Función cúbica

Una función cúbica es una función polinómica de tercer grado, es decir, que puede ser escrita de la forma f(x)=ax³+bx²+cx+d donde a, b, c y d son números reales llamados coeficientes y a≠0. El número a que está multiplicando a x³ se llama coeficiente principal.

Algunos ejemplos de funciones cúbicas son:

1. \(y=x^3\)
2. \(y=-x^3\)
3. \(y=x^3+3\)
4. \(y=-x^3-3x\)
5. \(y=2x^3+5x^2-3x+2\)
6. \(y=-6x^3-3x^2+1\)
7. \(y=-x^3-2x+6\)

Las funciones cúbicas tienen diversas aplicaciones, por ejemplo, para calcular volúmenes de objetos y estructuras que tienen una forma cúbica o que están compuestos por formas cúbicas, como cajas, habitaciones o contenedores. Asimismo, son útiles en el diseño de estructuras, ya que una relación cúbica puede ofrecer tanto estética como funcionalidad.

Características

Las características y propiedades de una función cúbica son las siguientes:

• Dominio y rango: toda función cúbica tiene por dominio y rango al conjunto de los números reales.
• Gráfica: la gráfica de una función cúbica es una curva suave y continua.
• Intersección con el eje y: ocurre en el punto (0, d), donde d es el término independiente.
• Ceros o raíces: las funciones cúbicas pueden de uno a tres cortes con el eje x.
• Continuidad: las funciones cúbicas son continuas en todo su dominio.
• Simetría: las funciones cúbicas de la forma y=ax³+cx son impares, es decir, simétricas respecto al origen de coordenadas.
• Concavidad: toda función de tercer grado tiene un intervalo donde es cóncava hacia arriba (convexa) y otro donde es cóncava hacia abajo (cóncava).
• Punto de inflexión: toda función cúbica tiene un punto de inflexión que es donde cambia su concavidad.
• Máximos y mínimos: las funciones cúbicas pueden tener un punto máximo local en su sección cóncava y un punto mínimo local en su sección convexa, aunque no se da en todos los casos.
• Crecimiento y decrecimiento: una función de tercer grado puede tener intervalos donde es creciente y otros donde es decreciente, también puede ser creciente o decreciente en todo su dominio.
• Asíntotas: las funciones cúbicas no tienen asíntotas horizontales, verticales ni oblicuas.

Para encontrar los ceros de una función cúbica se puede recurrir a una factorización o a la regla de Ruffini. Lo que se busca es resolver la ecuación cúbica ax³+bx²+cx+d=0. Si se conocen las raíces de una función de tercer grado, esta puede escribirse en forma factorizada así:

\(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)\)

donde \(x_1, x_2, x_3\) son las raíces de f.

Cuando a una función de tercer grado le faltan uno o varios términos, se llama función cúbica incompleta. Algunos casos que pueden darse son:

• Falta el término cuadrático: \(y=ax^3+cx+d\)
• Falta el término lineal: \(y=ax^3+bx^2+d\)
• Falta el término independiente: \(y=ax^3+bx^2+cx\)
• Faltan los términos cuadrático y lineal: \(y=ax^3+d\)

Para graficar una función cúbica se puede recurrir a una tabla de valores para conocer algunos puntos de la gráfica y luego trazar una curva suave que pase por ellos. Por ejemplo, para \(y=-x^3+3x,\) una tabla de valores sería la siguiente:

x	y	(x, y)
-2	2	(-2, 2)
-1	-2	(-1, -2)
0	0	(0, 0)
1	2	(1, 2)
2	-2	(2, -2)

Tal como sucede con cualquier otra función, es posible llevar a cabo operaciones algebraicas con funciones cúbicas como sumar, restar, multiplicar y dividir. Se debe tener en cuenta el dominio de las funciones originales para asegurar la existencia de la función resultante.

Ejemplos y gráficas

A continuación, veremos algunos ejemplos y gráficas de funciones cúbicas junto con su análisis correspondiente.

Ejemplo 1

\(y=-x^3\)

Análisis de la función:

• Dominio: \(\mathbb{R}\)
• Rango: \(\mathbb{R}\)
• Raíz: \(x=0\)
• Intersección con el eje y: \((0, 0)\)
• Intervalos de crecimiento: la función no crece.
• Intervalo de decrecimiento: \((-\infty, +\infty)=\mathbb{R}\)
• Simetría: la función es impar.
• Concavidad hacia arriba: \((-\infty, 0]\)
• Concavidad hacia abajo: \([0, +\infty)\)
• Punto de inflexión: en \(x=0\)
• Máximo: no tiene.
• Mínimo: no tiene.
• Asíntotas: no tiene.

Ejemplo 2

\(y=x^3+2x^2\)

Análisis de la función:

• Dominio: \(\mathbb{R}\)
• Rango: \(\mathbb{R}\)
• Raíces: \(x=-2\) y \(x=0\)
• Intersección con el eje y: \((0, 0)\)
• Intervalos de crecimiento: \((-\infty, -\frac{4}{3})~\) y \(~(0,+\infty)\)
• Intervalo de decrecimiento: \((-\frac{4}{3}, 0)\)
• Simetría: la función no es par ni impar.
• Concavidad hacia abajo: \((-\infty, -\frac{2}{3}]\)
• Concavidad hacia arriba: \([-\frac{2}{3}, +\infty)\)
• Punto de inflexión: en \(x=-\frac{2}{3}\)
• Máximo local: en \(x=-\frac{4}{3}\)
• Mínimo local: en \(x=0\)
• Asíntotas: no tiene.

Ejemplo 3

\(y=x^3-2x^2-x+2\)

Análisis de la función:

• Dominio: \(\mathbb{R}\)
• Rango: \(\mathbb{R}\)
• Raíces: \(x=-1, x=1, x=2\)
• Intersección con el eje y: \((0, 2)\)
• Intervalos de crecimiento: \((-\infty; -0,22)\) y \((1,55; +\infty)\)
• Intervalo de decrecimiento: \((-0,22; 1,55)\)
• Simetría: la función no es par ni impar.
• Concavidad hacia abajo: \((-\infty, \frac{2}{3}]\)
• Concavidad hacia arriba: \([\frac{2}{3}, +\infty)\)
• Punto de inflexión: en \(x=\frac{2}{3}\)
• Máximo local: en \(x≈-0,22\)
• Mínimo local: en \(x≈1,55\)
• Asíntotas: no tiene.

Otros ejemplos

Ejercicio para practicar

Ejercicio: determine cuáles de las siguientes son funciones cúbicas.

1. \(y=\sqrt{x^3}+3\)
2. \(y=(x-3)^3+1\)
3. \(y=\dfrac{1}{x^3+2x^2}\)
4. \(y=x^3+3x^3+2x^3-9x^3+\sqrt{2}\)
5. \(y=(x-1)^2(x-2)\)

Soluciones

1. No es una función cúbica porque no es polinómica, la variable se encuentra dentro de una raíz.
2. Es una función cúbica, desarrollando se puede escribir en forma estándar como \(y=x^3-9x^2+27x-26.\)
3. No es una función cúbica porque la variable se encuentra en un denominador.
4. Es una función cúbica, se puede escribir simplificada como \(y=-3x^3+\sqrt{2}.\)
5. Es una función cúbica, desarrollando se llega a la expresión \(y=x^3-4x^2+5x-2.\)

Bibliografía

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Infografías