Formalización de proposiciones

La formalización de proposiciones es el proceso de traducir enunciados del lenguaje cotidiano, con toda su ambigüedad e imprecisión, al lenguaje simbólico de la lógica proposicional. Mientras que en español una misma frase puede interpretarse de múltiples maneras según el contexto, la entonación o la intención del hablante, el lenguaje lógico elimina estas incertidumbres mediante símbolos y reglas estrictas.

Este proceso nos permite descomponer argumentos complejos en sus componentes básicos para analizar su validez de manera matemática. Al formalizar un enunciado, transformamos algo subjetivo en un objeto concreto que podemos manipular, evaluar y combinar siguiendo las reglas de la lógica. 

Cómo formalizar proposiciones

Para formalizar proposiciones comenzaremos comprendiendo los elementos básicos, luego abordaremos la jerarquía de operadores, y finalmente integraremos todo en un proceso paso a paso.

Proposiciones simples y conectores

Antes de trabajar con oraciones complejas, debemos dominar la identificación de sus componentes fundamentales. Utilizaremos variables proposicionales (p, q, r, s...) para representar proposiciones atómicas o simples, es decir, enunciados que tienen sentido completo y pueden ser verdaderos o falsos.

Por ejemplo, "está lloviendo" es una proposición, así que le asignamos la letra "p", mientras que "¡hola!" no lo es porque no puede calificarse como verdadera o falsa.

Los conectivos lógicos son los operadores que nos permiten unir estas proposiciones simples para formar expresiones más complejas. Cada conector tiene su símbolo y múltiples formas de expresarse en el lenguaje natural. La idea es que, al leer una proposición, reconozcamos los conectivos utilizados.

Conectivo	Símbolo	Formas comunes en lenguaje natural
Negación	¬	No, no es cierto que, es falso que, no es el caso que, nunca, jamás
Conjunción	∧	y, pero, sin embargo, además, aunque, no obstante, a la vez que, mientras que, pese a que
Disyunción inclusiva	∨	o, ya sea... o..., al menos una de las dos, a menos que
Disyunción exclusiva	⊻	o… o… pero no ambos, o bien … o bien …
Condicional	→	Si... entonces..., ... implica, por consiguiente, siempre que, es condición necesaria, es condición suficiente, en caso de que, con tal de que, cada vez que
Bicondicional	↔	Si y sólo si, es necesario y suficiente, equivale a, exactamente cuando, únicamente si

Más información sobre los conectivos lógicos

Jerarquía y paréntesis

En la formalización no debemos olvidarnos de colocar los paréntesis necesarios, ya que la falta de ellos puede alterar completamente el significado de la expresión. Los signos de puntuación en el lenguaje natural nos dan pistas sobre dónde deben ir los paréntesis principales.

Consideremos estas dos oraciones aparentemente similares: "Si llueve y hace frío, no salgo" versus "Si llueve, hace frío y no salgo". La primera se formaliza como (p ∧ q) → r, donde p: "llueve", q: "hace frío" y r: "no salgo". La segunda, en cambio, sería p → (q ∧ r). La coma marca la diferencia.

Cuando en una expresión lógica no hay paréntesis explícitos, seguimos una jerarquía de conectivos: la negación (¬) tiene la mayor precedencia, seguida de la conjunción (∧), la disyunción (∨), el condicional (→), y finalmente el bicondicional (↔). Así, p ∨ q → r se interpreta como (p ∨ q) → r, no como p ∨ (q → r).

Proceso completo paso a paso

Para formalizar proposiciones de manera sistemática y evitar errores comunes, podemos seguir estos cuatro pasos fundamentales:

1. Lectura del enunciado: realizamos una lectura atenta de la oración completa para comprender su sentido global, prestando especial atención a los signos de puntuación que delimitan las ideas principales.
2. Identificación de proposiciones atómicas: descomponemos la frase compleja en sus componentes más simples y asignamos una variable proposicional a cada una. Por ejemplo, en "si estudio y no salgo, aprobaré", tendríamos: p: "estudio", q: "salgo", r: "aprobaré".
3. Reconocimiento de conectivas lógicas: identificamos las palabras del lenguaje natural que actúan como operadores lógicos, teniendo en cuenta que una misma idea puede expresarse de diferentes maneras.
4. Estructuración y aplicación de paréntesis: colocamos los símbolos y añadimos paréntesis según la jerarquía natural de la oración, determinando el alcance de cada operador.

Ejercicios resueltos

Formalizar las siguientes proposiciones dadas en lenguaje ordinario:

1. "No iré al cine y me quedaré en casa".
2. "Si apruebas el examen, irás de vacaciones".
3. "Si llueve y no traigo paraguas, entonces me mojaré".
4. "Estudio o trabajo, y si estudio, entonces no tengo tiempo libre".
5. "Ni llueve ni hace sol".
6. "Iremos de picnic a menos que llueva".
7. "El gato o está en la caja o está fuera de ella, pero no ambos".
8. "Si hoy es lunes, entonces tengo clase de matemáticas, y si hoy es martes, entonces tengo clase de física".
9. "Solo si el servidor está operativo y la conexión de red es estable, la base de datos permitirá el acceso, a menos que se esté realizando una copia de seguridad de emergencia."
10. "No es el caso que el proyecto tenga éxito si y sólo si se aumenta el presupuesto, a menos que el equipo esté de acuerdo y no surjan imprevistos técnicos."

Solución 1

Analizamos la proposición "No iré al cine y me quedaré en casa". Identificamos dos componentes atómicos:

p: "Voy al cine".

q: "Me quedo en casa".

