Método de reducción para sistema de ecuaciones

El método de reducción, también conocido como método de eliminación o reducción por suma y resta, consiste en operar algebraicamente las ecuaciones de un sistema lineal para lograr que una de las incógnitas tenga coeficientes opuestos en ambas expresiones. Al sumar las ecuaciones miembro a miembro, los términos de dicha variable se cancelan, lo que da lugar a una sola ecuación de primer grado con una incógnita cuya resolución es directa.

Este procedimiento resulta ventajoso cuando los coeficientes de una misma incógnita son múltiplos entre sí o ya cuentan con signos opuestos, pues permite trabajar con números enteros y posponer el cálculo con denominadores hasta el final. Aunque su aplicación más extendida se da en sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (2×2), este principio de cancelación sucesiva conforma la base para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas (3×3) y modelos lineales de mayor dimensión.

Ejemplo

Para analizar cómo opera la transformación de ecuaciones y la posterior suma algebraica en un sistema 2×2, consideramos el siguiente caso:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 5x - y = 3 \end{cases}$$

Numeramos las ecuaciones para mantener una referencia clara durante el procedimiento:

$$2x + 3y = 8 \quad (1)$$

$$5x - y = 3 \quad (2)$$

Observamos los coeficientes de ambas variables. En la variable \(y\), la ecuación (1) tiene coeficiente 3 y la ecuación (2) tiene coeficiente −1. Para que ambos coeficientes sean opuestos, multiplicamos la ecuación (2) completa por 3:

$$3 \cdot (5x - y) = 3 \cdot 3$$

$$15x - 3y = 9 \quad (3)$$

Sumamos miembro a miembro la ecuación original (1) y la nueva ecuación equivalente (3), alineando los términos semejantes:

$$\begin{aligned} 2x + 3y &= 8 \\ +\quad 15x - 3y &= 9 \\ \hline 17x + 0y &= 17 \end{aligned}$$

Despejamos la variable \(x\) a partir de la ecuación lineal resultante:

$$17x = 17$$

$$x = \frac{17}{17} = 1$$

Con el valor \(x = 1\) determinado, sustituimos este resultado en cualquiera de las ecuaciones iniciales para calcular la variable restante. Empleamos la ecuación (1):

$$2(1) + 3y = 8$$

$$2 + 3y = 8$$

$$3y = 8 - 2$$

$$3y = 6$$

$$y = \frac{6}{3} = 2$$

Obtenemos como solución los valores \(x=1\) e \(y=2\), que podemos escribir como el par ordenado \((x, y) = (1, 2)\) y representa el punto geométrico donde ambas rectas se cortan en el plano cartesiano.

Para verificar el resultado, sustituimos los valores \(x = 1\) e \(y = 2\) en las dos ecuaciones originales:

En la ecuación (1):

$$2(1) + 3(2) = 2 + 6 = 8$$

En la ecuación (2):

$$5(1) - (2) = 5 - 2 = 3$$

Ambas igualdades se satisfacen de forma simultánea, lo que confirma la validez de la solución obtenida.

Pasos para resolver un sistema por reducción

Para resolver cualquier sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas mediante este método, aplicamos la siguiente secuencia de pasos:

1. Seleccionar la incógnita a eliminar: Analizamos los coeficientes de \(x\) e \(y\) para determinar cuál requiere multiplicaciones más simples o ya posee signos contrarios.
2. Multiplicar las ecuaciones por factores adecuados: Multiplicamos una o ambas ecuaciones por números distintos de cero (generalmente números enteros convenientes), de modo que los coeficientes de la variable elegida queden iguales en valor absoluto pero con signos opuestos.
3. Sumar las ecuaciones miembro a miembro: Sumamos verticalmente los términos con \(x\), los términos con \(y\) y los términos independientes. La incógnita seleccionada se cancela y genera un coeficiente cero.
4. Resolver la ecuación resultante: Despejamos la incógnita restante a partir de la ecuación de primer grado obtenida tras la suma.
5. Calcular la otra incógnita: Sustituimos el valor numérico hallado en cualquiera de las ecuaciones originales y despejamos la segunda variable.
6. Verificar la solución: Reemplazamos ambos valores en las dos ecuaciones de partida para comprobar que ambas relaciones de igualdad se cumplen.

Tipos de soluciones

Al sumar miembro a miembro las ecuaciones transformadas, la relación entre sus coeficientes y términos independientes determina la naturaleza de las soluciones:

Clasificación del sistema	Resultado algebraico al reducir	Número de soluciones	Interpretación geométrica
Sistema compatible determinado (SCD)	Se obtiene un valor único para cada variable: \(x = a\), \(y = b\).	Solución única \((a, b)\).	Dos rectas secantes que se cortan en un único punto.
Sistema compatible indeterminado (SCI)	Las dos incógnitas se cancelan y queda una identidad verdadera: \(0 = 0\).	Infinitas soluciones.	Dos rectas coincidentes que comparten todos sus puntos.
Sistema incompatible (SI)	Las dos incógnitas se cancelan y queda una contradicción numérica: \(0 = k\) (con \(k \neq 0\)).	No tiene solución.	Dos rectas paralelas distintas que no tienen ningún punto en común.

