Ejercicios resueltos de conjuntos numéricos

1. Verdadero. Al simplificar el cociente obtenemos \(-\frac{28}{4} = -7\). Como es un número sin decimales y con signo negativo, pertenece al conjunto de los enteros \(\mathbb{Z}\).
2. Verdadero. Calculamos el valor del radical: \(\sqrt{64} = 8\). Al ser un entero positivo, forma parte de los números naturales \(\mathbb{N}\).
3. Falso. La definición del conjunto \(\mathbb{Q}\) requiere que el numerador y el denominador sean enteros. Dado que \(\pi\) es un número irracional trascendente, dividirlo entre \(4\) da como resultado un valor irracional.
4. Verdadero. Las raíces de índice impar admiten cantidades subradicales negativas dentro del cuerpo real. Como \((-5)^3 = -125\), deducimos que \(\sqrt[3]{-125} = -5\), el cual pertenece a \(\mathbb{Z}\).
5. Verdadero. Desarrollamos el producto notable mediante una diferencia de cuadrados: \((\sqrt{7})^2 - (2)^2 = 7 - 4 = 3\). El resultado obtenido es un número natural.
6. Falso. La cantidad \(3{,}14159\) es una expresión decimal finita con cinco cifras después de la coma. Todo decimal finito puede escribirse como fracción de enteros, en este caso \(\frac{314159}{100000}\), por lo que pertenece a \(\mathbb{Q}\) y no a los irracionales \(\mathbb{I}\).
7. Falso. Realizamos la división: \(\frac{0}{12} = 0\). En la convención estándar donde los naturales inician en el número uno (\(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}\)), el cero no pertenece a \(\mathbb{N}\), sino a los enteros \(\mathbb{Z}\).
8. Verdadero. Aplicamos las propiedades distributivas de la radicación respecto a la división: \(\sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}} = \frac{7}{3}\). Al ser el cociente entre dos enteros, pertenece a \(\mathbb{Q}\).
9. Verdadero. Es un número decimal periódico mixto. Toda expresión con parte periódica infinita puede convertirse en su fracción generatriz correspondiente: \(\frac{246 - 24}{90} = \frac{222}{90} = \frac{37}{15}\), lo que demuestra su condición de número racional.
10. Falso. En la recta real no existe ningún valor que elevado al cuadrado dé como resultado \(-25\). La expresión equivale a \(5i\), la cual se encuentra en los números complejos \(\mathbb{C}\), fuera de \(\mathbb{R}\).
11. Verdadero. Desarrollamos el cuadrado del binomio: \(1^2 + 2\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 2\sqrt{3} = 4\). Los términos irracionales se cancelan y el resultado final es un número entero.
12. Falso. A pesar de seguir una regla de construcción visible agregando ceros intercalados, las cifras decimales no presentan un bloque repetitivo periódico regular. Por lo tanto, es un número decimal infinito no periódico, perteneciente a los irracionales.
13. Falso. El término contiene una parte imaginaria no nula (\(-4i\)). Todo número con componente imaginaria distinta de cero se clasifica fuera de la recta real.
14. Verdadero. Asociamos ambos radicales en una sola raíz: \(\sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6\). El valor final es un número entero.
15. Verdadero. Unificamos la fracción bajo el mismo radical: \(\sqrt{\frac{3}{12}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\). Obtenemos una fracción de enteros irreducible, confirmando que pertenece a \(\mathbb{Q}\).

