores de m y n que satisfacen el sistema:

$$\begin{cases} 2m + 5n = 14 \\ 5m + 2n = 23 \end{cases}$$

Solución

El método de sustitución opera sobre cualquier par de incógnitas independientemente de las letras utilizadas en su formulación. Identificamos las ecuaciones:

$$2m + 5n = 14 \quad (1)$$

$$5m + 2n = 23 \quad (2)$$

Despejamos la incógnita m en la ecuación (1):

$$2m = 14 - 5n \implies m = \frac{14 - 5n}{2} \quad (3)$$

Sustituimos la expresión en la ecuación (2):

$$5\left(\frac{14 - 5n}{2}\right) + 2n = 23$$

Multiplicamos el numerador por 5:

$$\frac{70 - 25n}{2} + 2n = 23$$

Multiplicamos todos los términos de la ecuación por 2 para eliminar la fracción:

$$(70 - 25n) + 2(2n) = 2(23)$$

$$70 - 25n + 4n = 46$$

Reducimos términos semejantes y agrupamos las constantes:

$$70 - 21n = 46$$

$$-21n = 46 - 70$$

$$-21n = -24$$

$$n = \frac{-24}{-21} = \frac{8}{7}$$

Sustituimos el valor fraccionario \(n = \frac{8}{7}\) en la ecuación (3) para calcular m:

$$m = \frac{14 - 5\left(\frac{8}{7}\right)}{2} = \frac{14 - \frac{40}{7}}{2}$$

Expresamos 14 como fracción equivalente con denominador 7 (\(14 = \frac{98}{7}\)):

$$m = \frac{\frac{98}{7} - \frac{40}{7}}{2} = \frac{\frac{58}{7}}{2} = \frac{58}{14} = \frac{29}{7}$$

La solución del sistema se expresa mediante los valores exactos \(m = \frac{29}{7}\) y \(n = \frac{8}{7}\), o en forma de par ordenado \((m, n) = \left(\frac{29}{7}, \frac{8}{7}\right)\).

Comprobamos en las ecuaciones iniciales:

En (1):

$$2\left(\frac{29}{7}\right) + 5\left(\frac{8}{7}\right) = \frac{58}{7} + \frac{40}{7} = \frac{98}{7} = 14$$

En (2):

$$5\left(\frac{29}{7}\right) + 2\left(\frac{8}{7}\right) = \frac{145}{7} + \frac{16}{7} = \frac{161}{7} = 23$$

El sistema queda verificado con exactitud.

Ejercicio 15

Resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:

\(\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + y - z = 1 \\ x - y + z = 2 \end{cases}\)

Solución

Aunque en sistemas de 3×3 suelen emplearse métodos como la eliminación de Gauss o la regla de Cramer, el método de sustitución puede aplicarse siguiendo un orden riguroso: aislamos una incógnita en una ecuación pivote y la sustituimos en las otras dos, reduciendo el problema a un sistema equivalente de 2×2.

Numeramos las tres ecuaciones:

$$x + y + z = 6 \quad (1)$$

$$2x + y - z = 1 \quad (2)$$

$$x - y + z = 2 \quad (3)$$

Despejamos la incógnita x en la ecuación (1):

$$x = 6 - y - z \quad (4)$$

Sustituimos la expresión de x en las ecuaciones (2) y (3):

En la ecuación (2):

$$2(6 - y - z) + y - z = 1$$

$$12 - 2y - 2z + y - z = 1$$

$$-y - 3z = 1 - 12$$

$$-y - 3z = -11 \implies y + 3z = 11 \quad (5)$$

En la ecuación (3):

$$(6 - y - z) - y + z = 2$$

$$6 - 2y = 2$$

$$-2y = 2 - 6$$

$$-2y = -4 \implies y = \frac{-4}{-2} = 2$$

En este caso, la variable z se canceló de forma directa en la ecuación (3), permitiendo calcular de inmediato \(y = 2\). Reemplazamos este valor en la ecuación (5) para hallar z:

$$2 + 3z = 11$$

$$3z = 11 - 2$$

$$3z = 9$$

$$z = \frac{9}{3} = 3$$

Con los valores \(y = 2\) y \(z = 3\) determinados, calculamos la incógnita restante sustituyendo en la ecuación (4):

$$x = 6 - 2 - 3 = 1$$

La solución única del sistema es la terna ordenada \((x, y, z) = (1, 2, 3)\).