Cuando ocurre una identidad del tipo 0 = 0, significa que una ecuación es equivalente o proporcional a la otra, por lo que ambas expresiones describen la misma recta en el plano. En cambio, si se obtiene una contradicción como 0 = 7, el sistema impone condiciones mutuamente excluyentes entre rectas paralelas que no se cortan.

Ejercicios resueltos

A continuación resolvemos una serie de sistemas ordenados según su complejidad algebraica. En cada caso numeramos las ecuaciones para facilitar el seguimiento de las operaciones miembro a miembro, el despeje de incógnitas y la verificación final.

Ejercicio 1

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de reducción:

$$\begin{cases} 3x + y = 7 \\ 2x - y = 8 \end{cases}$$

Solución

Identificamos cada una de las ecuaciones del sistema:

$$3x + y = 7 \quad (1)$$

$$2x - y = 8 \quad (2)$$

Observamos que los coeficientes de la incógnita y son opuestos directos (1 y −1). Por lo tanto, no es necesario multiplicar ninguna ecuación por un factor numérico; basta con sumarlas miembro a miembro:

$$\begin{aligned} 3x + y &= 7 \\ +\quad 2x - y &= 8 \\ \hline 5x + 0y &= 15 \end{aligned}$$

Despejamos el valor de la incógnita \(x\):

$$5x = 15$$

$$x = \frac{15}{5} = 3$$

Sustituimos el valor obtenido \(x = 3\) en la ecuación (1) para calcular la incógnita restante:

$$3(3) + y = 7$$

$$9 + y = 7$$

$$y = 7 - 9 = -2$$

Obtenemos como solución los valores \(x = 3\) e \(y = -2\), es decir, el par ordenado \((x, y) = (3, -2)\).

Para comprobar que la solución satisface el sistema, reemplazamos ambos valores en las dos ecuaciones iniciales:

En la ecuación (1):

$$3(3) + (-2) = 9 - 2 = 7$$

En la ecuación (2):

$$2(3) - (-2) = 6 + 2 = 8$$

Ambas igualdades se cumplen con exactitud.

Ejercicio 2

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{cases} 4x + 3y = 24 \\ 2x + 3y = 12 \end{cases}$$

Solución

Numeramos las ecuaciones para organizar el desarrollo:

$$4x + 3y = 24 \quad (1)$$

$$2x + 3y = 12 \quad (2)$$

La incógnita y tiene exactamente el mismo coeficiente y signo (+3) en ambas ecuaciones. Aunque es posible restar directamente la ecuación (2) de la ecuación (1), la resta directa suele inducir a errores en los signos del sustraendo. Por esta razón, resulta más seguro y sistemático multiplicar la ecuación (2) completa por −1 para cambiar el signo de todos sus términos y proceder con una suma vertical:

$$-1 \cdot (2x + 3y) = -1 \cdot 12$$

$$-2x - 3y = -12 \quad (3)$$

Sumamos miembro a miembro la ecuación (1) con la ecuación equivalente (3):

$$\begin{aligned} 4x + 3y &= 24 \\ +\quad -2x - 3y &= -12 \\ \hline 2x + 0y &= 12 \end{aligned}$$

Despejamos la incógnita \(x\):

$$2x = 12$$

$$x = \frac{12}{2} = 6$$

Sustituimos \(x = 6\) en la ecuación original (2) para hallar el valor de \(y\):

$$2(6) + 3y = 12$$

$$12 + 3y = 12$$

$$3y = 12 - 12$$

$$3y = 0$$

$$y = \frac{0}{3} = 0$$

Obtenemos como solución los valores \(x = 6\) e \(y = 0\), es decir, el par ordenado \((x, y) = (6, 0)\).

Verificamos los resultados en las ecuaciones originales:

En la ecuación (1):

$$4(6) + 3(0) = 24 + 0 = 24$$

En la ecuación (2):

$$2(6) + 3(0) = 12 + 0 = 12$$

Ambas igualdades se verifican simultáneamente.

Ejercicio 3

Resolver el siguiente sistema lineal mediante el método de eliminación:

$$\begin{cases} x + 4y = 9 \\ 3x - 2y = 13 \end{cases}$$

Solución

Identificamos las ecuaciones iniciales:

$$x + 4y = 9 \quad (1)$$

$$3x - 2y = 13 \quad (2)$$

En la ecuación (1), la incógnita x tiene coeficiente 1, mientras que en la ecuación (2) tiene coeficiente 3. Para conseguir que sus coeficientes sean opuestos, multiplicamos la ecuación (1) completa por −3:

$$-3 \cdot (x + 4y) = -3 \cdot 9$$

$$-3x - 12y = -27 \quad (3)$$

Sumamos verticalmente la ecuación (3) con la ecuación (2):

$$\begin{aligned} -3x - 12y &= -27 \\ +\quad 3x - 2y &= 13 \\ \hline 0x - 14y &= -14 \end{aligned}$$

Despejamos la incógnita \(y\):

$$-14y = -14$$

$$y = \frac{-14}{-14} = 1$$

Sustituimos el valor \(y = 1\) en la ecuación original (1) para despejar \(x\):

$$x + 4(1) = 9$$

$$x + 4 = 9$$

$$x = 9 - 4 = 5$$

Obtenemos como solución los valores \(x = 5\) e \(y = 1\), es decir, el par ordenado \((x, y) = (5, 1)\).

