Valor de verdad de una proposición

En lógica proposicional, el valor de verdad se refiere a la clasificación que asignamos a cualquier proposición según su correspondencia con la realidad. En esencia, es una evaluación que nos permite determinar si lo que afirma una proposición se cumple o no.

En la lógica clásica que estudiamos habitualmente, solo existen dos posibles valores de verdad: verdadero (que podemos representar con V o 1) y falso (representado con F o 0). Por esta característica, decimos que nos encontramos ante una lógica bivalente.

Esto se sustenta en dos principios fundamentales: el principio del tercero excluido que establece que una proposición o bien es verdadera o bien lo es su negación, sin admitir una tercera posibilidad o término medio; por otro lado, el principio de no contradicción, que nos dice que una misma proposición no puede ser simultáneamente verdadera y falsa bajo las mismas circunstancias.

Valor de verdad de una proposición simple

Las proposiciones simples, también conocidas como atómicas, son aquellas afirmaciones que no pueden descomponerse en partes más pequeñas que sean a su vez proposiciones. Determinar el valor de verdad de estas proposiciones depende fundamentalmente de su relación con la realidad o, en contextos más formales, del sistema axiomático con el que estemos trabajando.

Veamos algunos ejemplos:

• "París es la capital de Francia" es una proposición verdadera, ya que corresponde a un hecho geográfico y político verificable.
• "El Sol gira alrededor de la Tierra" es una proposición falsa, contradice nuestro conocimiento astronómico actual.
• "15 es un número primo" es falsa, pues 15 puede dividirse exactamente por 3 y 5.
• "Todo número par es divisible entre 2" es verdadera, según la definición misma de número par.

Como podemos observar, en cada caso realizamos una verificación contra la realidad o contra definiciones aceptadas para determinar si la proposición es verdadera o falsa. Este proceso de evaluación es la base sobre la cual construiremos el análisis de proposiciones más complejas.

El valor de verdad de una proposición p suele simbolizarse como V(p). Así, si p es verdadero, entonces V(p) = V, y si p es falso, V(p) = F.

Valor de verdad de una proposición compuesta

Cuando avanzamos en el estudio de la lógica, encontramos que podemos combinar proposiciones simples mediante conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas (también llamadas moleculares). Estos operadores nos permiten crear estructuras más complejas que expresan relaciones entre diferentes ideas.

Los conectivos fundamentales que utilizamos son: la negación (¬) que invierte el valor de verdad, la conjunción (∧) que equivale al "y" español, la disyunción (∨) que corresponde al "o" inclusivo, el condicional (→) que representa "si... entonces", y el bicondicional (↔) que expresa "si y sólo si".

Más información sobre los conectivos lógicos

El valor de verdad resultante de una proposición compuesta depende completamente de dos factores: los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen y la forma en que estas se conectan mediante los operadores lógicos.

Para determinar de manera sistemática todos los valores de verdad posibles de una proposición molecular, empleamos una herramienta fundamental: la tabla de verdad. Esta nos organiza todas las combinaciones de las proposiciones atómicas y nos permite deducir el resultado de la expresión compuesta en cada escenario.

Consideremos primero las tablas de verdad básicas para cada conectivo, las incluimos todas en un mismo bloque:

p	q	¬p	p ∧ q	p ∨ q	p → q	p ↔ q
V	V	F	V	V	V	V
V	F	F	F	V	F	F
F	V	V	F	V	V	F
F	F	V	F	F	V	V

Esta tabla nos sirve como referencia fundamental para construir tablas de verdad más complejas cuando trabajamos con proposiciones que involucran múltiples conectivos.

Ejemplos

En la práctica cotidiana, podemos determinar el valor de verdad de proposiciones compuestas sin necesidad de construir tablas completas, especialmente cuando conocemos los valores de las proposiciones simples involucradas. 