La expresión "no" se representa con el operador de negación (¬), y "y" corresponde a la conjunción lógica (∧). Así, la formalización queda como ¬p ∧ q. Observamos que la negación afecta únicamente a p, mientras que q se afirma de manera positiva.

Solución 2

Consideramos la oración "Si apruebas el examen, irás de vacaciones". Definimos:

p: "Apruebas el examen".

q: "Irás de vacaciones".

La estructura "si… entonces…" indica un condicional, representado con el símbolo →. Por lo tanto, la proposición se formaliza como p → q.

Solución 3

En "Si llueve y no traigo paraguas, entonces me mojaré" identificamos tres proposiciones simples:

p: "Llueve".

q: "Traigo paraguas".

r: "Me mojo".

La frase "no traigo paraguas" es la negación de q, es decir, ¬q. La conjunción "llueve y no traigo paraguas" se expresa como p ∧ ¬q, y esta es la hipótesis de un condicional cuya conclusión es r. Formalizamos: (p ∧ ¬q) → r.

Solución 4

La proposición "Estudio o trabajo, y si estudio, entonces no tengo tiempo libre" se descompone en:

p: "Estudio".

q: "Trabajo".

r: "Tengo tiempo libre".

"Estudio o trabajo" es la disyunción p ∨ q. "Si estudio, entonces no tengo tiempo libre" es p → ¬r. La conjunción de ambas partes da (p ∨ q) ∧ (p → ¬r).

Solución 5

"Ni llueve ni hace sol" equivale a decir que no llueve y no hace sol. Sean:

p: "Llueve".

q: "Hace sol".

La expresión "ni… ni…" se traduce como una conjunción de negaciones: ¬p ∧ ¬q.

Solución 6

"Iremos de picnic a menos que llueva" significa que iremos de picnic si no llueve, o equivalentemente: si llueve, no iremos. Definimos:

p: "Vamos de picnic".

q: "Llueve".

En lógica, "a menos que" suele interpretarse como una disyunción: p ∨ q, aunque también puede verse como ¬q → p. Optamos por la forma más directa: ¬q → p, que equivale a p ∨ q por definición de condicional.

Solución 7

"El gato o está en la caja o está fuera de ella, pero no ambos" expresa una disyunción exclusiva. Definimos:

p: "El gato está en la caja".

q: "El gato está fuera de la caja".

La disyunción exclusiva (o uno u otro, pero no los dos) se simboliza con ⊻. Así, la formalización es p ⊻ q.

Solución 8

"Si hoy es lunes, entonces tengo clase de matemáticas, y si hoy es martes, entonces tengo clase de física" contiene dos condicionales unidos por una conjunción. Sean:

p: "Hoy es lunes".

q: "Tengo clase de matemáticas".

r: "Hoy es martes".

s: "Tengo clase de física".

Cada condicional se formaliza por separado: p → q y r → s. La conjunción "y" los une en:

(p → q) ∧ (r → s).

Solución 9

Enunciado: "Sólo si el servidor está operativo y la conexión de red es estable, la base de datos permitirá el acceso, a menos que se esté realizando una copia de seguridad de emergencia."

Analizamos la proposición compleja identificando primero las proposiciones atómicas:

p: "El servidor está operativo".

q: "La conexión de red es estable".

r: "La base de datos permite el acceso".

s: "Se está realizando una copia de seguridad de emergencia".

La estructura principal es "Solo si p y q, r, a menos que s", donde p y q son condiciones necesarias para r, a menos que ocurra s. "Solo si p y q, r" se formaliza como r → (p ∧ q), indicando que el acceso a la base de datos implica que el servidor está operativo y la conexión es estable. 

La frase "a menos que se esté realizando una copia de seguridad de emergencia" introduce una excepción que podemos interpretar como: si ocurre s, entonces no se requiere (p ∧ q) para r. Esto equivale a la disyunción (p ∧ q) ∨ s como condición suficiente para r, es decir, la formalización final es:

r → ((p ∧ q) ∨ s)

Otra forma válida es ¬s → (r → (p ∧ q)), es decir, si no se está haciendo una copia de seguridad, entonces el servidor operativo y la conexión estable son necesarios para que la base de datos permita el acceso. Ambas fórmulas son equivalentes.

Nota: en la parte de "solo si el servidor está operativo y la conexión de red es estable, la base de datos permitirá el acceso" podríamos pensar que se trata de una forma (p ∧ q) → r, pero esto no es correcto, ya que no transmite la idea del "solo si". El enunciado nos dice que si la base de datos permite el acceso, entonces podemos estar seguros de que el servidor está operativo y la conexión es estable, es decir: r → (p ∧ q).

Solución 10

Enunciado: "No es el caso que el proyecto tenga éxito si y sólo si se aumenta el presupuesto, a menos que el equipo esté de acuerdo y no surjan imprevistos técnicos".

Identificamos las proposiciones atómicas:

p: "El proyecto tiene éxito".

q: "Se aumenta el presupuesto".

r: "El equipo está de acuerdo".

s: "Surgen imprevistos técnicos".

La estructura puede desglosarse así:

"El proyecto tiene éxito si y sólo si se aumenta el presupuesto" se formaliza como p ↔ q.

"No es el caso que" niega esta bicondicional: ¬(p ↔ q).

"A menos que el equipo esté de acuerdo y no surjan imprevistos técnicos" significa que si ocurre (r ∧ ¬s), entonces no se cumple ¬(p ↔ q), es decir, se anula la negación.

Esto se puede interpretar como: la negación de la bicondicional se mantiene excepto cuando (r ∧ ¬s) es verdadero. Formalmente:

¬(r ∧ ¬s) → ¬(p ↔ q)

O, usando la ley del contrarrecíproco del condicional, una forma equivalente es:

(p ↔ q) → (r ∧ ¬s)