Leyes de absorción

Las leyes de absorción son reglas lógicas que permiten simplificar una proposición compuesta donde una variable aparece tanto fuera como dentro de un paréntesis, y los operadores principales son distintos (una conjunción y una disyunción). Se llaman así porque, en la expresión resultante, una de las proposiciones parece ser "absorbida" o eliminada por la otra, quedando una fórmula más simple.

Las fórmulas son dos:

• Ley para la conjunción: p ∧ (p ∨ q) ≡ p. 
• Ley para la disyunción: p ∨ (p ∧ q) ≡ p.

A estas también se les conoce como leyes de absorción total, ya que una de las componentes desaparece completamente. Los requisitos para aplicarlas son: una variable se repite fuera y dentro del paréntesis, y los conectivos principales a cada lado del paréntesis son diferentes.

Estas leyes tienen una interpretación intuitiva en frases cotidianas. Por ejemplo, para la conjunción p ∧ (p ∨ q): "voy al supermercado y (voy al supermercado o a la farmacia)". Si la primera parte ("voy al supermercado") es verdadera, la condición completa se cumple sin importar la farmacia, porque ya se realizó la acción principal. Si la primera parte es falsa, toda la expresión conjuntiva es falsa, haciendo irrelevante la segunda parte. El enunciado se absorbe y equivale a "voy al supermercado".

Para la disyunción p ∨ (p ∧ q): "estudio o (estudio y hago ejercicios)". Si es verdad que estudio, la disyunción completa es verdadera, absorbiendo la condición más específica. Solo sería necesario evaluar la parte conjuntiva si no estudio, pero en ese caso toda la expresión sería falsa. Por lo tanto, la proposición se simplifica a "estudio".

Demostraciones

Para demostrar que las equivalencias de las leyes de absorción son válidas, recurrimos a las tablas de verdad. 

1) Demostración de p ∧ (p ∨ q) ≡ p:

p	q	p ∨ q	p ∧ (p ∨ q)
V	V	V	V
V	F	V	V
F	V	V	F
F	F	F	F

Como se observa, la columna final p ∧ (p ∨ q) es idéntica a la columna inicial p, probando la equivalencia lógica. 

2) Demostración de p ∨ (p ∧ q) ≡ p:

p	q	p ∧ q	p ∨ (p ∧ q)
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	F	F
F	F	F	F

Nuevamente, la última columna p ∨ (p ∧ q) coincide perfectamente con la de p, es decir, la equivalencia se cumple.

Leyes de absorción parcial

Las leyes de absorción también tienen versiones alternativas, conocidas como leyes de absorción parcial. Estas funcionan de manera análoga, pero se aplican cuando la variable que se repite aparece negada dentro del paréntesis.

Su mecanismo es el siguiente: dada una proposición con un patrón donde una variable se repite en su forma simple y negada, la versión negada dentro del paréntesis es "absorbida" y toda la expresión se reduce a un solo conectivo, que es el operador principal que estaba fuera del paréntesis.

Las fórmulas son:

• Para la conjunción: p ∧ (¬p ∨ q) ≡ p ∧ q
• Para la disyunción: p ∨ (¬p ∧ q) ≡ p ∨ q

En el primer caso, el patrón es una conjunción (∧) fuera de un paréntesis que contiene una disyunción (∨). La negación ¬p desaparece, dejando solo la conjunción de p con q. Análogamente ocurre en el segundo caso.

Para demostrar que las equivalencias de las leyes de absorción parcial son válidas, recurrimos nuevamente a las tablas de verdad.

Comenzamos con la ley para la conjunción: p ∧ (¬p ∨ q) ≡ p ∧ q

p	q	¬p	¬p ∨ q	p ∧ (¬p ∨ q)	p ∧ q
V	V	F	V	V	V
V	F	F	F	F	F
F	V	V	V	F	F
F	F	V	V	F	F

La tabla muestra que, independientemente de los valores de verdad de p y q, las columnas finales para ambas expresiones coinciden, confirmando su equivalencia lógica.

Lo análogo ocurre con la segunda ley: p ∨ (¬p ∧ q) ≡ p ∨ q

p	q	¬p	¬p ∧ q	p ∨ (¬p ∧ q)	p ∨ q
V	V	F	F	V	V
V	F	F	F	V	V
F	V	V	V	V	V
F	F	V	F	F	F

Aplicaciones

Las leyes de absorción tienen una aplicación práctica en la simplificación de expresiones lógicas. 

Ejemplo

Simplifiquemos la proposición compuesta (¬p ∨ q) ∧ [p ∨ (q ∧ p)].

Primero, aplicamos la propiedad conmutativa de la conjunción dentro del corchete:

(¬p ∨ q) ∧ [p ∨ (p ∧ q)] 

Usamos la ley de absorción total para la disyunción dentro del corchete:

(¬p ∨ q) ∧ p 

Utilizamos la propiedad conmutativa de la conjunción a la expresión completa:

p ∧ (¬p ∨ q) 

Ahora aplicamos la ley de absorción parcial para la conjunción:

p ∧ q

Por lo tanto, la simplificación final es p ∧ q.

Más ejemplos de simplificación de proposiciones lógicas

Absorción en conjuntos

Las leyes de absorción tienen un paralelo directo en la teoría de conjuntos, gracias a la correspondencia natural entre los conectivos lógicos y las operaciones de conjuntos. 

Las dos leyes fundamentales, análogas a las de absorción total, se expresan formalmente así:

A ∩ (A ∪ B) = A

A ∪ (A ∩ B) = A

Para la primera, A ∩ (A ∪ B), el conjunto A ∪ B contiene todos los elementos de A y de B. Al intersectarlo con A, cualquier elemento que sea solo de B queda excluido, por lo que el resultado es simplemente A. Para la segunda, A ∪ (A ∩ B), el conjunto A ∩ B es una parte de A, específicamente los elementos que A comparte con B. Unir esta parte con el total de A no añade nada nuevo, dando nuevamente A.

Existen también las versiones de absorción parcial, que involucran al complemento de un conjunto, denotado como A'. Las fórmulas son:

A ∩ (A' ∪ B) = A ∩ B

A ∪ (A' ∩ B) = A ∪ B

En el primer caso, A ∩ (A' ∪ B) = A ∩ B, la intersección de A con la unión de su complemento y B toma elementos que deben estar en A y, al mismo tiempo, deben estar o en A' o en B. Pero ningún elemento puede estar en A y en su complemento A' a la vez. Por lo tanto, la condición de estar en A' es imposible de cumplir para los elementos de A. Esto significa que los únicos elementos de A que pueden satisfacer la segunda condición son aquellos que también están en B. El resultado es simplemente la intersección de A con B.

En el segundo caso, A ∪ (A' ∩ B) = A ∪ B, la unión de A con la intersección de su complemento y B añade a A aquellos elementos de B que no estaban en A, ya que A' ∩ B son los elementos que están en B pero no en A. El resultado final es la unión completa de A con B.