Por ejemplo, "el número 4 es par y positivo" es verdadera porque ambas componentes son verdaderas y están conectadas por una conjunción. "Si 8 es mayor que 10, entonces 10 es menor que 8" es verdadera porque el antecedente es falso, haciendo verdadero el condicional independientemente del valor del consecuente (vea la tabla de verdad del condicional).

Sin embargo, cuando trabajamos con variables proposicionales o con afirmaciones cuyo valor de verdad desconocemos, necesitamos recurrir a tablas de verdad completas que exploren todas las posibilidades.

Ejemplo 1

Expresión lógica: (p ∨ q) → (p ∧ ¬q)

Para conocer el valor de verdad de esta proposición, necesitamos construir su tabla de verdad:

p	q	p ∨ q	¬q	p ∧ ¬q	(p ∨ q) → (p ∧ ¬q)
V	V	V	F	F	F
V	F	V	V	V	V
F	V	V	F	F	F
F	F	F	V	F	V

Si no conoces el proceso para construir estas tablas, te recomiendo consultar este contenido:

Cómo construir tablas de verdad

Analicemos la tabla para entender qué nos dice:

• En la primera fila, cuando ambas variables son verdaderas, el antecedente (p ∨ q) es verdadero, pero el consecuente (p ∧ ¬q) es falso, dando como resultado un condicional falso. 
• En la segunda fila, si p es verdadera mientras q es falsa, tanto el antecedente como el consecuente son verdaderos, haciendo que el condicional sea verdadero. 
• En la tercera fila, con p falsa y q verdadera, tenemos antecedente verdadero pero consecuente falso, resultando en falso. 
• Finalmente, cuando ambas son falsas, el antecedente es falso, lo que automáticamente hace verdadero el condicional sin importar el valor del consecuente. 

Ejemplo 2

Fórmula lógica: (p ∧ q) → (p ∨ q)

La tabla de verdad de estas proposición es:

p	q	p ∧ q	p ∨ q	(p ∧ q) → (p ∨ q)
V	V	V	V	V
V	F	F	V	V
F	V	F	V	V
F	F	F	F	V

Como podemos observar, independientemente de los valores que asignemos a "p" y a "q", el resultado final de la implicación siempre es verdadero. Esto tiene sentido lógico: si ambas proposiciones son verdaderas (conjunción), entonces es automáticamente cierto que al menos una de ellas es verdadera (disyunción). En los casos en que la conjunción es falsa, el condicional se mantiene verdadero por tener antecedente falso. 

Ejemplo 3

Proposición: p ↔ ¬p

La tabla de verdad de este enunciado es:

p	¬p	p ↔ ¬p
V	F	F
F	V	F

El bicondicional exige que ambas partes tengan el mismo valor de verdad para ser verdadero. Sin embargo, p y su negación siempre poseen valores opuestos. Por lo tanto, es imposible que el bicondicional sea verdadero. 

Clasificación

Al analizar la tabla de verdad de cualquier proposición compuesta, podemos observar un patrón en los resultados finales, el cual nos permite clasificarla en una de tres categorías fundamentales:

• Tautología: una proposición que es verdadera para todas las posibles combinaciones de valores de verdad de sus componentes, estas fórmulas también se conocen como leyes lógicas. Un caso es el ejemplo 2, (p ∧ q) → (p ∨ q), que siempre resulta verdadera sin importar los valores de p y q.
• Contradicción: una proposición que es falsa para todas las posibles combinaciones de valores de verdad de sus componentes. Representa una inconsistencia lógica, algo que nunca puede ser verdadero bajo ninguna circunstancia. Un caso es el ejemplo 3, p ↔ ¬p, donde la proposición siempre es falsa porque una proposición no puede ser equivalente a su propia negación.
• Contingencia: una proposición que es verdadera para algunas combinaciones de valores de verdad y falsa para otras. La mayoría de las proposiciones que encontramos en el lenguaje cotidiano pertenecen a esta categoría, ya que su verdad depende de las circunstancias específicas. Un caso es el ejemplo 1, (p ∨ q) → (p ∧ ¬q), cuyo valor final varía según los valores que tomen p y q.

