Determinación de conjuntos por extensión y comprensión

Daniel Machado · Actualizado el 05/09/2025

Un conjunto es una colección bien definida de objetos, llamados elementos. Determinar un conjunto es expresar los elementos que lo conforman, y esto puede hacerse de dos maneras: por extensión, cuando se escriben todos los elementos, o por comprensión, cuando se enuncia la propiedad común que los caracteriza.

Índice

Conjuntos por extensión

Determinar un conjunto por extensión (también llamada enumeración o forma tabular) consiste en escribir explícitamente los elementos que conforman el conjunto separados por comas y entre llaves. Es decir, un conjunto se determina por extensión cuando se listan o mencionan uno a uno todos sus elementos.

Ejemplos

A = {a, b, c}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
C = {-1, 1}
D = {n, d, m, u, o}
E = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
F = {a, e, i, o, u}
G = {2, 4, 6, 8, 10}
El conjunto vacío (aquel que no contiene elementos) se denota con llaves sin nada dentro: Ø = { }.

Al determinar por enumeración no importa el orden en que se escriban los elementos ni si estos se repiten. Por ejemplo, los siguientes tres conjuntos son iguales: {a, b, c}; {c, a, b}; {a, a, c, b, c}.

Una ventaja de este método de determinación es que es fácil comprender y visualizar los elementos del conjunto. La desventaja principal es que esta forma es tediosa para conjuntos grandes e imposible de realizar para conjuntos infinitos. Como en matemáticas la mayoría de conjuntos que se trabajan son infinitos, es habitual que sea más utilizada la segunda forma de determinar conjuntos.

Conjuntos por comprensión

Determinar un conjunto por comprensión (también llamada descripción o forma constructiva) consiste en enunciar la o las propiedades que cumplen los elementos del conjunto. Es decir, en lugar de listar los elementos, se describe lo que los hace parte del conjunto.

Para esto, utilizamos una x (u otra letra) para indicar un elemento genérico del conjunto, luego escribimos una barra vertical | (que se lee "tal que" o "tales que") y luego la o las condiciones que deben cumplir esas x. En lugar de barra vertical puede usarse una barra inclinada (/) o dos puntos (:).

Ejemplos

A = { x | x es alguna de las primeras tres letras del alfabeto}
B = { x | x es un número natural menor o igual a 10}
C = { x | x² = 1}
D = { x | x es una letra de la palabra "mundo"}
E = { x | x es un número natural impar menor o igual a 11}
F = { x / x es una vocal}
G = { x : x es un número par menor entre 2 y 10 incluyéndolos}

No existe una única forma de denotar un conjunto por comprensión. Pueden expresarse de diferentes formas siempre y cuando no haya ambigüedad. Por ejemplo, otra forma de expresar al conjunto B es:

B = {x | x es entero y 1 ≤ x ≤ 10}

Es común en matemáticas crear nuevos conjuntos a partir de algunos elementos de otro conjunto. Así, si queremos formar un conjunto E a partir de los elementos de otro conjunto U, se expresa que B es en conjunto cuyos elementos pertenecen a U, lo simbolizamos como x ∈ U (el símbolo ∈ se lee "pertenece"), tales que cumplen una determinada condición. El conjunto U es llamado conjunto universal o universo de discurso y es aquel que contiene todos los elementos relevantes de un contexto dado.

Por ejemplo, si queremos denotar que P es el conjunto de todos los números naturales (N) que son pares, podemos escribirlo de alguna de las siguientes formas:

P = { x ∈ N | x es par }
P = { x | x ∈ N y x es par }
P = { x ∈ N | x = 2k y k ∈ N }

Como vimos en los últimos dos ejemplos, podemos usar conectivos lógicos como la disyunción ("o") y la conjunción ("y") para establecer múltiples condiciones. La disyunción significa que los elementos deben satisfacer alguna de las dos condiciones o ambas, mientras que la conjunción significa que los elementos deben cumplir las dos condiciones simultáneamente. El símbolo para la conjunción es "∧" mientras que para la disyunción es "∨", aunque podemos escribirlos con palabras.

Las operaciones entre conjuntos se definen utilizando este recurso:

Unión: A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
Intersección: A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
Diferencia: A - B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
Diferencia simétrica: A Δ B = (A - B) ∪ (B - A)
Complemento: A^c = {x | x ∈ U ∧ x ∉ A}

La ventaja principal del método de determinación por comprensión es que permite describir conjuntos grandes o infinitos de manera compacta. Por ejemplo, el conjunto de todos los números positivos es imposible de expresar por extensión, porque son infinitos elementos, en cambio, por comprensión se puede expresar fácilmente como R⁺= {x ∈ R | x > 0 } que se lee como "R⁺ está formado por los números reales x tales que x es mayor que cero (es positivo)".

Recordemos que los símbolos de los conjuntos numéricos son los siguientes: N para naturales, Z para enteros, Q para racionales, R para reales y C para complejos.

El conjunto Q de los números racionales se puede denotar por comprensión como:

Q = { a/b | a y b son números enteros y b ≠ 0}

El conjunto vacío se define por comprensión con una propiedad que no cumple ningun elemento, por ejemplo:

Ø = { x ∈ R | x² + 1 = 0 }

Esto es debido a que la ecuación x² + 1 = 0 no tiene solución en los números reales.

