Leyes de conjuntos

Por Daniel Machado Actualizado: 23/09/2026

Las leyes del álgebra de conjuntos son igualdades matemáticas entre operaciones con conjuntos que se cumplen siempre para cualquier conjunto dentro de un universo de referencia. Estas propiedades permiten transformar operaciones complejas de unión, intersección y complemento en expresiones equivalentes más simples, sin necesidad de recurrir a diagramas o análisis elemento por elemento.

Índice

Tabla de propiedades

A continuación se presentan las principales leyes que rigen las operaciones entre conjuntos, considerando los conjuntos A, B y C dentro de un conjunto universal U, el conjunto vacío ∅ y el complemento denotado como A':

Nombre de la ley	Expresión matemática	Descripción
Leyes de identidad	A ∪ ∅ = A A ∩ U = A	La unión con el conjunto vacío o la intersección con el conjunto universal no alteran al conjunto original.
Leyes de dominación	A ∪ U = U A ∩ ∅ = ∅	La unión con el conjunto universal da como resultado el universo, y la intersección con el vacío produce siempre el conjunto vacío.
Leyes de idempotencia	A ∪ A = A A ∩ A = A	Operar un conjunto consigo mismo bajo unión o intersección devuelve el mismo conjunto.
Leyes del complemento	A ∪ A' = U A ∩ A' = ∅	La unión de un conjunto con su complemento abarca todo el universo, mientras que su intersección no comparte ningún elemento.
Ley de involución	(A')' = A	El complemento del complemento de un conjunto equivale al conjunto original.
Leyes conmutativas	A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A	El orden de los operandos no modifica el resultado de la unión ni de la intersección.
Leyes asociativas	(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)	Al enlazar operaciones del mismo tipo, la agrupación de los conjuntos no altera el resultado final.
Leyes distributivas	A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)	La intersección se distribuye sobre la unión, y la unión se distribuye de forma análoga sobre la intersección.
Leyes de De Morgan	(A ∪ B)' = A' ∩ B' (A ∩ B)' = A' ∪ B'	El complemento de una unión es la intersección de los complementos, y el complemento de una intersección es la unión de los complementos.
Leyes de absorción	A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (A ∪ B) = A	Una operación combinada de unión e intersección donde un conjunto se repite fuera y dentro del paréntesis se reduce a dicho conjunto.
Ley de la diferencia	A - B = A ∩ B'	La diferencia entre dos conjuntos equivale a la intersección del primero con el complemento del segundo.

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Cómo demostrar las propiedades

Para comprobar que una ley o igualdad entre conjuntos se cumple, se utiliza el método de la doble inclusión. Dos conjuntos A y B son iguales si y solo si tienen exactamente los mismos elementos, lo que exige probar dos condiciones por separado: primero que A ⊆ B y luego que B ⊆ A.

En la práctica, este procedimiento consiste en tomar un elemento genérico x y traducir las operaciones de conjuntos a proposiciones lógicas equivalentes. Cada conectiva de conjuntos se corresponde con un enlace lógico: la unión representa una disyunción (∨), la intersección una conjunción (∧) y el complemento una negación (¬). A continuación, se muestran dos ejemplos desarrollados paso a paso mediante este razonamiento.

Demostración de una de las leyes de De Morgan

Tomamos la igualdad (A ∪ B)' = A' ∩ B'. Para verificarla, comprobamos ambas inclusiones analizando la pertenencia de un elemento cualquiera x.

Primero probamos la inclusión hacia la derecha, es decir, (A ∪ B)' ⊆ A' ∩ B':

Suponemos que x ∈ (A ∪ B)'. Por definición de complemento, esto significa que x ∉ (A ∪ B).
Estar fuera de la unión equivale a negar que pertenezca a alguno de los dos conjuntos: ¬(x ∈ A ∨ x ∈ B).
Aplicando la ley lógica de negación de la disyunción, la expresión se transforma en: x ∉ A ∧ x ∉ B.
Por la definición de complemento para cada conjunto por separado, deducimos que x ∈ A' ∧ x ∈ B'.
Dado que pertenece a ambos conjuntos complementarios a la vez, concluimos que x ∈ A' ∩ B', completando la primera inclusión.

A continuación, probamos la inclusión en sentido contrario, es decir, A' ∩ B' ⊆ (A ∪ B)':

Tomamos ahora un elemento que cumple x ∈ A' ∩ B'. Por definición de intersección, se cumple que x ∈ A' ∧ x ∈ B'.
Al aplicar la definición de conjunto complementario a cada parte, obtenemos x ∉ A ∧ x ∉ B.
Agrupando ambas negaciones mediante la equivalencia lógica correspondiente, escribimos: ¬(x ∈ A ∨ x ∈ B).
Esta negación indica que el elemento no forma parte de la unión: x ∉ (A ∪ B).
Por definición de complemento, deducimos finalmente que x ∈ (A ∪ B)'.

Habiendo verificado que cada conjunto está contenido en el otro, queda demostrada la igualdad (A ∪ B)' = A' ∩ B'.

Demostración de la propiedad distributiva

Analizamos ahora la distribución de la intersección respecto a la unión: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Nuevamente, dividimos el razonamiento en dos partes para cubrir ambas inclusiones.

Para probar que A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) seguimos esta secuencia de deducciones:

Partimos de un elemento que satisface x ∈ A ∩ (B ∪ C). Por definición de intersección, esto se expresa como x ∈ A ∧ x ∈ (B ∪ C).
Traducimos la unión interna a su forma lógica: x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C).
Aplicamos la ley distributiva de la lógica proposicional (la conjunción respecto a la disyunción), obteniendo: (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C).
Reescribimos cada paréntesis según la definición de intersección: x ∈ (A ∩ B) ∨ x ∈ (A ∩ C).
Por definición de unión de conjuntos, concluimos que x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Para completar la demostración, verificamos la inclusión recíproca, (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C):

Asumimos que x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Por definición de unión, se tiene que x ∈ (A ∩ B) ∨ x ∈ (A ∩ C).
Desglosamos las intersecciones en conjunciones lógicas: (x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C).
Extraemos el factor común x ∈ A aplicando la distributividad lógica: x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C).
Convertimos la disyunción del paréntesis en una unión de conjuntos: x ∈ A ∧ x ∈ (B ∪ C).
Por definición de intersección, deducimos que x ∈ A ∩ (B ∪ C).