Conjuntos disjuntos

En la literatura matemática avanzada, también es posible denotar que dos colecciones son ajenas mediante el símbolo de perpendicularidad o disyunción, escribiendo A ⟂ B. No obstante, la notación estándar y más extendida continúa siendo la ausencia de elementos en su intersección.

Por el contrario, cuando dos conjuntos comparten al menos un elemento, decimos que son conjuntos no disjuntos, intersecantes o solapados. En tales casos, se verifica formalmente que A ∩ B ≠ Ø, lo que indica la existencia de una región común no vacía entre ellos.

Gráficamente, la relación de disyunción se visualiza mediante un diagrama de Venn. Dentro de la región rectangular que delimita al conjunto universal U, los conjuntos A y B se representan como dos regiones ovales completamente separadas entre sí, sin ningún tipo de solapamiento o área compartida.

Ejemplos

A continuación, analizamos distintas situaciones tanto en conjuntos finitos como en estructuras numéricas infinitas:

1. Si analizamos las letras de nuestro idioma, podemos definir el conjunto de las vocales V = {a, e, i, o, u} y el conjunto de las consonantes C = {b, c, d,..., z}. Dado que ninguna letra puede pertenecer a ambas categorías simultáneamente, se cumple que V ∩ C = Ø, siendo subconjuntos disjuntos dentro del alfabeto.
2. Al clasificar los números de una sola cifra en el sistema decimal, encontramos a los números pares P = {0, 2, 4, 6, 8} y a los números impares I = {1, 3, 5, 7, 9}. La intersección entre ambas agrupaciones no contiene elementos, por lo que P ∩ I = Ø.
3. En la geometría plana, consideremos el conjunto de los triángulos T = {x | x es un polígono de 3 lados} y el conjunto de los cuadriláteros C = {x | x es un polígono de 4 lados}. Como un polígono no puede poseer tres y cuatro lados al mismo tiempo, ambos conjuntos son ajenos entre sí.
4. Dentro del dominio de los números enteros, definimos a los enteros estrictamente positivos Z⁺ = {x ∈ Z | x > 0} y a los enteros estrictamente negativos Z^- = {x ∈ Z | x < 0}. Ningún número tiene ambos signos a la vez, lo que garantiza que Z⁺ ∩ Z^- = Ø, quedando además el cero excluido de ambos conjuntos.
5. Al estudiar la recta real, examinamos el conjunto de los números racionales Q y el conjunto de los números irracionales I. Como un número real o bien se puede expresar como fracción de enteros o bien tiene infinitos decimales no periódicos, jamás puede cumplir ambas condiciones, verificándose que Q ∩ I = Ø.

Conjuntos disjuntos por pares

Cuando trabajamos con más de dos conjuntos, el concepto de disyunción puede extenderse a toda la colección. Una familia de conjuntos se denomina disjunta por pares, o disjunta dos a dos, si al tomar dos conjuntos distintos cualesquiera de la colección, estos resultan ser ajenos entre sí.

En términos formales, dada una colección finita o infinita de conjuntos {A₁, A₂,..., A_n}, decimos que son disjuntos por pares si cumplen la condición:

A_i ∩ A_j = Ø para todo i ≠ j

Por ejemplo, si consideramos las siguientes tres agrupaciones: A = {1, 2}, B = {3, 4} y C = {5, 6}. Al analizar los pares posibles, comprobamos que A ∩ B = Ø, A ∩ C = Ø y B ∩ C = Ø. Como ninguna combinación comparte elementos, la colección completa es disjunta por pares.

Es fundamental no confundir esta condición con la propiedad de tener una intersección global vacía. Que la intersección de todos los conjuntos tomados a la vez sea vacía no garantiza que sean disjuntos por pares.

Para ilustrar esta diferencia, consideremos los siguientes tres conjuntos: A = {1, 2}, B = {2, 3} y C = {3, 4}. Si calculamos la intersección simultánea de los tres, observamos que ningún elemento pertenece a los tres grupos al mismo tiempo, obteniendo A ∩ B ∩ C = Ø.

Sin embargo, estos conjuntos no son disjuntos por pares, ya que al compararlos de dos en dos encontramos que A ∩ B = {2} ≠ Ø y B ∩ C = {3} ≠ Ø. Para que fueran ajenos dos a dos, ninguna pareja podría compartir elementos.

Propiedades

Los conjuntos disjuntos presentan regularidades algebraicas que facilitan la simplificación de operaciones y la resolución de demostraciones lógicas. A continuación, detallamos las relaciones más relevantes.

1) Disyunción con el conjunto vacío: cualquier conjunto A es disjunto con respecto al conjunto vacío, ya que este último carece por completo de elementos.

A ∩ Ø = Ø

2) Diferencia de conjuntos disjuntos: al restar dos conjuntos que no tienen elementos en común, el conjunto minuendo permanece inalterado, pues no se le sustrae ningún valor.

