Leyes lógicas

Una ley lógica (también llamada tautología) es una proposición compuesta que resulta siempre verdadera, independientemente del valor de verdad de las proposiciones que la conforman. Estas leyes constituyen principios universales de la lógica, pues expresan equivalencias y relaciones que se cumplen en todo caso posible.

Su utilidad radica en que permiten transformar y simplificar expresiones lógicas, así como construir demostraciones rigurosas en matemáticas y filosofía. Para verificar que una proposición es una ley lógica basta con elaborar su tabla de verdad, en la cual debe comprobarse que en todas las combinaciones posibles de valores aparece como verdadera.

Leyes fundamentales

Las leyes fundamentales de la lógica constituyen los principios básicos del pensamiento racional. Se trata de reglas universales que garantizan la coherencia y validez de los razonamientos, y que sirven de punto de partida para todo el desarrollo posterior de la lógica formal. Estas leyes no son simples convenciones, sino que expresan condiciones necesarias para que el conocimiento pueda ser comunicado, discutido y fundamentado de manera rigurosa.

Leyes de identidad

Establecen que toda proposición es idéntica a sí misma. Afirma que si una proposición es verdadera, entonces es verdadera, y si es falsa, entonces es falsa. Este principio asegura que un concepto o proposición no puede cambiar su valor de verdad en el curso de un razonamiento.

p ≡ p

p → p

Ejemplos: "Un perro es un perro", "Si llueve, entonces llueve".

Ley de la no contradicción

Es imposible que una proposición sea verdadera y falsa al mismo tiempo y bajo las mismas circunstancias. Este principio es crucial para evitar incoherencias en el razonamiento.

¬ (p ∧ ¬p)

Ejemplo: "Es imposible que esté lloviendo y no esté lloviendo a la vez".

Ley del tercero excluido

Una proposición es o bien verdadera o bien falsa, sin que exista una tercera opción. Este principio es la base del razonamiento por casos y de la demostración por reducción al absurdo.

p ∨ ¬p

Ejemplo: “Ese animal o es un perro o no es un perro”.

Leyes principales de la lógica proposicional

Las leyes de la lógica proposicional, también conocidas como equivalencias lógicas, son principios fundamentales que rigen la manipulación y simplificación de proposiciones. Estas leyes establecen relaciones de equivalencia entre fórmulas lógicas, permitiendo la sustitución de una expresión por otra sin alterar su valor de verdad.

Nombre	Simbología	Descripción
Involución o doble negación	¬(¬p) ≡ p	La negación de la negación de una proposición es equivalente a la proposición
Ley de De Morgan de negación de la conjunción	¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q	La negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones
Ley de De Morgan de negación de la disyunción	¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q	La negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones
Conmutatividad	p ∨ q ≡ q ∨ p p ∧ q ≡ q ∧ p	El orden de las proposiciones no altera el resultado en una conjunción o disyunción
Asociatividad	p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r	Está permitido asociar proposiciones en una cadena de conjunciones o de disyunciones
Distributividad	(p ∨ q) ∧ r ≡ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) (p ∧ q) ∨ r ≡ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)	La conjunción es distributiva respecto a la disyunción y viceversa
Idempotencia	p ∧ p ≡ p p ∨ p ≡ p	La conjunción o disyunción de una proposición consigo misma es equivalente a la misma proposición
Leyes de absorción	p ∨ (p ∧ q) ≡ p p ∧ (p ∨ q) ≡ p	La disyunción de una proposición con una conjunción donde ella misma aparece es equivalente a la proposición original, lo mismo ocurre si se intercambian los símbolos

Leyes relacionadas con los condicionales

El condicional es una de las conectivas lógicas más importantes y, a la vez, una de las menos intuitivas para el razonamiento cotidiano. Su análisis resulta esencial en lógica y matemáticas, ya que gran parte de las demostraciones y razonamientos formales se construyen a partir de enunciados condicionales. Por esta razón, es fundamental conocer no solo su definición formal, sino también las equivalencias más relevantes que permiten transformarlo en otras expresiones lógicas.

Nombre	Simbología	Descripción
Definición de condicional	p → q ≡ ¬p ∨ q	El condicional es equivalente a la disyunción entre la negación del antecedente y el consecuente
Negación del condicional	¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q	La negación de un condicional es equivalente a la conjunción del antecedente y la negación del consecuente
Ley del contrarrecíproco, contraposición o transposición	(p → q) ≡ (¬q → ¬p)	La implicación lógica puede expresarse en forma contrarrecíproca negando y permutando el orden de las proposiciones
Definición de bicondicional o equivalencia	(p ↔ q) ≡ [(p → q) ∧ (q → p)] (p ↔ q) ≡ [(p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)]	El bicondicional es equivalente a la conjunción de dos condicionales: uno de ida y otro de vuelta
Negación del bicondicional	¬(p ↔ q) ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)	Negar una equivalencia es lo mismo que afirmar que una proposición es verdadera y la otra falsa, o viceversa
Contraposición del bicondicional	(p ↔ q) ≡ (¬q ↔ ¬p)	El bicondicional de dos proposiciones es equivalente al bicondicional de las negaciones
Ley de permutación	[p → (q → r)] ≡ [q → (p → r)]	El orden de los antecedentes en una implicación encadenada puede invertirse sin alterar su valor lógico.
Leyes de expansión	(p → q) ≡ [(p ∨ q) ↔ q] (p → q) ≡ [(p ∧ q) ↔ p]	Un condicional puede expresarse como un bicondicional entre la conjunción (o disyunción) de sus componentes y el consecuente (o el antecedente)

Reglas de inferencia

Las reglas de inferencia son patrones que permiten deducir una nueva proposición válida a partir de una o más proposiciones premisas que se consideran verdaderas.

Nombre	Simbología
Modus Ponens	[(p → q) ∧ p] → q
Modus Tollens	[(p → q) ∧ ¬q] → ¬p
Silogismo	(p → q) → [(q → r) → ( p → r)]
Silogismo disyuntivo	[(p ∨ q) ∧ ¬p] → q [(p ∨ q) ∧ ¬q] → p
Transitividad o silogismo hipotético	[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) [(p ↔ q) ∧ (q ↔ r)] → (p ↔ r)
Simplificación	p ∧ q → p p ∧ q → q
Adición	p → p ∨ q q → p ∨ q
Dilema constructivo	[( p ∨ q) ∧ ( p → r) ∧ (q → r)] → r
Segunda ley del dilema constructivo	[(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r)] → (q ∨ s)
Dilema destructivo	[(p → q) ∧ (r → s) ∧ (¬q ∨ ¬s) ] → (¬p ∨ ¬r)
Ley de casos	[(p → q) ∧ (¬p → ¬q)] → q
Exportación	[(p ∧ q) → r] ≡ [p → (q ∧ r)]

Bibliografía

• Acevedo González, G. (2011). Lógica Matemática. Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD).
• Castillo P, E. y Pinta, M. (2015). Lógica Matemática I: Proposiciones y Leyes de Inferencia (2da edición). Universidad Técnica de Machala.
• Copi, I. y Cohen, C. (2013). Introducción a la Lógica (2da edición). Limusa.
• Garrido, M. (1974). Lógica simbólica (4ta edición). Tecnos.
• Gentile, E. (1984). Notas de Álgebra I. Editorial Universitaria de Buenos Aires.
• Moreno, A. (1969). Lógica matemática: antecedentes y fundamentos. Editorial Universitaria de Buenos Aires.
• Rojo, A. (1996). Álgebra I (18a edición). El Ateneo.