Comprobamos los valores en las dos relaciones iniciales:

En la ecuación (1):

$$5 + 4(1) = 5 + 4 = 9$$

En la ecuación (2):

$$3(5) - 2(1) = 15 - 2 = 13$$

Los valores satisfacen ambas igualdades.

Ejercicio 4

Determinar la solución del siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} 2x - 4y = -14 \\ 5x + 2y = 1 \end{cases}$$

Solución

Numeramos las dos ecuaciones:

$$2x - 4y = -14 \quad (1)$$

$$5x + 2y = 1 \quad (2)$$

Observamos los coeficientes de la incógnita y: en la ecuación (1) es −4 y en la ecuación (2) es +2. Como ya tienen signos contrarios y 4 es múltiplo exacto de 2, multiplicamos la ecuación (2) completa por 2 para igualar los valores absolutos:

$$2 \cdot (5x + 2y) = 2 \cdot 1$$

$$10x + 4y = 2 \quad (3)$$

Sumamos miembro a miembro la ecuación (1) con la nueva ecuación (3):

$$\begin{aligned} 2x - 4y &= -14 \\ +\quad 10x + 4y &= 2 \\ \hline 12x + 0y &= -12 \end{aligned}$$

Despejamos la variable \(x\):

$$12x = -12$$

$$x = \frac{-12}{12} = -1$$

Con el valor \(x = -1\), sustituimos en la ecuación inicial (2) para calcular \(y\):

$$5(-1) + 2y = 1$$

$$-5 + 2y = 1$$

$$2y = 1 + 5$$

$$2y = 6$$

$$y = \frac{6}{2} = 3$$

Obtenemos como solución los valores \(x = -1\) e \(y = 3\), es decir, el par ordenado \((x, y) = (-1, 3)\).

Verificamos la solución en ambas ecuaciones:

En la ecuación (1):

$$2(-1) - 4(3) = -2 - 12 = -14$$

En la ecuación (2):

$$5(-1) + 2(3) = -5 + 6 = 1$$

Ambas ecuaciones resultan ciertas para estos valores.

Ejercicio 5

Analizar y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} 2x - 3y = 5 \\ 4x - 6y = 7 \end{cases}$$

Solución

Identificamos cada una de las ecuaciones del sistema:

$$2x - 3y = 5 \quad (1)$$

$$4x - 6y = 7 \quad (2)$$

Buscamos eliminar la incógnita x. Como en la ecuación (2) su coeficiente es 4, multiplicamos la ecuación (1) por −2 para generar el coeficiente opuesto:

$$-2 \cdot (2x - 3y) = -2 \cdot 5$$

$$-4x + 6y = -10 \quad (3)$$

Sumamos miembro a miembro la ecuación (3) y la ecuación (2):

$$\begin{aligned} -4x + 6y &= -10 \\ +\quad 4x - 6y &= 7 \\ \hline 0x + 0y &= -3 \end{aligned}$$

Al simplificar la suma, ambas variables se cancelan y se obtiene la siguiente expresión numérica:

$$0 = -3$$

La igualdad obtenida es una contradicción numérica. Esto indica que no existe ningún par de valores reales \((x, y)\) que satisfaga ambas condiciones al mismo tiempo. Por lo tanto, el sistema es incompatible (no tiene solución). Desde una perspectiva geométrica, las ecuaciones representan dos rectas paralelas que no comparten ningún punto en el plano.

Ejercicio 6

Analizar y resolver el siguiente sistema lineal:

$$\begin{cases} 3x - y = 4 \\ 9x - 3y = 12 \end{cases}$$

Solución

Numeramos las ecuaciones planteadas:

$$3x - y = 4 \quad (1)$$

$$9x - 3y = 12 \quad (2)$$

Intentamos eliminar la incógnita y. Como en la ecuación (2) su coeficiente es −3, multiplicamos la ecuación (1) por −3 para obtener el coeficiente opuesto +3:

$$-3 \cdot (3x - y) = -3 \cdot 4$$

$$-9x + 3y = -12 \quad (3)$$

Sumamos miembro a miembro la ecuación (3) con la ecuación (2):

$$\begin{aligned} -9x + 3y &= -12 \\ +\quad 9x - 3y &= 12 \\ \hline 0x + 0y &= 0 \end{aligned}$$

La suma anula los términos de ambas variables y conduce a la siguiente relación:

$$0 = 0$$

La relación \(0 = 0\) es una identidad matemática verdadera para cualquier valor asignado a las variables que pertenezca a la recta. Esto ocurre porque la ecuación (2) es un múltiplo exacto de la ecuación (1). Por consiguiente, el sistema es compatible indeterminado y cuenta con infinitas soluciones. Geométricamente, ambas ecuaciones describen la misma recta en el plano (rectas coincidentes).

Para expresar analíticamente el conjunto con infinitas soluciones, despejamos una de las variables en función de la otra a partir de cualquiera de las ecuaciones equivalentes. Despejando y en la ecuación (1), obtenemos \(y = 3x - 4\). De este modo, el conjunto solución se define formalmente como \(S = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = 3x - 4\}\), o bien en forma paramétrica asignando a la variable independiente un parámetro real \(t\), lo que determina las soluciones de la forma \((x, y) = (t, 3t - 4)\) con \(t \in \mathbb{R}\).