A - B = A

De forma complementaria y recíproca, se verifica exactamente la misma condición en sentido inverso:

B - A = B

3) Inclusión en el complemento: dos conjuntos son ajenos si y solo si uno de ellos está totalmente contenido dentro del complemento del otro.

A ∩ B = Ø ↔ A ⊆ B′

Esta equivalencia también puede enunciarse de manera simétrica, estableciendo que B ⊆ A′.

4) Cardinalidad de la unión (principio de adición): para conjuntos finitos que no comparten elementos, el número total de elementos de la unión equivale a la suma simple de los cardinales individuales.

|A ∪ B| = |A| + |B|

Dado que el cardinal de la intersección es nulo (|A ∩ B| = 0), no es necesario descontar elementos repetidos en el recuento general.

5) Diferencia simétrica idéntica a la unión: la diferencia simétrica reúne a los elementos que pertenecen a un conjunto o al otro, pero no a ambos a la vez. Al ser ajenos, coincide plenamente con la unión.

A Δ B = A ∪ B

6) Intersección con subconjuntos: si dos conjuntos son disjuntos, cualquier subconjunto que tomemos a partir de uno de ellos continuará siendo disjunto respecto al otro conjunto original.

(A ∩ B = Ø ∧ C ⊆ A) → C ∩ B = Ø

Ejercicios resueltos

Para determinar si dos o más conjuntos son ajenos, el procedimiento fundamental consiste en hallar su intersección. Si no existen elementos comunes entre ellos, confirmamos formalmente que son disjuntos. A continuación, resolvemos cuatro situaciones prácticas para aplicar estos criterios y sus propiedades algebraicas.

Ejercicio 1

Consideremos los conjuntos dados por extensión A = {2, 4, 6, 8} y B = {1, 3, 5, 7, 9}. Determinar si A y B son conjuntos disjuntos justificando la respuesta a partir de su intersección.

Solución

Para comprobar si los conjuntos son ajenos, buscamos si existe algún elemento que pertenezca simultáneamente a ambas agrupaciones.

Comparamos los elementos de A con los de B y observamos que ninguno coincide, ya que todos los valores de A son pares y los de B son impares. Calculamos su intersección:

A ∩ B = Ø

Dado que la intersección entre ambos conjuntos da como resultado el conjunto vacío, concluimos que A y B son efectivamente conjuntos disjuntos.

Ejercicio 2

Sean los conjuntos definidos por comprensión A = {x ∈ N | x es múltiplo de 5 ∧ x ≤ 20} y B = {x ∈ N | x es divisor de 18}. Determinar por extensión cada conjunto y analizar si son disjuntos.

Solución

Comenzamos listando los elementos de cada conjunto por extensión a partir de las condiciones dadas.

Para el conjunto A, buscamos los múltiplos naturales de 5 menores o iguales a 20:

A = {5, 10, 15, 20}

Para el conjunto B, hallamos todos los divisores enteros positivos de 18:

B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Procedemos a calcular la intersección entre ambos conjuntos para verificar si comparten algún elemento:

A ∩ B = Ø

Al no compartir ningún divisor ni múltiplo común en este rango, comprobamos que A y B son conjuntos disjuntos.

Ejercicio 3

Dada la colección de conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {4, 5} y C = {3, 6, 7}, verificar si forman una familia de conjuntos disjuntos por pares analizando cada combinación posible.

Solución

Para que una colección sea disjunta por pares, toda pareja posible de conjuntos distintos debe tener una intersección igual al conjunto vacío.

Analizamos en primer lugar la pareja formada por A y B:

A ∩ B = Ø

Continuamos evaluando la intersección entre B y C:

B ∩ C = Ø

Finalmente, calculamos la intersección entre el conjunto A y el conjunto C:

A ∩ C = {3} ≠ Ø

Aunque las parejas (A, B) y (B, C) son disjuntas entre sí, la pareja (A, C) comparte el elemento 3. Por lo tanto, concluimos que la colección no es disjunta por pares.

Ejercicio 4

En un conjunto universal U con |U| = 30 elementos, se tienen dos conjuntos disjuntos A y B cuyos cardinales son |A| = 11 y |B| = 13. Calcular el cardinal de la unión |A ∪ B| y el cardinal de su complemento conjunto |(A ∪ B)′|.

Solución

Dado que los conjuntos A y B son disjuntos, sabemos que se cumple A ∩ B = Ø, lo cual implica directamente que |A ∩ B| = 0.

Aplicamos el principio de adición para conjuntos ajenos sumando sus cardinales directamente:

|A ∪ B| = |A| + |B| = 11 + 13 = 24

A continuación, para determinar el cardinal del complemento (A ∪ B)′, restamos el cardinal de la unión al cardinal del conjunto universal de referencia:

|(A ∪ B)′| = |U| - |A ∪ B| = 30 - 24 = 6

De esta manera, obtenemos que la unión agrupa un total de 24 elementos y que fuera de ella restan exactamente 6 elementos dentro del universo considerado.