1. Falso. El conjunto de los números naturales comprende únicamente a los enteros positivos (o no negativos según el convenio). Como contraejemplo tomamos \(-6 \in \mathbb{Z}\), el cual no forma parte de \(\mathbb{N}\).
2. Verdadero. Ambos conjuntos son disjuntos (\(\mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset\)). Un número no puede admitir simultáneamente una representación como cociente de dos enteros y poseer una expansión decimal infinita sin periodicidad.
3. Falso. Existen infinitos cuadrados perfectos cuyas raíces cuadradas son exactas. Por ejemplo, \(\sqrt{49} = 7\), que es un número natural y racional.
4. Falso. Esa propiedad describe únicamente al subconjunto de los números racionales \(\mathbb{Q}\). Los números irracionales como \(\sqrt{2}\) o \(\pi\) son números reales y no pueden escribirse como una fracción de números enteros.
5. Falso. Si sumamos dos irracionales opuestos, la parte no periódica se anula por completo. Por ejemplo, al tomar los números \(5 + \sqrt{3}\) y \(2 - \sqrt{3}\), su suma es \((5 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 7\), el cual es un número racional.
6. Verdadero. Todo número real \(a\) puede representarse como un número complejo cuya componente imaginaria vale cero: \(a = a + 0i\). Por esta razón, se cumple la inclusión \(\mathbb{R} \subset \mathbb{C}\).
7. Falso. El conjunto \(\mathbb{Z}\) es un conjunto discreto. Si tomamos dos enteros consecutivos como \(3\) y \(4\), no existe ningún otro elemento entero ubicado entre ambos.

1. El número \(18\) no presenta parte decimal y tiene signo positivo. Por lo tanto, el conjunto más reducido que lo contiene es \(\mathbb{N}\).
2. Resolvemos la división indicada: \(-\frac{45}{5} = -9\). Al ser un valor entero negativo, su conjunto mínimo es \(\mathbb{Z}\).
3. El valor \(0{,}375\) es un número decimal exacto, el cual expresamos como la fracción generatriz \(\frac{375}{1000} = \frac{3}{8}\). Como no es entero pero sí un cociente de enteros, su conjunto mínimo es \(\mathbb{Q}\).
4. La expresión \(1{,}\overline{54}\) corresponde a un número decimal periódico puro. Hallamos su fracción generatriz mediante el algoritmo correspondiente: \(\frac{154 - 1}{99} = \frac{153}{99} = \frac{17}{11}\). Al reducirse a una fracción irreducible no entera, su conjunto mínimo es \(\mathbb{Q}\).
5. Calculamos la raíz de índice impar: \(\sqrt[3]{-27} = -3\), ya que \((-3)^3 = -27\). Al obtener un entero negativo, el conjunto más específico es \(\mathbb{Z}\).
6. Extraemos factores del primer radical: \(\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\). Al restar ambos términos obtenemos \(3\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 0\). Como el cero carece de signo y no tiene parte decimal, su conjunto mínimo es \(\mathbb{Z}\).
7. El número \(\pi\) es un irracional trascendente con infinitas cifras decimales no periódicas. Multiplicarlo por \(2\) y dividirlo por \(3\) no elimina dicha condición decimal, por lo que pertenece a la recta real como número irracional, siendo su conjunto mínimo \(\mathbb{R}\).
8. El valor \(13\) es un número primo, por lo que su raíz cuadrada no es exacta y genera infinitas cifras decimales sin periodicidad. Al ser un número irracional, su conjunto mínimo dentro del sistema numérico estándar es \(\mathbb{R}\).
9. Las raíces cuadradas con radicando negativo no tienen solución en los números reales. Expresamos el radical utilizando la unidad imaginaria: \(\sqrt{-81} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{-1} = 9i\). Al poseer únicamente componente imaginaria, su conjunto mínimo es \(\mathbb{C}\).
10. Desarrollamos el cuadrado del binomio recordando que \(i^2 = -1\): \(2^2 - 2(2)(i) + i^2 + 4i = 4 - 4i - 1 + 4i\). Agrupamos términos semejantes y cancelamos las componentes imaginarias opuestas: \(4 - 1 = 3\). Al simplificarse en un entero positivo, su conjunto mínimo es \(\mathbb{N}\).