Ejercicio 7

Resolver el siguiente sistema lineal aplicando el método de reducción:

$$\begin{cases} 3x + 4y = 6 \\ 2x - 3y = -13 \end{cases}$$

Solución

Numeramos las ecuaciones del sistema:

$$3x + 4y = 6 \quad (1)$$

$$2x - 3y = -13 \quad (2)$$

Los coeficientes de la incógnita y tienen signos contrarios (+4 y −3), pero ninguno es múltiplo entero del otro. Calculamos el mínimo común múltiplo entre sus valores absolutos, \(\text{m.c.m.}(4, 3) = 12\). Para transformar ambos coeficientes en 12 y −12, multiplicamos la ecuación (1) por 3 y la ecuación (2) por 4:

$$3 \cdot (3x + 4y) = 3 \cdot 6 \implies 9x + 12y = 18 \quad (3)$$

$$4 \cdot (2x - 3y) = 4 \cdot (-13) \implies 8x - 12y = -52 \quad (4)$$

Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (3) y (4):

$$\begin{aligned} 9x + 12y &= 18 \\ +\quad 8x - 12y &= -52 \\ \hline 17x + 0y &= -34 \end{aligned}$$

Despejamos la incógnita \(x\):

$$17x = -34$$

$$x = \frac{-34}{17} = -2$$

Sustituimos \(x = -2\) en la ecuación inicial (1) para determinar el valor de \(y\):

$$3(-2) + 4y = 6$$

$$-6 + 4y = 6$$

$$4y = 6 + 6$$

$$4y = 12$$

$$y = \frac{12}{4} = 3$$

Obtenemos como solución los valores \(x = -2\) e \(y = 3\), es decir, el par ordenado \((x, y) = (-2, 3)\).

Comprobamos los resultados en ambas ecuaciones:

En la ecuación (1):

$$3(-2) + 4(3) = -6 + 12 = 6$$

En la ecuación (2):

$$2(-2) - 3(3) = -4 - 9 = -13$$

Ambas igualdades se satisfacen.

Ejercicio 8

Determinar la solución del siguiente sistema lineal:

$$\begin{cases} 3x + 5y = 7 \\ 4x + 3y = 13 \end{cases}$$

Solución

Identificamos cada una de las ecuaciones:

$$3x + 5y = 7 \quad (1)$$

$$4x + 3y = 13 \quad (2)$$

Todos los coeficientes son positivos. Si decidimos eliminar la incógnita x, determinamos el mínimo común múltiplo entre 3 y 4, que es 12. Para generar coeficientes de signos opuestos y poder sumar verticalmente, multiplicamos la ecuación (1) por 4 y la ecuación (2) por −3:

$$4 \cdot (3x + 5y) = 4 \cdot 7 \implies 12x + 20y = 28 \quad (3)$$

$$-3 \cdot (4x + 3y) = -3 \cdot 13 \implies -12x - 9y = -39 \quad (4)$$

Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (3) y (4):

$$\begin{aligned} 12x + 20y &= 28 \\ +\quad -12x - 9y &= -39 \\ \hline 0x + 11y &= -11 \end{aligned}$$

Despejamos la incógnita \(y\):

$$11y = -11$$

$$y = \frac{-11}{11} = -1$$

Sustituimos el valor \(y = -1\) en la ecuación inicial (1) para despejar \(x\):

$$3x + 5(-1) = 7$$

$$3x - 5 = 7$$

$$3x = 7 + 5$$

$$3x = 12$$

$$x = \frac{12}{3} = 4$$

Obtenemos como solución los valores \(x = 4\) e \(y = -1\), es decir, el par ordenado \((x, y) = (4, -1)\).

Verificamos la solución en las ecuaciones de partida:

En la ecuación (1):

$$3(4) + 5(-1) = 12 - 5 = 7$$

En la ecuación (2):

$$4(4) + 3(-1) = 16 - 3 = 13$$

Ambas ecuaciones se verifican correctamente.

Ejercicio 9

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{cases} 2x = 5y + 4 \\ 3x + 13 = -2y \end{cases}$$

Solución

Las ecuaciones no se encuentran en la forma general \(ax + by = c\). Antes de aplicar el método de eliminación, transponemos los términos correspondientes para alinear las incógnitas en el miembro izquierdo y las constantes en el miembro derecho:

Para la primera ecuación:

$$2x - 5y = 4 \quad (1)$$

Para la segunda ecuación:

$$3x + 2y = -13 \quad (2)$$

Eliminamos la incógnita y, cuyos signos ya son contrarios. El mínimo común múltiplo entre 5 y 2 es 10. Multiplicamos la ecuación (1) por 2 y la ecuación (2) por 5:

$$2 \cdot (2x - 5y) = 2 \cdot 4 \implies 4x - 10y = 8 \quad (3)$$

$$5 \cdot (3x + 2y) = 5 \cdot (-13) \implies 15x + 10y = -65 \quad (4)$$

Sumamos verticalmente las ecuaciones (3) y (4):

$$\begin{aligned} 4x - 10y &= 8 \\ +\quad 15x + 10y &= -65 \\ \hline 19x + 0y &= -57 \end{aligned}$$

Despejamos la incógnita \(x\):

$$19x = -57$$

$$x = \frac{-57}{19} = -3$$

Sustituimos \(x = -3\) en la ecuación canónica (1) para encontrar \(y\):

$$2(-3) - 5y = 4$$

$$-6 - 5y = 4$$

$$-5y = 4 + 6$$

$$-5y = 10$$

$$y = \frac{10}{-5} = -2$$

Obtenemos como solución los valores \(x = -3\) e \(y = -2\), es decir, el par ordenado \((x, y) = (-3, -2)\).

