Leyes distributivas en Lógica

Las leyes distributivas en lógica proposicional son reglas que permiten reescribir una proposición compuesta distribuyendo uno de sus conectores principales. Estas leyes establecen que la conjunción (∧) se puede distribuir sobre la disyunción (∨) y, a la inversa, la disyunción también se puede distribuir sobre la conjunción. 

Esto se expresa con las siguientes fórmulas, donde el símbolo ≡ denota equivalencia lógica:

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Existe una analogía con la propiedad distributiva del álgebra, donde la multiplicación se distribuye sobre la suma, como en a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c. Sin embargo, en álgebra la suma no se distribuye sobre la multiplicación, mientras que en lógica la disyunción y la conjunción sí se distribuyen mutuamente. 

Demostraciones

La equivalencia lógica de las leyes distributivas puede verificarse mediante tablas de verdad.

Para la distributividad de la conjunción sobre la disyunción, p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r), construimos la tabla:

p	q	r	p ∧ q	p ∧ r	q ∨ r	p ∧ (q ∨ r)	(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	V	V	V
V	F	V	F	V	V	V	V
V	F	F	F	F	F	F	F
F	V	V	F	F	V	F	F
F	V	F	F	F	V	F	F
F	F	V	F	F	V	F	F
F	F	F	F	F	F	F	F

Las columnas para p ∧ (q ∨ r) y (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) son idénticas, lo que demuestra la equivalencia.

Para la distributividad de la disyunción sobre la conjunción, p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), la tabla es:

p	q	r	p ∨ q	p ∨ r	q ∧ r	p ∨ (q ∧ r)	(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	V	F	V	V
V	F	V	V	V	F	V	V
V	F	F	V	V	F	V	V
F	V	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	F	F	F	F
F	F	V	F	V	F	F	F
F	F	F	F	F	F	F	F

Nuevamente, las columnas finales coinciden en todas las filas.

Aplicaciones

Las leyes distributivas tienen una utilidad práctica en la manipulación y simplificación de fórmulas lógicas. Se aplican principalmente en dos movimientos: para amplificar una expresión o, a la inversa, para simplificarla extrayendo un "factor común" lógico.

Ejemplo 1

Partimos de la expresión ¬p ∧ (q ∨ ¬r). 

Observamos que el conector principal fuera del paréntesis es la conjunción (∧). Para amplificar, distribuimos ¬p usando la conjunción. El conector interior (∨) se convierte en el principal del resultado. Así, aplicamos la ley: 

¬p ∧ (q ∨ ¬r) ≡ (¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬r)

Ejemplo 2

Partimos de la expresión (p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬r). 

Aquí identificamos que la variable p y el conector de disyunción se repiten en ambos lados de la conjunción principal. Podemos extraer este "factor común" p. Aplicamos la ley distributiva en sentido inverso:

(p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬r) ≡ p ∨ (q ∧ ¬r)

Más ejemplos de simplificación de proposiciones lógicas

Es importante no confundir esta propiedad con la asociatividad. Si los operadores que unen los componentes son iguales, como en p ∨ (q ∨ r), no podemos aplicar la distribución, pero sí la propiedad asociativa para escribir (p ∨ q) ∨ r. 

Distributividad en conjuntos

Las leyes distributivas de la lógica proposicional se extienden de manera natural a la teoría de conjuntos, ya que los operadores de conjunción (∧) y disyunción (∨) tienen sus equivalentes en las operaciones de intersección (∩) y unión (∪) respectivamente.

Dados tres conjuntos A, B y C, se cumple que:

• La intersección se distribuye sobre la unión: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
• La unión se distribuye sobre la intersección: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

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