1. El valor \(35\) es un número natural. Por la cadena de inclusiones sucesivas, pertenece a \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{C}\).
2. El número \(-14\) es un entero negativo. No pertenece a \(\mathbb{N}\), pero sí se encuentra contenido en \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{C}\).
3. La expresión \(-\frac{7}{4}\) es una fracción irreducible que equivale al decimal exacto \(-1{,}75\). No es un número entero, por lo que pertenece únicamente a \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{C}\).
4. Transformamos el decimal periódico puro a su fracción generatriz: \(\frac{6}{9} = \frac{2}{3}\). Dado que es un número racional no entero, pertenece a \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{C}\).
5. La constante \(e\) es un número irracional trascendente. Al sumarle \(2\), el resultado conserva infinitos decimales aperiódicos dentro de la recta real. Por consiguiente, pertenece a \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{C}\).
6. Unificamos la división bajo un solo radical: \(\sqrt{\frac{18}{2}} = \sqrt{9} = 3\). Al simplificarse en un entero positivo, pertenece a todos los conjuntos: \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{C}\).
7. Calculamos la raíz cúbica y aplicamos el signo exterior: \(-\sqrt[3]{64} = -(4) = -4\). Al tratarse de un número entero negativo, forma parte de \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{C}\).
8. Como \(\sqrt{5}\) es un número irracional algebraico, sumarle la unidad genera otro valor real con infinitas cifras decimales sin periodicidad. Por lo tanto, pertenece a \(\mathbb{R}\) y \(\mathbb{C}\).
9. La expresión \(-4i\) es un número imaginario puro con parte real nula. Al no situarse sobre la recta real, pertenece exclusivamente al conjunto \(\mathbb{C}\).
10. Extraemos la raíz par negativa en términos de la unidad imaginaria: \(\sqrt{-4} = 2i\). Reescribimos el cociente separando las partes real e imaginaria: \(\frac{3 + 2i}{2} = \frac{3}{2} + 1i\). Al tener componente imaginaria no nula, pertenece únicamente a \(\mathbb{C}\).

Buscamos los elementos compartidos entre ambos conjuntos. Como todo número natural es ya un número entero no negativo (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\)), la intersección no descarta ningún elemento natural. Por lo tanto, obtenemos nuevamente el conjunto de los números naturales \(\mathbb{N}\).

Al suprimir todos los valores que pueden expresarse como una fracción de enteros, conservamos únicamente aquellos números reales cuya expresión decimal posee infinitas cifras que no siguen un patrón periódico regular. Obtenemos el conjunto de los números irracionales, definido por la diferencia \(\mathbb{R} - \mathbb{Q}\).

El conjunto de los números naturales contiene valores positivos empleados para el conteo ordinario (\(1, 2, 3, \dots\)). Ningún número entero con signo negativo puede formar parte de esta colección. Como no existe ningún elemento que cumpla ambas condiciones al mismo tiempo, el resultado es el conjunto vacío (\(\emptyset\)).

La recta numérica real está compuesta en su totalidad por dos tipos de números disjuntos: los racionales (con decimales finitos o periódicos) y los irracionales (con decimales infinitos aperiódicos). Al unir ambas colecciones, completamos la totalidad de la recta continua, obteniendo el conjunto de los números reales \(\mathbb{R}\).

Todo número entero \(z\) puede escribirse como una fracción de la forma \(\frac{z}{1}\), lo que demuestra que \(\mathbb{Z}\) se encuentra completamente contenido dentro de \(\mathbb{Q}\). Al buscar los elementos que pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos, obtenemos exactamente el conjunto de los números enteros \(\mathbb{Z}\).

Los números complejos tienen la forma general \(a + bi\), donde \(a\) y \(b\) son números reales. Al eliminar los números reales, descartamos todos aquellos elementos donde la componente imaginaria \(b\) es igual a cero. Por consiguiente, nos quedan los números complejos cuya parte imaginaria es distinta de cero (\(b \neq 0\)), conocidos como números imaginarios.