Comprobamos en las relaciones originales no modificadas:

En la primera ecuación:

$$2(-3) = -6 \quad \text{y} \quad 5(-2) + 4 = -10 + 4 = -6$$

En la segunda ecuación:

$$3(-3) + 13 = -9 + 13 = 4 \quad \text{y} \quad -2(-2) = 4$$

Ambas igualdades se satisfacen.

Ejercicio 10

Resolver el siguiente sistema lineal:

$$\begin{cases} 2(x + y) - 3x = y + 4 \\ 3(x - 2) + 2(y - 1) = 5 \end{cases}$$

Solución

Aplicamos la propiedad distributiva en cada ecuación para eliminar los paréntesis y agrupamos los términos semejantes:

En la primera expresión:

$$2x + 2y - 3x = y + 4$$

$$-x + 2y - y = 4$$

$$-x + y = 4 \quad (1)$$

En la segunda expresión:

$$3x - 6 + 2y - 2 = 5$$

$$3x + 2y - 8 = 5$$

$$3x + 2y = 5 + 8$$

$$3x + 2y = 13 \quad (2)$$

Con el sistema ordenado, observamos que en la ecuación (1) el coeficiente de x es −1 y en la ecuación (2) es 3. Multiplicamos la ecuación (1) completa por 3 para igualar los valores con signo opuesto:

$$3 \cdot (-x + y) = 3 \cdot 4 \implies -3x + 3y = 12 \quad (3)$$

Sumamos miembro a miembro la ecuación (3) con la ecuación (2):

$$\begin{aligned} -3x + 3y &= 12 \\ +\quad 3x + 2y &= 13 \\ \hline 0x + 5y &= 25 \end{aligned}$$

Despejamos la incógnita \(y\):

$$5y = 25$$

$$y = \frac{25}{5} = 5$$

Sustituimos \(y = 5\) en la ecuación simplificada (1):

$$-x + 5 = 4$$

$$-x = 4 - 5$$

$$-x = -1 \implies x = 1$$

Obtenemos como solución los valores \(x = 1\) e \(y = 5\), es decir, el par ordenado \((x, y) = (1, 5)\).

Verificamos sustituyendo en los miembros de las ecuaciones iniciales con paréntesis:

En la primera ecuación:

$$2(1 + 5) - 3(1) = 2(6) - 3 = 12 - 3 = 9$$

$$y + 4 = 5 + 4 = 9$$

En la segunda ecuación:

$$3(1 - 2) + 2(5 - 1) = 3(-1) + 2(4) = -3 + 8 = 5$$

Los valores hallados satisfacen ambas igualdades.

Ejercicio 11

Resolver el siguiente sistema con coeficientes fraccionarios:

$$\begin{cases} \dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 3 \\ \\ \dfrac{x}{2} - \dfrac{y}{4} = \dfrac{5}{2} \end{cases}$$

Solución

Eliminamos los denominadores multiplicando cada ecuación por el mínimo común múltiplo de sus respectivos divisores.

En la primera ecuación, calculamos \(\text{m.c.m.}(3, 2) = 6\) y multiplicamos ambos miembros:

$$6 \cdot \left(\frac{x}{3} + \frac{y}{2}\right) = 6 \cdot 3$$

$$2x + 3y = 18 \quad (1)$$

En la segunda ecuación, calculamos \(\text{m.c.m.}(2, 4) = 4\) y multiplicamos ambos miembros:

$$4 \cdot \left(\frac{x}{2} - \frac{y}{4}\right) = 4 \cdot \frac{5}{2}$$

$$2x - y = 10 \quad (2)$$

Observamos que en ambas ecuaciones el término que contiene a x es 2x. Multiplicamos la ecuación (2) por −1 para obtener su opuesto y sumar directamente:

$$-1 \cdot (2x - y) = -1 \cdot 10 \implies -2x + y = -10 \quad (3)$$

Sumamos miembro a miembro la ecuación (1) con la ecuación (3):

$$\begin{aligned} 2x + 3y &= 18 \\ +\quad -2x + y &= -10 \\ \hline 0x + 4y &= 8 \end{aligned}$$

Despejamos la incógnita \(y\):

$$4y = 8$$

$$y = \frac{8}{4} = 2$$

Sustituimos el valor \(y = 2\) en la ecuación entera (2) para calcular \(x\):

$$2x - 2 = 10$$

$$2x = 10 + 2$$

$$2x = 12$$

$$x = \frac{12}{2} = 6$$

Obtenemos como solución los valores \(x = 6\) e \(y = 2\), es decir, el par ordenado \((x, y) = (6, 2)\).

Comprobamos en las expresiones fraccionarias iniciales:

En la primera ecuación:

$$\frac{6}{3} + \frac{2}{2} = 2 + 1 = 3$$

En la segunda ecuación:

$$\frac{6}{2} - \frac{2}{4} = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$$

Ambas igualdades son verdaderas.

