Leyes asociativas en Lógica

Las leyes asociativas en lógica proposicional establecen que cuando se aplica el mismo operador lógico (conjunción o disyunción) de manera repetida, el agrupamiento de los componentes no altera el valor de verdad del resultado. Esto significa que los paréntesis pueden reordenarse o eliminarse sin cambiar el significado lógico de la expresión.

Las leyes se expresan con las siguientes fórmulas, donde el símbolo ≡ denota equivalencia lógica:

p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r

p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r

También es válido incluir o suprimir paréntesis:

p ∧ q ∧ r ≡ (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) 

p ∨ q ∨ r ≡ (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)

Podemos hacer una relación con las propiedades asociativas de la suma y la multiplicación en álgebra, como en (a + b) + c = a + (b + c). 

Demostración

La equivalencia lógica de las leyes asociativas puede verificarse mediante tablas de verdad. 

Para la asociatividad de la conjunción, p ∧ (q ∧ r) ≡ (p ∧ q) ∧ r, construimos la tabla:

p	q	r	p ∧ q	q ∧ r	p ∧ (q ∧ r)	(p ∧ q) ∧ r
V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	F	F
V	F	V	F	F	F	F
V	F	F	F	F	F	F
F	V	V	F	V	F	F
F	V	F	F	F	F	F
F	F	V	F	F	F	F
F	F	F	F	F	F	F

Las columnas para p ∧ (q ∧ r) y (p ∧ q) ∧ r son idénticas, lo que demuestra la equivalencia.

Para la asociatividad de la disyunción, p ∨ (q ∨ r) ≡ (p ∨ q) ∨ r, la tabla es:

p	q	r	p ∨ q	q ∨ r	p ∨ (q ∨ r)	(p ∨ q) ∨ r
V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	V	V	V
V	F	V	V	V	V	V
V	F	F	V	F	V	V
F	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	V	V	V
F	F	V	F	V	V	V
F	F	F	F	F	F	F

Nuevamente, las columnas finales coinciden en todas las filas.

Las leyes asociativas tienen una utilidad práctica en la manipulación y simplificación de fórmulas lógicas. Es importante no confundir esta propiedad con la distributividad: la asociatividad requiere que todos los conectores principales sean del mismo tipo (todos conjunciones o todas disyunciones), mientras que la distributividad involucra la mezcla de ambos conectores.

Asociatividad en conjuntos

Las leyes asociativas de la lógica proposicional se extienden de manera natural a la teoría de conjuntos, ya que los operadores de conjunción (∧) y disyunción (∨) tienen sus equivalentes en las operaciones de intersección (∩) y unión (∪) respectivamente.

Dados tres conjuntos A, B y C, se cumple que:

• La intersección es asociativa: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
• La unión es asociativa: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C.

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