Proposiciones simples y compuestas

Recordemos que las proposiciones lógicas son enunciados declarativos que tienen la propiedad de ser verdaderos o falsos, pero nunca ambas cosas simultáneamente. En el estudio de la lógica matemática, clasificamos estas proposiciones según su estructura interna en dos grandes grupos: proposiciones simples (o atómicas) y proposiciones compuestas (o moleculares).

Una proposición simple representa una única afirmación indivisible, mientras que una proposición compuesta combina dos o más proposiciones simples mediante términos de enlace llamados conectores lógicos. Comprender la diferencia entre ambas nos servirá para construir tablas de verdad y analizar argumentos lógicos complejos.

Proposiciones simples

También llamadas proposiciones atómicas, son aquellas que no pueden dividirse en otras proposiciones más pequeñas. Carecen de conectivos lógicos (como "no", "y", "o", "si... entonces", "si y solo sí") y expresan una idea única y sencilla. Si analizamos la estructura gramatical, suele corresponder a una oración simple con sujeto y predicado.

El valor de verdad de un enunciado de este tipo depende directamente de su correspondencia con la realidad o con un sistema axiomático determinado. Para simbolizar proposiciones simples utilizamos letras minúsculas, generalmente comenzando por la p, siguiendo con q, r, s, etc.

Algunos ejemplos de proposiciones simples son:

• p: "El número 7 es un número primo". (Proposición verdadera).
• q: "La Tierra es una estrella". (Proposición falsa).
• r: "Buenos Aires es la capital de Argentina." (Proposición verdadera).
• s: "3 + 5 = 10." (Proposición falsa).
• t: "La raíz cuadrada de 16 es 4". (Proposición verdadera).

Proposiciones compuestas

Las proposiciones compuestas, o moleculares, se forman al unir proposiciones simples utilizando conectivos lógicos, o bien al negar una proposición simple. A diferencia de las simples, su valor de verdad no depende solo de la realidad, sino de los valores de verdad de las proposiciones que la componen y del tipo de conectivo utilizado.

Si una proposición contiene palabras como "y", "o", "no", "si... entonces", "si y solo si", estamos ante una proposición compuesta. Veamos ejemplos variados según el conector que utilicen: 

• "No es cierto que el triángulo tenga cuatro lados". (Aquí convertimos la proposición en compuesta utilizando una negación, señalada en negrita).
• "El número 2 es par y el número 3 es impar". (En este caso enlazamos dos ideas utilizando la conjunción).
• "Estudiaré álgebra o estudiaré geometría". (Aquí se presenta una alternativa entre dos opciones mediante la disyunción).
• "Si llueve, entonces el suelo se moja". (Esta frase establece una relación de dependencia usando el condicional).
• "Un triángulo es equilátero si y solo si sus lados son iguales". (Aquí la relación lógica funciona en ambos sentidos gracias al bicondicional).

Para conocer el valor de verdad de una proposición compuesta, utilizamos una tabla de verdad. Esta tabla enumera todas las combinaciones posibles de valores de verdad (verdadero o falso) de las proposiciones simples y muestra el resultado de la proposición compuesta para cada caso, aplicando las reglas de los conectivos lógicos.

Conectivos lógicos principales

Los conectivos son los operadores que nos permiten construir proposiciones compuestas a partir de las simples. Cada uno tiene un símbolo específico y una regla lógica que determina el valor de verdad del enunciado resultante. Veremos los más importantes en la siguiente tabla.

Conectivo	Símbolo	En lenguaje cotidiano	Ejemplo	Valor de verdad
Negación	¬	"no" "no es cierto que"	"No es verdad que todos los números primos sean impares."	Invierte el valor de verdad de la proposición original.
Conjunción	∧	"y"	"El Sol es una estrella y la Luna es un satélite."	Es verdadero cuando ambas partes son verdaderas.
Disyunción inclusiva	∨	"o"	"Podemos resolver la ecuación factorizando o utilizando la fórmula general."	Es verdadero cuando al menos una de las partes es verdadera.
Condicional	→	"si… entonces…"	"Si un número termina en cifra par, entonces es divisible por dos."	Es verdadero en todos los casos excepto cuando la primera parte es verdadera y la segunda es falsa.
Bicondicional	↔	"si y sólo si"	"Un año es bisiesto si y sólo si tiene 366 días."	Es verdadero cuando ambas partes son verdaderas o ambas falsas.