La unión combina todos los elementos presentes en al menos uno de los dos conjuntos. Puesto que los naturales forman ya un subconjunto dentro de los enteros (\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\)), incorporarlos a \(\mathbb{Z}\) no añade ningún elemento nuevo. La colección resultante es el conjunto de los números enteros \(\mathbb{Z}\).

El conjunto de los números enteros abarca los valores positivos, los negativos y el cero. Si retiramos los números naturales (\(1, 2, 3, \dots\)), eliminamos todos los enteros positivos. Los elementos que permanecen en la colección son el número cero y la totalidad de los enteros negativos.

No se cumple de forma general. Si restamos un número natural mayor de otro menor, el resultado es un número entero con signo negativo. Por ejemplo, al plantear la resta \(4 - 9 = -5\), observamos que \(-5 \notin \mathbb{N}\). Por lo tanto, la resta no es una operación cerrada en los números naturales.

Sí se cumple en todos los casos. Al multiplicar dos números enteros, la regla de los signos determina si el producto es positivo o negativo, pero el cálculo no genera partes decimales ni fraccionarias. Por ejemplo, \((-6) \cdot 7 = -42\), que sigue perteneciendo a \(\mathbb{Z}\). La multiplicación es cerrada en los enteros.

No se cumple necesariamente. La división solo produce un entero si el dividendo es un múltiplo exacto del divisor. En cualquier otro caso, el resultado es una fracción no entera. Como contraejemplo, consideramos \(5 / 2 = 2{,}5\), que pertenece a \(\mathbb{Q}\) pero no a \(\mathbb{Z}\). La división no es cerrada en \(\mathbb{Z}\).

Sí se cumple siempre. Al sumar dos fracciones cualesquiera \(\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}\), tanto el numerador como el denominador resultantes son combinaciones de sumas y productos de números enteros, con denominador no nulo. Dado que el resultado mantiene la estructura de cociente entre enteros, la suma es una operación cerrada en \(\mathbb{Q}\).

No se cumple en todos los casos. Aunque el producto de dos números con infinitos decimales aperiódicos puede generar otro valor de la misma naturaleza, existen combinaciones donde los números se simplifican completamente. Si tomamos \(\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} = 4\), el resultado es un número entero perteneciente a \(\mathbb{Q}\), saliendo de la clase \(\mathbb{R} - \mathbb{Q}\).

No se cumple de manera universal en los reales. La raíz cuadrada de un número real no negativo produce un número real, pero si el radicando es negativo, la operación no tiene solución sobre la recta real. Por ejemplo, \(\sqrt{-9} = 3i\), valor que pertenece al conjunto de los números complejos \(\mathbb{C}\) y no a \(\mathbb{R}\).

Los números enteros forman un conjunto discreto. Al buscar los valores comprendidos estrictamente entre ambos extremos, excluimos el \(-4\) y el \(3\). Enumeramos los números enteros intermedios en orden creciente:

$$-3, -2, -1, 0, 1, 2$$

Contamos los elementos obtenidos y comprobamos que existen exactamente \(6\) números enteros en dicho intervalo.

Para hallar el punto medio entre dos números racionales, calculamos el promedio sumando ambos valores y dividiendo el resultado entre \(2\):

$$\frac{1}{2} \left(\frac{2}{5} + \frac{4}{7}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{14 + 20}{35}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{34}{35}\right) = \frac{34}{70}$$

Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador entre \(2\), obteniendo el número racional irreducible \(\frac{17}{35}\), el cual se ubica estrictamente entre las dos fracciones dadas.

Buscamos un valor numérico cuya parte entera sea \(3\) y cuya expansión decimal sea infinita y aperiódica. Podemos construir un número mediante un patrón de ceros crecientes que impida la periodicidad, como \(3{,}01001000100001\dots\) Alternativamente, podemos tomar la constante \(\pi \approx 3{,}14159\dots\), que es un número irracional conocido y se encuentra comprendido entre \(3\) y \(4\).