Ejercicio 12

Resolver el siguiente sistema lineal usando el método de eliminación:

$$\begin{cases} \dfrac{x - 1}{2} - \dfrac{y + 3}{4} = \dfrac{3}{2} \\ \\ \dfrac{x + y}{2} + \dfrac{x - y}{3} = 4 \end{cases}$$

Solución

Multiplicamos cada ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores para obtener ecuaciones lineales enteras.

Para la primera ecuación, calculamos \(\text{m.c.m.}(2, 4) = 4\). Debemos prestar atención al signo negativo que precede a la segunda fracción, colocando el numerador entre paréntesis para aplicar el cambio de signo correspondiente:

$$4 \cdot \left(\frac{x - 1}{2}\right) - 4 \cdot \left(\frac{y + 3}{4}\right) = 4 \cdot \frac{3}{2}$$

$$2(x - 1) - (y + 3) = 6$$

$$2x - 2 - y - 3 = 6$$

$$2x - y - 5 = 6$$

$$2x - y = 11 \quad (1)$$

Para la segunda ecuación, calculamos \(\text{m.c.m.}(2, 3) = 6\) y multiplicamos ambos miembros:

$$6 \cdot \left(\frac{x + y}{2}\right) + 6 \cdot \left(\frac{x - y}{3}\right) = 6 \cdot 4$$

$$3(x + y) + 2(x - y) = 24$$

$$3x + 3y + 2x - 2y = 24$$

$$5x + y = 24 \quad (2)$$

Conformamos el sistema con las ecuaciones simplificadas:

$$\begin{cases} 2x - y = 11 \\ 5x + y = 24 \end{cases}$$

Observamos que la incógnita y ya posee coeficientes opuestos directos (−1 y +1). Sumamos las ecuaciones (1) y (2) miembro a miembro:

$$\begin{aligned} 2x - y &= 11 \\ +\quad 5x + y &= 24 \\ \hline 7x + 0y &= 35 \end{aligned}$$

Despejamos la incógnita \(x\):

$$7x = 35$$

$$x = \frac{35}{7} = 5$$

Sustituimos el valor \(x = 5\) en la ecuación entera (2) para calcular \(y\):

$$5(5) + y = 24$$

$$25 + y = 24$$

$$y = 24 - 25 = -1$$

Obtenemos como solución los valores \(x = 5\) e \(y = -1\), es decir, el par ordenado \((x, y) = (5, -1)\).

Comprobamos en las ecuaciones iniciales sustituyendo \(x = 5\) e \(y = -1\):

En la primera ecuación:

$$\frac{5 - 1}{2} - \frac{-1 + 3}{4} = \frac{4}{2} - \frac{2}{4} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

En la segunda ecuación:

$$\frac{5 + (-1)}{2} + \frac{5 - (-1)}{3} = \frac{4}{2} + \frac{6}{3} = 2 + 2 = 4$$

Ambas ecuaciones iniciales se satisfacen.

Ejercicio 13

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{cases} 6x + 4y = 5 \\ 9x - 8y = -3 \end{cases}$$

Solución

Numeramos las ecuaciones del sistema:

$$6x + 4y = 5 \quad (1)$$

$$9x - 8y = -3 \quad (2)$$

Los coeficientes de la incógnita y tienen signos contrarios (+4 y −8), y 8 es múltiplo exacto de 4. Multiplicamos la ecuación (1) por 2 para igualar los coeficientes en valor absoluto sin alterar la ecuación (2):

$$2 \cdot (6x + 4y) = 2 \cdot 5 \implies 12x + 8y = 10 \quad (3)$$

Sumamos miembro a miembro la ecuación (3) con la ecuación (2):

$$\begin{aligned} 12x + 8y &= 10 \\ +\quad 9x - 8y &= -3 \\ \hline 21x + 0y &= 7 \end{aligned}$$

Despejamos la incógnita \(x\) y simplificamos la fracción resultante dividiendo numerador y denominador entre 7:

$$21x = 7$$

$$x = \frac{7}{21} = \frac{1}{3}$$

Sustituimos la fracción \(x = \frac{1}{3}\) en la ecuación (1) para calcular \(y\):

$$6\left(\frac{1}{3}\right) + 4y = 5$$

$$2 + 4y = 5$$

$$4y = 5 - 2$$

$$4y = 3$$

$$y = \frac{3}{4}$$

Obtenemos como solución los valores \(x = \frac{1}{3}\) e \(y = \frac{3}{4}\), es decir, el par ordenado \((x, y) = \left(\frac{1}{3}, \frac{3}{4}\right)\).

Comprobamos en las dos ecuaciones iniciales:

En la ecuación (1):

$$6\left(\frac{1}{3}\right) + 4\left(\frac{3}{4}\right) = 2 + 3 = 5$$

En la ecuación (2):

$$9\left(\frac{1}{3}\right) - 8\left(\frac{3}{4}\right) = 3 - 6 = -3$$

Ambas igualdades se cumplen con exactitud.