Más información sobre los conectivos lógicos

Simbolización de proposiciones

El proceso de traducir del lenguaje natural al lenguaje formal se llama simbolización o formalización. Consiste en identificar las proposiciones simples, asignarles una variable (p, q, r) y representar los enlaces con los símbolos lógicos correspondientes.

Ejemplo 1

Enunciado: "Marte es un planeta y el Sol es una estrella".

• Identificamos la primera idea simple (p): "Marte es un planeta".
• Identificamos la segunda idea simple (q): "El Sol es una estrella".
• Identificamos el conectivo: "y" (∧).
• Simbolización: p ∧ q

Ejemplo 2

Enunciado: "Si no apruebo el examen, entonces repetiré el curso".

Aquí identificamos las partes:

• Proposición simple (p): "Apruebo el examen". Observamos que el enunciado dice "no apruebo", por lo que usaremos la negación ¬p.
• Proposición simple (q): "Repetiré el curso".
• Conectivo principal: "Si... entonces" (→).
• Simbolización: ¬p → q

Más ejemplos de formalización de proposiciones

Ejercicios resueltos

Identificar si las siguientes proposiciones son simples o compuestas y pasarlas a lenguaje simbólico.

1. "El número 15 es un número impar."
2. "El número 4 es par pero no es un número primo."
3. "Es falso que el número -5 sea un número natural."
4. "La fracción es propia o su numerador es mayor que su denominador."
5. "Si estudio mucho y descanso bien, entonces aprobaré."
6. "Un número es par si y solo si es divisible por 2."

Solución 1

Analizamos la frase "el número 15 es un número impar". Determinamos que es una proposición simple porque es una única afirmación sobre una propiedad numérica que podemos verificar directamente (es verdadera). No contiene términos de enlace. Solo le asignamos una variable.

Formalización: p

Solución 2

Consideremos la frase "el número 4 es par pero no es un número primo". Vemos que se trata de una proposición compuesta con dos conectivos. La palabra "pero" tiene la función lógica de una conjunción (∧), indicando que ambas ideas son válidas a la vez. Además, la segunda parte incluye una negación (¬). 

Definimos p: "El número 4 es par" y q: "El número 4 es primo". Simbolizamos esta conjunción entre p y la negación de q.

Formalización: p ∧ ¬q

Solución 3

La frase "es falso que el número -5 sea un número natural" es una proposición compuesta. El conector que predomina es la negación (¬), expresada por "es falso que", lo cual invierte el valor de verdad de la proposición que afecta. Si definimos p como "el número -5 es un número natural", formalizamos la expresión anteponiendo el símbolo de negación.

Formalización: ¬p

Solución 4

Analizamos "la fracción es propia o su numerador es mayor que su denominador". Es una proposición compuesta unida por la disyunción (∨), indicada por la letra "o". Definimos p: "La fracción es propia" y q: "El numerador es mayor que el denominador". Puesto que ambas proposiciones simples se unen directamente mediante el operador de disyunción, simbolizamos como p o q.

Formalización: p ∨ q

Solución 5

Esta frase, "si estudio mucho y descanso bien, entonces aprobaré", es una proposición compuesta cuyo conectivo principal es el condicional (→), y el antecedente (la causa) es, a su vez, una conjunción (∧). Definimos p: "estudio mucho", q: "descanso bien" y r: "aprobaré". Agrupamos la conjunción entre paréntesis para mostrar que ambos elementos son necesarios para que se cumpla la consecuencia r.

Formalización: (p ∧ q) → r

Solución 6

Finalmente, "un número es par si y solo si es divisible por 2". Es una proposición compuesta que utiliza el conector bicondicional (↔), señalado por la frase clave "si y solo si". Este conector establece una equivalencia lógica total entre las dos proposiciones. Si p: "Un número es par" y q: "Es divisible por 2", la formalización es la unión de p y q mediante el símbolo bicondicional.

Formalización: p ↔ q