Variables proposicionales

Una variable proposicional (o variable sentencial) es un símbolo que representa una proposición atómica, es decir, un enunciado declarativo completo que puede ser verdadero o falso.

Al igual que en álgebra usamos símbolos para representar números, en lógica proposicional empleamos letras para simbolizar enunciados completos con valor de verdad definido. Estas variables funcionan como "contenedores" de afirmaciones lógicas, y son los fundamentales para construir fórmulas más elaboradas.

Notación

En lógica proposicional existe una convención estándar para representar las variables. Generalmente utilizamos letras minúsculas comenzando por la "p", que proviene precisamente de "proposición". Así, las variables más comunes son p, q, r, s.... 

Cuando necesitamos más variables, podemos utilizar subíndices: p₁, p₂, p₃, etc. Aunque las minúsculas se reservan para proposiciones atómicas, a veces veremos mayúsculas como A, B, C, ..., P, Q, R para representar fórmulas complejas.

A diferencia de una variable algebraica real que puede tomar infinitos valores numéricos, una variable proposicional solo tiene dos posibles valores: verdadero (V) o falso (F). Esta característica se conoce como bivalencia y es fundamental en la lógica clásica. 

Además, cada variable representa una proposición atómica, es decir, simple e indivisible. Si tenemos una proposición compuesta como "llueve y hace frío", necesitaremos dos variables diferentes para representar cada componente atómico, y unirlas mediante una conjunción.

Ejemplos

Veamos algunos ejemplos de cómo asignamos variables proposicionales a enunciados específicos:

• p: "5 es un número par". (Falso).
• q: "Argentina está en América". (Verdadero).
• r: "El agua hierve a 100°C a nivel del mar". (Verdadero).
• s: "Madrid es la capital de Francia". (Falso).

En cada caso, la variable representa una proposición completa con un valor de verdad definido. Cuando trabajamos con lógica, manipulamos estas variables sin preocuparnos temporalmente por lo que representan específicamente, enfocándonos en su comportamiento lógico.

Es importante entender que no podemos asignar variables proposicionales a enunciados que no son proposiciones. Por ejemplo, preguntas ("¿qué hora es?"), órdenes ("cierra la puerta") o exclamaciones ("¡qué sorpresa!") no pueden representarse con variables proposicionales porque no tienen valor de verdad.

La verdadera potencia de las variables proposicionales emerge cuando comenzamos a combinarlas mediante conectivas lógicas para construir proposiciones compuestas. Por ejemplo:

p: "Hoy es lunes".

q: "Está lloviendo".

A partir de estas variables atómicas, podemos formar, por ejemplo:

• p ∧ q: "Hoy es lunes y está lloviendo" (conjunción).
• p ∨ q: "Hoy es lunes o está lloviendo" (disyunción).
• ¬p: "Hoy no es lunes" (negación).
• p → q: "Si hoy es lunes, entonces está lloviendo" (condicional).
• p ↔ q: "Hoy es lunes si y sólo si está lloviendo" (bicondicional).

Cada una de estas expresiones compuestas es, en sí misma, una nueva proposición que tiene su propio valor de verdad, determinado por los valores de las variables originales y los conectivos utilizados.

Formalización

El proceso de traducir enunciados del lenguaje natural al lenguaje simbólico de la lógica se denomina formalización. Por ejemplo, si queremos formalizar el enunciado "si estudio, entonces apruebo el examen", primero identificamos las proposiciones atómicas:

p: "Estudio"

q: "Apruebo el examen"

La formalización sería: p → q

Más ejemplos de formalización de proposiciones

La utilidad de las variables proposicionales reside en su capacidad de abstracción. Al separar la forma del contenido, podemos estudiar patrones de razonamiento válidos que se aplican universalmente, sin importar el tema específico del que estemos hablando. 

A la lógica proposicional no le importa si nuestras variables representan afirmaciones sobre lluvia, economía o matemáticas; solo le interesa su estructura lógica y sus valores de verdad. Esta característica es lo que convierte a la lógica proposicional en un sistema formal.

Es necesario distinguir entre una variable proposicional y una función proposicional. Mientras que una variable proposicional representa una proposición completa con valor de verdad definido, una función proposicional es una expresión que contiene variables y se convierte en una proposición cuando esas variables se reemplazan por valores específicos, o cuando se cuantifica. Por ejemplo, "x es un número par" es una función proposicional que se transforma en una proposición cuando x toma un valor concreto.