Ejercicio 14

Determinar la solución del siguiente sistema lineal:

$$\begin{cases} 2x + 6y = -1 \\ 4x - 9y = 5 \end{cases}$$

Solución

Identificamos cada ecuación:

$$2x + 6y = -1 \quad (1)$$

$$4x - 9y = 5 \quad (2)$$

Para eliminar la incógnita x, observamos que en la ecuación (2) su coeficiente es 4. Multiplicamos la ecuación (1) completa por −2 para obtener el coeficiente opuesto −4:

$$-2 \cdot (2x + 6y) = -2 \cdot (-1) \implies -4x - 12y = 2 \quad (3)$$

Sumamos miembro a miembro la ecuación (3) con la ecuación (2):

$$\begin{aligned} -4x - 12y &= 2 \\ +\quad 4x - 9y &= 5 \\ \hline 0x - 21y &= 7 \end{aligned}$$

Despejamos la incógnita \(y\) y simplificamos entre 7:

$$-21y = 7$$

$$y = \frac{7}{-21} = -\frac{1}{3}$$

Sustituimos el valor \(y = -\frac{1}{3}\) en la ecuación inicial (1):

$$2x + 6\left(-\frac{1}{3}\right) = -1$$

$$2x - 2 = -1$$

$$2x = -1 + 2$$

$$2x = 1$$

$$x = \frac{1}{2}$$

Obtenemos como solución los valores \(x = \frac{1}{2}\) e \(y = -\frac{1}{3}\), es decir, el par ordenado \((x, y) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}\right)\).

Verificamos la solución en las ecuaciones originales:

En la ecuación (1):

$$2\left(\frac{1}{2}\right) + 6\left(-\frac{1}{3}\right) = 1 - 2 = -1$$

En la ecuación (2):

$$4\left(\frac{1}{2}\right) - 9\left(-\frac{1}{3}\right) = 2 + 3 = 5$$

Las dos ecuaciones iniciales resultan verificadas.

Ejercicio 15

Resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

\(\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}\)

Solución

Numeramos las tres ecuaciones del sistema:

$$x + y + z = 6 \quad (1)$$

$$2x - y + z = 3 \quad (2)$$

$$x + 2y - z = 2 \quad (3)$$

Elegimos eliminar la incógnita z combinando dos parejas distintas de ecuaciones, aprovechando que en la ecuación (3) su coeficiente es −1 y en las ecuaciones (1) y (2) es +1.

Primero sumamos miembro a miembro las ecuaciones (1) y (3):

$$\begin{aligned} x + y + z &= 6 \\ +\quad x + 2y - z &= 2 \\ \hline 2x + 3y + 0z &= 8 \quad (4) \end{aligned}$$

Luego sumamos miembro a miembro las ecuaciones (2) y (3):

$$\begin{aligned} 2x - y + z &= 3 \\ +\quad x + 2y - z &= 2 \\ \hline 3x + y + 0z &= 5 \quad (5) \end{aligned}$$

Con las ecuaciones (4) y (5) formamos un sub-sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

$$\begin{cases} 2x + 3y = 8 \quad (4) \\ 3x + y = 5 \quad (5) \end{cases}$$

Para eliminar y, multiplicamos la ecuación (5) completa por −3:

$$-3 \cdot (3x + y) = -3 \cdot 5 \implies -9x - 3y = -15 \quad (6)$$

Sumamos la ecuación (4) con la ecuación (6):

$$\begin{aligned} 2x + 3y &= 8 \\ +\quad -9x - 3y &= -15 \\ \hline -7x + 0y &= -7 \end{aligned}$$

Despejamos la incógnita \(x\):

$$-7x = -7 \implies x = \frac{-7}{-7} = 1$$

Sustituimos \(x = 1\) en la ecuación (5) para hallar \(y\):

$$3(1) + y = 5$$

$$3 + y = 5 \implies y = 5 - 3 = 2$$

Con los valores \(x = 1\) e \(y = 2\), calculamos la tercera incógnita sustituyendo en la ecuación original (1):

$$1 + 2 + z = 6$$

$$3 + z = 6 \implies z = 6 - 3 = 3$$

Obtenemos como solución los valores \(x = 1\), \(y = 2\) y \(z = 3\), es decir, la terna ordenada \((x, y, z) = (1, 2, 3)\).

Comprobamos en las tres ecuaciones iniciales:

En la ecuación (1):

$$1 + 2 + 3 = 6$$

En la ecuación (2):

$$2(1) - 2 + 3 = 2 - 2 + 3 = 3$$

En la ecuación (3):

$$1 + 2(2) - 3 = 1 + 4 - 3 = 2$$

La terna satisface simultáneamente las tres ecuaciones.

Ejercicio 16

En una librería, 3 cuadernos y 4 marcadores tienen un costo total de 24 dólares. Por otra parte, 5 cuadernos y 2 marcadores de los mismos modelos cuestan 26 dólares. Determinar el precio individual de cada cuaderno y de cada marcador.

Solución

Definimos las incógnitas a partir de la información del problema:

• c: precio de cada cuaderno en dólares.
• m: precio de cada marcador en dólares.

Planteamos el sistema lineal traduciendo los enunciados a expresiones algebraicas:

$$\begin{cases}3c + 4m = 24 \quad (1) \\5c + 2m = 26 \quad (2) \end{cases}$$

Eliminamos la variable m. Como en la ecuación (1) su coeficiente es 4 y en la ecuación (2) es 2, multiplicamos la ecuación (2) por −2:

$$-2 \cdot (5c + 2m) = -2 \cdot 26 \implies -10c - 4m = -52 \quad (3)$$

Sumamos miembro a miembro la ecuación (1) con la ecuación (3):

$$\begin{aligned} 3c + 4m &= 24 \\ +\quad -10c - 4m &= -52 \\ \hline -7c + 0m &= -28 \end{aligned}$$

Despejamos el valor de \(c\):

$$-7c = -28$$

$$c = \frac{-28}{-7} = 4$$

Sustituimos \(c = 4\) en la ecuación inicial (1) para encontrar \(m\):

$$3(4) + 4m = 24$$

$$12 + 4m = 24$$

$$4m = 24 - 12$$

$$4m = 12$$

$$m = \frac{12}{4} = 3$$

Comprobamos en las condiciones del enunciado original:

Costo del primer pedido: \(3(4) + 4(3) = 12 + 12 = 24\) dólares.

