Leyes distributivas en Lógica
Las leyes distributivas en lógica proposicional son reglas que permiten reescribir una proposición compuesta distribuyendo uno de sus conectores principales. Estas leyes establecen que la conjunción (∧) se puede distribuir sobre la disyunción (∨) y, a la inversa, la disyunción también se puede distribuir sobre la conjunción.
Esto se expresa con las siguientes fórmulas, donde el símbolo ≡ denota equivalencia lógica:
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
Existe una analogía con la propiedad distributiva del álgebra, donde la multiplicación se distribuye sobre la suma, como en a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c. Sin embargo, en álgebra la suma no se distribuye sobre la multiplicación, mientras que en lógica la disyunción y la conjunción sí se distribuyen mutuamente.
Índice
Demostraciones
La equivalencia lógica de las leyes distributivas puede verificarse mediante tablas de verdad.
Para la distributividad de la conjunción sobre la disyunción, p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r), construimos la tabla:
| p | q | r | p ∧ q | p ∧ r | q ∨ r | p ∧ (q ∨ r) | (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | F | V | V | V |
| V | F | V | F | V | V | V | V |
| V | F | F | F | F | F | F | F |
| F | V | V | F | F | V | F | F |
| F | V | F | F | F | V | F | F |
| F | F | V | F | F | V | F | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
Las columnas para p ∧ (q ∨ r) y (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) son idénticas, lo que demuestra la equivalencia.
Para la distributividad de la disyunción sobre la conjunción, p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), la tabla es:
| p | q | r | p ∨ q | p ∨ r | q ∧ r | p ∨ (q ∧ r) | (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| V | V | V | V | V | V | V | V |
| V | V | F | V | V | F | V | V |
| V | F | V | V | V | F | V | V |
| V | F | F | V | V | F | V | V |
| F | V | V | V | V | V | V | V |
| F | V | F | V | F | F | F | F |
| F | F | V | F | V | F | F | F |
| F | F | F | F | F | F | F | F |
Nuevamente, las columnas finales coinciden en todas las filas.
Aplicaciones
Las leyes distributivas tienen una utilidad práctica en la manipulación y simplificación de fórmulas lógicas. Se aplican principalmente en dos movimientos: para amplificar una expresión o, a la inversa, para simplificarla extrayendo un "factor común" lógico.
Ejemplo 1
Partimos de la expresión ¬p ∧ (q ∨ ¬r).
Observamos que el conector principal fuera del paréntesis es la conjunción (∧). Para amplificar, distribuimos ¬p usando la conjunción. El conector interior (∨) se convierte en el principal del resultado. Así, aplicamos la ley:
¬p ∧ (q ∨ ¬r) ≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬r)
Ejemplo 2
Partimos de la expresión (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬r).
Aquí identificamos que la variable p y el conector de disyunción se repiten en ambos lados de la conjunción principal. Podemos extraer este "factor común" p. Aplicamos la ley distributiva en sentido inverso:
(p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬r) ≡ p ∨ (q ∧ ¬r)
Es importante no confundir esta propiedad con la asociatividad. Si los operadores que unen los componentes son iguales, como en p ∨ (q ∨ r), no podemos aplicar la distribución, pero sí la propiedad asociativa para escribir (p ∨ q) ∨ r.
Distributividad en conjuntos
Las leyes distributivas de la lógica proposicional se extienden de manera natural a la teoría de conjuntos, ya que los operadores de conjunción (∧) y disyunción (∨) tienen sus equivalentes en las operaciones de intersección (∩) y unión (∪) respectivamente.
Dados tres conjuntos A, B y C, se cumple que:
- La intersección se distribuye sobre la unión: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
- La unión se distribuye sobre la intersección: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
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CÓMO CITAR ESTE ARTÍCULO
Machado, D. (2025, 6 de diciembre). Leyes distributivas en Lógica. Flamath. https://es.flamath.com/leyes-distributivas-en-logica
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