Leyes de idempotencia

Las leyes de idempotencia en lógica proposicional establecen que, para una proposición, el resultado de combinarla consigo misma mediante una conjunción o una disyunción es equivalente a la proposición original.

El término “idempotencia” proviene del latín idem (igual) y potens (poder), lo que refleja la idea de que aplicar la operación repetidas veces no altera el valor original.

Fórmulas

Esta ley lógica se expresa en dos fórmulas: una para la conjunción (∧) y otra para la disyunción (∨). Para cualquier proposición p, se cumple que: 

p ∧ p ≡ p

p ∨ p ≡ p

Es decir, la conjunción de una proposición consigo misma es equivalente a la proposición; del mismo modo, la disyunción de una proposición consigo misma es equivalente a la proposición. La redundancia no altera el valor de verdad.

Podemos encontrar ejemplos cotidianos que ilustran esta idea. Para la conjunción, la frase "está lloviendo y está lloviendo" no aporta más información que decir "está lloviendo". Para la disyunción, la afirmación "como pizza o como pizza" presenta una elección ilusoria, ya que en la práctica se reduce a la única opción: "como pizza". 

Demostración

La validez de las leyes de idempotencia puede demostrarse utilizando tablas de verdad, que nos permiten verificar la equivalencia lógica al comparar los resultados finales de cada expresión.

Para primera ley, p ∧ p ≡ p:

p	p ∧ p
V	V
F	F

Para la segunda ley, p ∨ p ≡ p:

p	p ∨ p
V	V
F	F

En ambas tablas se observa que las columnas de la operación compuesta (p ∧ p y p ∨ p) y de la proposición simple (p) tienen exactamente los mismos valores de verdad para cada posibilidad, esta coincidencia demuestra la equivalencia lógica.

Es importante señalar que la conjunción y la disyunción son los únicos conectivos lógicos idempotentes, pues otros operadores no cumplen la propiedad. 

Por ejemplo, la doble negación, expresada como ¬(¬p) ≡ p, sí produce una equivalencia lógica, pero el resultado es la proposición original p, no la proposición ¬p. En cambio, para el condicional (p → p) y el bicondicional (p ↔ p), al operar la proposición consigo misma obtenemos una tautología (una proposición siempre verdadera), no la misma proposición p. 

Idempotencia en conjuntos

La propiedad de idempotencia también se manifiesta en la teoría de conjuntos, concretamente en las operaciones de unión e intersección. Estas dos operaciones básicas comparten la característica de que, al aplicarlas a un conjunto consigo mismo, el resultado es el mismo conjunto original.

En términos formales, para cualquier conjunto A, se cumplen las siguientes igualdades:

A ∪ A = A

A ∩ A = A

Esto significa que la unión de un conjunto con él mismo no añade ningún elemento nuevo; simplemente obtenemos el mismo conjunto. De manera similar, la intersección de un conjunto consigo mismo da como resultado el conjunto completo, ya que todos sus elementos son comunes a ambos operandos.