Costo del segundo pedido: \(5(4) + 2(3) = 20 + 6 = 26\) dólares.

Por lo tanto, cada cuaderno cuesta 4 dólares y cada marcador cuesta 3 dólares.

Ejercicio 17

Un laboratorio dispone de dos soluciones salinas: una al 15% de concentración y otra al 40%. Determinar cuántos litros de cada tipo deben mezclarse para obtener 60 litros de una solución con una concentración final del 25%.

Solución

Definimos las incógnitas del problema:

• x: volumen en litros de la solución al 15%.
• y: volumen en litros de la solución al 40%.

El volumen total de la mezcla debe ser de 60 litros:

$$x + y = 60 \quad (1)$$

La cantidad total de sal pura aportada en conjunto por ambas soluciones equivale al 25% del volumen final: \(0.25 \cdot 60 = 15\) litros. Planteamos el balance de concentración:

$$0.15x + 0.40y = 15 \quad (2)$$

Para trabajar con coeficientes enteros, multiplicamos la ecuación (2) completa por 100:

$$100 \cdot (0.15x + 0.40y) = 100 \cdot 15 \implies 15x + 40y = 1500$$

Simplificamos esta ecuación dividiendo cada término entre 5:

$$3x + 8y = 300 \quad (3)$$

Conformamos el sistema con las ecuaciones (1) y (3):

$$\begin{cases}x + y = 60 \quad (1) \\ 3x + 8y = 300 \quad (3) \end{cases}$$

Para eliminar la incógnita x, multiplicamos la ecuación (1) por −3:

$$-3 \cdot (x + y) = -3 \cdot 60 \implies -3x - 3y = -180 \quad (4)$$

Sumamos verticalmente la ecuación (4) con la ecuación (3):

$$\begin{aligned} -3x - 3y &= -180 \\ +\quad 3x + 8y &= 300 \\ \hline 0x + 5y &= 120 \end{aligned}$$

Despejamos el valor de \(y\):

$$5y = 120 \implies y = \frac{120}{5} = 24$$

Sustituimos \(y = 24\) en la ecuación inicial (1):

$$x + 24 = 60 \implies x = 60 - 24 = 36$$

Comprobamos en las condiciones de concentración iniciales:

Volumen total: \(36 + 24 = 60\) litros.

Sal pura aportada: \(0.15(36) + 0.40(24) = 5.4 + 9.6 = 15\) litros.

Se deben mezclar 36 litros de la solución al 15% y 24 litros de la solución al 40%.

Ejercicio 18

Una lancha a motor recorre un tramo de 48 kilómetros río abajo (a favor de la corriente) en 2 horas. En el trayecto de regreso, navegando río arriba (en contra de la corriente), tarda 3 horas en recorrer la misma distancia. Suponiendo que la velocidad de la lancha y la de la corriente se mantuvieron constantes, calcular la velocidad de la lancha en aguas tranquilas y la velocidad de la corriente del río.

Solución

Definimos las incógnitas de velocidad:

• v: velocidad de la lancha en aguas tranquilas (en km/h).
• c: velocidad de la corriente del río (en km/h).

Aplicamos la relación cinemática \(\text{distancia} = \text{velocidad} \cdot \text{tiempo}\):

Al navegar a favor de la corriente, las velocidades se suman, determinando una velocidad efectiva de \((v + c)\):

$$2(v + c) = 48 \implies v + c = \frac{48}{2} \implies v + c = 24 \quad (1)$$

Al navegar en contra de la corriente, la corriente frena el avance y la velocidad efectiva es \((v - c)\):

$$3(v - c) = 48 \implies v - c = \frac{48}{3} \implies v - c = 16 \quad (2)$$

Conformamos el sistema con ambas ecuaciones simplificadas:

$$\begin{cases} v + c = 24 \\ v - c = 16 \end{cases}$$

Los términos correspondientes a la velocidad de la corriente c poseen coeficientes opuestos directos (+1 y −1). Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2):

$$\begin{aligned} v + c &= 24 \\ +\quad v - c &= 16 \\ \hline 2v + 0c &= 40 \end{aligned}$$

Despejamos la incógnita \(v\):

$$2v = 40 \implies v = \frac{40}{2} = 20$$

Sustituimos \(v = 20\) en la ecuación (1) para calcular \(c\):

$$20 + c = 24 \implies c = 24 - 20 = 4$$

Verificamos los tiempos de recorrido resultantes:

Tiempo a favor de la corriente: \(\dfrac{48}{20 + 4} = \dfrac{48}{24} = 2\) horas.

Tiempo en contra de la corriente: \(\dfrac{48}{20 - 4} = \dfrac{48}{16} = 3\) horas.

La velocidad de la lancha en aguas tranquilas es de 20 km/h y la velocidad de la corriente del río es de 4 km/h.