Podemos además escribir conjuntos formados por pares o ternas ordenadas (cosa que también podríamos hacer por extensión para conjuntos finitos). Por ejemplo:

H = { (x, y) ∈ R² | y = 2x }

J = { (x, y, z) ∈ R³ | x + y + z = 0 }

Si entendemos a los elementos como puntos, H es un conjunto formado por todos los puntos del plano cartesiano (R²) en donde se cumple que la ordenada es igual a dos veces la abscisa, mientras que J está formado por todos los puntos del espacio (R³) tales que la suma de sus coordenadas es igual a cero.

Existe una forma mixta para expresar conjuntos que consiste en escribir algunos elementos y colocar puntos suspensivos, suponiendo que se sobreentiende el patrón que siguen los elementos, por ejemplo:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} (números naturales)
P = {2, 4, 6, 8, 10, ...} (números naturales pares)
M = {-1, -2, -3, -4, -5} (números enteros negativos)
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} (números enteros)

Esta no es una notación por extensión formalmente hablando, ya que para ello deberían escribirse todos los elementos, pero puede servir para identificar rápidamente con qué conjunto estamos tratando.

Un mismo conjunto puede expresar por extensión y comprensión, siempre que sea finito. En la siguiente tabla vemos la comparación entre las distintas notaciones.

Conjunto dado por extensión	Conjunto dado por comprensión
{a, b, c}	{x \| x es alguna de las primeras tres letras del alfabeto}
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}	{x \| x es un número natural menor o igual a 10}
{-1, 1}	{x \| x² = 1}
{n, d, m, u, o}	{x \| x es una letra de la palabra "mundo"}
{1, 3, 5, 7, 9, 11}	{x \| x es un número natural impar menor o igual a 11}

Ejercicios para practicar

Ejercicio 1: dados los siguientes conjuntos por comprensión, expresarlos por extensión.

A = { x | x es una letra de "matemática" }
B = { x ∈ N | x es par y menor o igual a 10 }
C = { x | x es impar ∧ 1 ≤ x ≤ 9 }
D = { x | x - 1 = 0}
E = { x | x = 5k, k ∈ N ∧ x < 30 }
F = { x | x es primo ∧ x < 15 }
G = { x | x ∈ N ∧ 3 < x < 8 }
H = { x | x = n², n ∈ N ∧ x < 50 }
I = { x | x ∈ Z ∧ -2 ≤ x ≤ 2 }

Soluciones:

A = {m, a, t, e, i, c} (recuerde que no se repiten elementos)
B = {2, 4, 6, 8, 10}
C = {1, 3, 5, 7, 9}
D = {1}
E = {5, 10, 15, 20, 25} (los múltiplos naturales de 5 menores que 30)
F = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
G = {4, 5, 6, 7}
H ={1, 4, 9, 16, 25, 36, 49} (los cuadrados de los naturales que son menores a 50)
I = {-2, -1, 0, 1, 2}

Ejercicio 2: dados los siguientes conjuntos por extensión, expresarlos por comprensión.

A = {a, b, c, d, e}
B = {-4, -3, -2, -1}
C = {1, 3, 5, 7, 9}
D = {2, -2}
E = {0, 2, 4, 6, 8}
F = {3, 6, 9, 12, 15}
G = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}
H = {10, 20, 30, 40, 50}
I = {-10, -5, 0, 5, 10}

Soluciones (se muestra solo una de las formas posibles)

A = {x | x es una de las primeras 5 letras del alfabeto}
B = { x | x es un entero negativo mayor a -5 }
C = { x | x es natural impar menor a 10 }
D = { x | x² = 4 }
E = { x | x es entero par ∧ 0 ≤ x ≤ 8 }
F = { x | x es múltiplo de 3 ∧ 3 ≤ x ≤ 15 }
G = { x | x ∈ Z ∧ -3 ≤ x ≤ 3 }
H = { x | x es múltiplo de 10 ∧ 10 ≤ x ≤ 50 }
I = { x | x = 5k, k ∈ Z ∧ -10 ≤ x ≤ 10 }

Bibliografía

Corral de Franco, Y. y Manzanares, L. (2018). Nociones Elementales de lógica matemática y teoría de conjuntos. Caracas. Fondo editorial OPSU.
Daun, J. y Falcón, Y. (1995). Lógica matemática. Universidad Autónoma Metropolitana.
Gentile, E. (1984). Notas de Álgebra I. Editorial Universitaria de Buenos Aires.
Grimaldi, R. (1997). Matemáticas discreta y combinatoria (3ra edición). Addison-Wesley Iberoamericana.
Moreno, A. (1969). Lógica matemática: antecedentes y fundamentos. Editorial Universitaria de Buenos Aires.
Puyau, H. y Roetti, J. (1976). Elementos de Lógica Matemática. Editorial Universitaria de Buenos Aires.
Rojo, A. (1996). Álgebra I (18a edición). El Ateneo.
Vidal, J. (2010). Teoría de conjuntos. Universidad de Valencia.
Wilches, L., Costa, R., Rincón, M., Acosta, M., Roa, J., Sulvara, J. y Jaime, D. (2013). Matemática 6. Editorial Santillana.
Zill, D. y Dewar, J. (2012). Álgebra, trigonometría y geometría analítica (3ra edición). McGraw Hill.

Daniel Machado

Profesor de Matemáticas graduado en la Universidad Nacional de Misiones, Argentina.

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