Existen infinitos números racionales. El conjunto \(\mathbb{Q}\) posee la propiedad de densidad: si tomamos dos números racionales distintos \(q_1\) y \(q_2\), su punto medio \(\frac{q_1 + q_2}{2}\) es siempre otro número racional situado entre ambos. Repitiendo este procedimiento sucesivamente entre el nuevo valor y cualquiera de los extremos, generamos infinitos números racionales intermedios sin interrupción.

Expresamos ambas fracciones en su notación decimal para identificar sus cotas numéricas: \(\frac{5}{3} \approx 1{,}666\dots\) y \(\frac{23}{4} = 5{,}75\). Los números naturales comprendidos en este rango deben ser enteros positivos mayores que \(1{,}666\dots\) y menores que \(5{,}75\). Los valores que cumplen esta condición son:

$$2, 3, 4, 5$$

Por lo tanto, existen exactamente \(4\) números naturales comprendidos entre ambas fracciones.

El valor \(0{,}64\) es un decimal exacto con dos cifras decimales. Colocamos el número entero en el numerador y una potencia de \(10\) con dos ceros en el denominador:

$$\frac{64}{100}$$

Dividimos numerador y denominador entre \(4\) para simplificar la fracción:

$$\frac{64: 4}{100: 4} = \frac{16}{25}$$

Obtenemos un cociente de números enteros con denominador distinto de cero, lo que demuestra que pertenece a \(\mathbb{Q}\).

La expresión \(0{,}\overline{7}\) es un número decimal periódico puro con parte entera nula y un período de una cifra. Escribimos la cifra periódica en el numerador y un único nueve en el denominador:

$$\frac{7 - 0}{9} = \frac{7}{9}$$

Como \(7\) y \(9\) no comparten divisores comunes además del \(1\), la fracción es irreducible y pertenece a \(\mathbb{Q}\).

El número \(1{,}\overline{27}\) es un decimal periódico puro con parte entera distinta de cero y un período de dos cifras. Restamos al número completo la parte entera y dividimos entre dos nueves:

$$\frac{127 - 1}{99} = \frac{126}{99}$$

Simplificamos dividiendo ambos términos entre \(9\):

$$\frac{126: 9}{99: 9} = \frac{14}{11}$$

Al expresarse como una fracción irreducible de términos enteros, se confirma su inclusión en \(\mathbb{Q}\).

La cantidad \(0{,}8\overline{3}\) es un decimal periódico mixto con anteperíodo de una cifra (\(8\)) y período de una cifra (\(3\)). Restamos al número sin comas la parte no periódica y dividimos entre un nueve seguido de un cero:

$$\frac{83 - 8}{90} = \frac{75}{90}$$

Dividimos entre \(15\) para simplificar la expresión:

$$\frac{75: 15}{90: 15} = \frac{5}{6}$$

El resultado obtenido es una fracción propia irreducible, confirmando que pertenece a \(\mathbb{Q}\).

El valor \(2{,}1\overline{45}\) es un decimal periódico mixto con parte entera \(2\), anteperíodo de una cifra (\(1\)) y período de dos cifras (\(45\)). Planteamos la diferencia en el numerador y dividimos entre dos nueves acompañados de un cero:

$$\frac{2145 - 21}{990} = \frac{2124}{990}$$

Simplificamos dividiendo sucesivamente entre \(18\):

$$\frac{2124: 18}{990: 18} = \frac{118}{55}$$

La fracción irreducible resultante comprueba formalmente que el número forma parte de \(\mathbb{Q}\).

El número \(0{,}\overline{9}\) es un decimal periódico puro. Aplicamos la regla correspondiente restando la parte entera y dividiendo entre un nueve:

$$\frac{9 - 0}{9} = \frac{9}{9} = 1$$

El cálculo demuestra que \(0{,}\overline{9}\) no es una aproximación, sino una representación alternativa del número entero \(1\). Como \(1 = \frac{1}{1}\), el número pertenece a \(\mathbb{Q}\) e igualmente a los conjuntos \(\mathbb{N}\) y \(\mathbb{Z}\).