Comprobamos los valores en las tres ecuaciones iniciales:

En (1):

$$1 + 2 + 3 = 6$$

En (2):

$$2(1) + 2 - 3 = 2 + 2 - 3 = 1$$

En (3):

$$1 - 2 + 3 = 2$$

Las tres igualdades se satisfacen simultáneamente.

Ejercicio 16

La suma de dos números enteros es 45. Si uno de ellos es igual al doble del otro aumentado en 6 unidades, ¿cuáles son dichos números?

Solución

Definimos las incógnitas del problema:

• x: primer número entero.
• y: segundo número entero.

Traducimos las condiciones del enunciado a ecuaciones algebraicas:

$$x + y = 45 \quad (1)$$

$$x = 2y + 6 \quad (2)$$

La ecuación (2) ya presenta la incógnita x despejada. Sustituimos directamente esta expresión en la ecuación (1):

$$(2y + 6) + y = 45$$

Agrupamos los términos semejantes y restamos 6 en ambos lados:

$$3y + 6 = 45$$

$$3y = 45 - 6$$

$$3y = 39$$

$$y = \frac{39}{3} = 13$$

Sustituimos el valor \(y = 13\) en la ecuación (2) para calcular x:

$$x = 2(13) + 6 = 26 + 6 = 32$$

Los números buscados son 32 y 13.

Comprobamos en las condiciones del enunciado: la suma es \(32 + 13 = 45\), y el mayor excede en 6 unidades al doble del menor: \(2(13) + 6 = 32\).

Ejercicio 17

El perímetro de un terreno rectangular es de 56 metros. Si la longitud del largo excede en 4 metros al triple del ancho, determinar las dimensiones del terreno.

Solución

Establecemos las variables para las magnitudes geométricas:

• L: longitud del largo del rectángulo en metros.
• A: longitud del ancho del rectángulo en metros.

El perímetro de un rectángulo se define mediante la fórmula \(P = 2L + 2A\). Planteamos el sistema con los datos proporcionados:

$$2L + 2A = 56 \quad (1)$$

$$L = 3A + 4 \quad (2)$$

Simplificamos la ecuación (1) dividiendo todos sus términos entre 2:

$$L + A = 28 \quad (1')$$

Sustituimos la expresión de L de la ecuación (2) dentro de la ecuación (1'):

$$(3A + 4) + A = 28$$

Reducimos términos semejantes y aislamos A:

$$4A + 4 = 28$$

$$4A = 28 - 4$$

$$4A = 24$$

$$A = \frac{24}{4} = 6$$

Calculamos el largo L sustituyendo \(A = 6\) en la ecuación (2):

$$L = 3(6) + 4 = 18 + 4 = 22$$

Las dimensiones del terreno son 22 metros de largo y 6 metros de ancho.

Comprobamos en el perímetro original: \(2(22) + 2(6) = 44 + 12 = 56\text{ metros}\).

Ejercicio 18

Para una función de teatro se vendieron 150 entradas en total, divididas entre generales a 8 dólares y de estudiantes a 5 dólares. Si la recaudación total fue de 960 dólares, ¿cuántas entradas de cada tipo se vendieron?

Solución

Definimos las cantidades de cada tipo de boleto:

• x: número de entradas generales vendidas.
• y: número de entradas de estudiantes vendidas.