Ejercicios resueltos

Resolver los siguientes problemas.

1. Si p es falso, q es verdadero y r es falso, determina el valor de: (p ∨ q) ∧ r.
2. Dados los valores V(p) = V, V(q) = F, V(r) = V, evalúa: ¬p → (q ∧ r).
3. ¿Existe alguna combinación de valores de verdad para p y q que haga falsa la siguiente proposición: (p → q) ∨ p?
4. ¿Bajo qué valores de p y q la siguiente bicondicional es verdadera: (p ∨ q) ↔ ¬(¬p ∧ ¬q)?
5. ¿Para qué valor(es) de p (si los hay) la proposición p → ¬p resulta ser verdadera?
6. Sin usar tablas de verdad, analiza si es posible que ¬(p ∨ q) sea verdadero mientras que ¬p ∧ ¬q es falso. Justifica tu respuesta conceptualmente.

Solución 1

Partimos de los valores dados: p es falso (F), q es verdadero (V) y r es falso (F). Primero evaluamos la disyunción p ∨ q. Como p es F y q es V, la disyunción resulta verdadera, ya que basta que uno de los dos sea verdadero para que p ∨ q sea V. Luego, tomamos este resultado (V) y lo unimos con r mediante una conjunción: (p ∨ q) ∧ r. Al ser r falso, la conjunción de V con F da F. Por lo tanto, el valor final de la expresión es falso.

V((p ∨ q) ∧ r)) = F

Solución 2  

Sabemos que V(p) = V, V(q) = F y V(r) = V. Calculamos primero ¬p: como p es verdadero, ¬p es falso. Luego evaluamos q ∧ r: q es F y r es V, así que la conjunción es F. Ahora analizamos la implicación ¬p → (q ∧ r). Un condicional con antecedente falso (¬p = F) siempre es verdadero, sin importar el valor del consecuente (en este caso, q ∧ r = F). Por lo tanto, la expresión completa es verdadera.

Solución 3  

Estudiamos (p → q) ∨ p. Observamos que si p es verdadero, la segunda parte de la disyunción es V, haciendo toda la expresión verdadera. Si p es falso, entonces p → q es verdadero (antecedente falso), y la disyunción entre V y F resulta V. Probamos todas las combinaciones: (p = V, q = V) da V; (p = V, q = F) da V; (p = F, q = V) da V; (p = F, q = F) da V. En todos los casos la expresión es verdadera, por lo que no existe ninguna combinación que la haga falsa. Podríamos haber llegado al mismo resultado construyendo la tabla de verdad.

Solución 4 

Analizamos (p ∨ q) ↔ ¬(¬p ∧ ¬q). Primero simplificamos el lado derecho: ¬(¬p ∧ ¬q) es equivalente a ¬(¬p) ∨ ¬(¬q) por las leyes de De Morgan, lo que a su vez equivale a p ∨ q. Entonces la bicondicional queda (p ∨ q) ↔ (p ∨ q), que es una tautología: siempre es verdadera para cualquier valor de p y q. Por lo tanto, la bicondicional es verdadera bajo todas las combinaciones posibles.

Solución 5  

Analizamos p → ¬p. Si p es verdadero, entonces ¬p es falso, y el condicional V → F es falso. Si p es falso, entonces ¬p es verdadero, y el condicional F → V es verdadero. Por lo tanto, la proposición p → ¬p es verdadera solamente cuando p es falso.

Solución 6

Estudiamos si ¬(p ∨ q) puede ser verdadero mientras ¬p ∧ ¬q es falso. Según las leyes de De Morgan, ¬(p ∨ q) es lógicamente equivalente a ¬p ∧ ¬q. Si son equivalentes, deben tener siempre el mismo valor de verdad. Por lo tanto, es imposible que uno sea verdadero y el otro falso. Si ¬(p ∨ q) es verdadero, entonces ¬p ∧ ¬q también debe ser verdadero. Por lo tanto, la situación descrita en el enunciado no puede ocurrir.