Leyes conmutativas en Lógica

Las leyes conmutativas en lógica proposicional establecen que para las operaciones de conjunción y disyunción, el orden de los componentes no afecta el resultado final. En otras palabras, al intercambiar las proposiciones conectadas por "y" (∧) o por "o" (∨), el valor de verdad de la expresión compuesta permanece igual.

Estas leyes se expresan mediante las siguientes equivalencias:

p ∧ q ≡ q ∧ p

p ∨ q ≡ q ∨ p

Demostración

La validez de las leyes conmutativas puede comprobarse utilizando tablas de verdad. La siguiente tabla demuestra la conmutatividad de la conjunción:

p	q	p ∧ q	q ∧ p
V	V	V	V
V	F	F	F
F	V	F	F
F	F	F	F

De igual forma, la tabla para la disyunción confirma su carácter conmutativo:

p	q	p ∨ q	q ∨ p
V	V	V	V
V	F	V	V
F	V	V	V
F	F	F	F

En ambos casos, las columnas finales son exactamente iguales, lo que prueba formalmente la equivalencia lógica.

Es importante distinguir esta propiedad de la asociatividad y la distributividad. La conmutatividad solo intercambia el orden de dos componentes, mientras que la asociatividad cambia la agrupación de tres o más, y la distributividad involucra la mezcla de dos conectivos diferentes.

Cabe notar que no todos los conectivos lógicos son conmutativos. El condicional (→) no cumple con esta propiedad en el mismo sentido simple, ya que el orden de sus componentes es esencial para su significado. En cambio, el bicondicional (↔) y la disyunción exclusiva (⊻) sí son conmutativos.

Conmutatividad en conjuntos

Esta propiedad lógica se traslada de forma natural a la teoría de conjuntos. Las operaciones análogas a la conjunción y la disyunción son la intersección (∩) y la unión (∪), respectivamente.

Dados dos conjuntos A y B, se cumplen las siguientes igualdades:

• La intersección es conmutativa: A ∩ B = B ∩ A.
• La unión es conmutativa: A ∪ B = B ∪ A.

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