Formulamos una ecuación para la cantidad total de boletos y otra para el valor monetario total recaudado:

$$x + y = 150 \quad (1)$$

$$8x + 5y = 960 \quad (2)$$

Despejamos la incógnita x en la ecuación (1):

$$x = 150 - y \quad (3)$$

Sustituimos la expresión en la ecuación (2):

$$8(150 - y) + 5y = 960$$

Aplicamos la propiedad distributiva:

$$1200 - 8y + 5y = 960$$

$$1200 - 3y = 960$$

Restamos 1200 en ambos lados y despejamos y:

$$-3y = 960 - 1200$$

$$-3y = -240$$

$$y = \frac{-240}{-3} = 80$$

Calculamos el valor de x sustituyendo \(y = 80\) en la ecuación (3):

$$x = 150 - 80 = 70$$

Se vendieron 70 entradas generales y 80 entradas de estudiantes.

Comprobamos la recaudación con los precios unitarios: \(70(8) + 80(5) = 560 + 400 = 960\text{ dólares}\).

Ejercicio 19

En la actualidad, la edad de un padre es el triple de la edad de su hija. Dentro de 12 años, la edad del padre será el doble de la que tenga su hija en ese momento. ¿Qué edad tiene cada uno actualmente?

Solución

Identificamos las incógnitas para las edades en el tiempo presente:

• P: edad actual del padre.
• H: edad actual de la hija.

Dentro de 12 años, la edad del padre será \(P + 12\) y la de su hija será \(H + 12\). Planteamos las dos ecuaciones:

$$P = 3H \quad (1)$$

$$P + 12 = 2(H + 12) \quad (2)$$

Sustituimos la expresión \(P = 3H\) de la ecuación (1) dentro de la ecuación (2):

$$3H + 12 = 2(H + 12)$$

Aplicamos la propiedad distributiva en el miembro derecho:

$$3H + 12 = 2H + 24$$

Agrupamos los términos con la incógnita H a la izquierda y los números a la derecha:

$$3H - 2H = 24 - 12$$

$$H = 12$$

Calculamos la edad del padre sustituyendo \(H = 12\) en la ecuación (1):

$$P = 3(12) = 36$$

Actualmente, el padre tiene 36 años y la hija tiene 12 años.

Comprobamos la relación futura: dentro de 12 años el padre tendrá 48 y la hija 24, cumpliéndose que \(48 = 2(24)\).

Ejercicio 20

Un centro de entrenamiento ofrece dos planes de suscripción mensual. El Plan A cobra una matrícula básica de 20 dólares más 4 dólares por cada clase dirigida. El Plan B no cobra matrícula pero tiene una cuota fija de 35 dólares más 1.50 dólares por clase. ¿A cuántas clases debe asistir una persona en el mes para que el costo total de ambos planes sea el mismo?

Solución

Definimos las variables del modelo de costos:

• C: costo total a pagar en el mes en dólares.
• n: cantidad de clases dirigidas a las que asiste el usuario.

Escribimos la función de costo para cada plan:

$$C = 20 + 4n \quad (1)$$

$$C = 35 + 1.5n \quad (2)$$

Dado que ambas ecuaciones expresan el valor de la misma incógnita dependiente C, sustituimos la expresión de la ecuación (1) en la ecuación (2):

$$20 + 4n = 35 + 1.5n$$

Agrupamos los términos que contienen la variable n a la izquierda y los términos constantes a la derecha:

$$4n - 1.5n = 35 - 20$$

$$2.5n = 15$$

Dividimos entre 2.5 para calcular n:

$$n = \frac{15}{2.5} = 6$$

Sustituimos \(n = 6\) en la ecuación (1) para determinar el costo monetario correspondiente:

$$C = 20 + 4(6) = 20 + 24 = 44$$

Una persona debe asistir a 6 clases al mes para que ambos planes tengan el mismo costo, el cual asciende a 44 dólares.

Comprobamos en el Plan B con 6 clases: \(C = 35 + 1.5(6) = 35 + 9 = 44\text{ dólares}\).