Números complejos

Un número complejo es un número determinado por dos componentes reales asociadas a la unidad imaginaria. Se representa habitualmente en su forma binómica como \(z = a + bi\), donde \(a\) y \(b\) son números reales e \(i\) satisface la propiedad fundamental \(i^2 = -1\).

En esta expresión, el término \(a\) recibe el nombre de parte real del número complejo y se denota como \(\text{Re}(z) = a\). Por su parte, el valor real \(b\) corresponde a la parte imaginaria y se escribe como \(\text{Im}(z) = b\). Conviene señalar que la parte imaginaria es únicamente el coeficiente \(b\) y no incluye a la letra \(i\).

La unidad imaginaria, simbolizada con la letra \(i\), se define formalmente mediante la propiedad de que su cuadrado es igual a \(-1\):

$$i^2 = -1$$

Este valor no forma parte del conjunto de los números reales \(\mathbb{R}\), ya que el producto de cualquier número real por sí mismo siempre arroja un resultado positivo o cero. Al no existir ningún número real cuyo cuadrado sea negativo, la introducción de \(i\) permite extender el sistema numérico.

El conjunto formado por la totalidad de los números de la forma \(a + bi\) se denomina conjunto de los números complejos y se representa con el símbolo \(\mathbb{C}\):

$$\mathbb{C} = \{a + bi \mid a \in \mathbb{R},\, b \in \mathbb{R},\, i^2 = -1\}$$

La necesidad de construir este conjunto surge al intentar resolver ecuaciones algebraicas simples que carecen de respuesta en los números reales, como por ejemplo:

$$x^2 + 1 = 0$$

Al despejar la incógnita obtenemos \(x^2 = -1\), una igualdad imposible de satisfacer dentro de \(\mathbb{R}\). Con la definición de la unidad imaginaria, esta ecuación encuentra dos soluciones concretas: \(x = i\) y \(x = -i\).

Esta misma limitación aparece de forma recurrente al aplicar la fórmula cuadrática general para resolver una ecuación del tipo \(ax^2 + bx + c = 0\). Cuando el discriminante resulta menor que cero (\(\Delta = b^2 - 4ac < 0\)), la fórmula exige calcular la raíz cuadrada de una cantidad negativa, operación que solo es posible efectuar dentro del campo de los números complejos.

La utilidad principal de los números complejos radica en que permiten calcular raíces de índice par de números negativos y resolver ecuaciones algebraicas que carecen de solución en los números reales. Fuera del ámbito puramente algebraico, constituyen una herramienta para modelar fenómenos físicos y de la ingeniería que involucran oscilaciones y ondas, tales como el análisis de circuitos eléctricos de corriente alterna, la mecánica de fluidos y el procesamiento digital de señales.

Identificación y clasificación de números complejos

Para formar un número complejo en forma binómica basta con tomar dos números reales cualesquiera y combinarlos mediante la expresión \(a + bi\). En esta estructura, el primer valor corresponde a la parte real y el coeficiente que acompaña a la unidad imaginaria representa la parte imaginaria.

Analizamos los siguientes ejemplos para identificar los componentes de distintos números complejos:

• \(5 + 3i:\) su parte real es \(5\) y su parte imaginaria es \(3\).
• \(8 - 6i:\) su parte real es \(8\) y su parte imaginaria es \(-6\), conservando el signo negativo que antecede al término.
• \(-\frac{1}{2} + \sqrt{7}i:\) su parte real es \(-\frac{1}{2}\) y su parte imaginaria es \(\sqrt{7}\).
• \(9i:\) su parte real es \(0\) y su parte imaginaria es \(9\), ya que equivale a escribir \(0 + 9i\).
• \(-4:\) su parte real es \(-4\) y su parte imaginaria es \(0\), pues puede representarse como \(-4 + 0i\).

Tipos de números complejos

Dependiendo de si la parte real o la parte imaginaria se anulan, los números complejos se clasifican en categorías particulares:

• Número real: ocurre cuando la parte imaginaria es igual a cero (\(b = 0\)), quedando únicamente \(z = a\). Esto demuestra que todos los números reales forman parte del conjunto de los números complejos. Por ejemplo, \(z = 7\) o \(z = -12\).
• Número imaginario puro: se produce cuando la parte real es nula (\(a = 0\)) y la parte imaginaria es distinta de cero (\(b \neq 0\)), resultando \(z = bi\). Por ejemplo, \(z = -5i\) o \(z = \frac{3}{4}i\).
• Número imaginario o complejo no real: abarca a cualquier número complejo cuya parte imaginaria sea distinta de cero (\(b \neq 0\)), sin importar el valor de su parte real. Por ejemplo, \(z = 2 + 4i\) o \(z = -3i\).
• El número cero: es el caso especial donde tanto la parte real como la imaginaria valen cero (\(a = 0\) y \(b = 0\)), expresado como \(z = 0 + 0i = 0\).

Igualdad de números complejos

Dos números complejos son iguales si y solo si sus partes reales son idénticas entre sí y sus partes imaginarias también coinciden de manera simultánea:

$$a + bi = c + di \quad \text{si y solo si} \quad a = c \quad \text{y} \quad b = d$$

Esta condición permite determinar valores desconocidos igualando componente a componente. Analizamos dos casos de aplicación:

• Si tenemos \(z_1 = 4 + 7i\) y \(z_2 = x + yi\), para que ambos sean iguales debe cumplirse directamente que \(x = 4\) e \(y = 7\).
• Si establecemos la igualdad \(2x + 5i = 8 + (y - 1)i\), igualamos las partes reales obteniendo \(2x = 8\) (de donde \(x = 4\)) y las partes imaginarias planteando \(5 = y - 1\) (de donde \(y = 6\)).

Conjugado de un número complejo

El conjugado de un número complejo \(z = a + bi\) es otro número complejo que posee la misma parte real, pero con el signo de su parte imaginaria invertido. Se representa colocando una barra horizontal sobre la variable que denota al número:

$$\overline{z} = a - bi$$

Esta transformación resulta de gran utilidad para simplificar expresiones algebraicas y realizar divisiones entre números complejos. Analizamos los siguientes ejemplos para determinar el conjugado de distintos valores:

• Para \(z = 4 + 7i\), su conjugado es \(\overline{z} = 4 - 7i\).
• Para \(z = -3 - 5i\), su conjugado es \(\overline{z} = -3 + 5i\).
• Para \(z = 8i\), su conjugado es \(\overline{z} = -8i\).
• Para \(z = 6\), su conjugado es \(\overline{z} = 6\), ya que al tener parte imaginaria nula (\(6 + 0i\)), el signo no altera el valor.

Raíces cuadradas de números negativos

Resolver raíces cuadradas con radicando negativo fue el propósito principal que motivó la creación de los números complejos. Dentro del conjunto de los números reales no existe ningún valor que al elevarse al cuadrado dé como resultado una cantidad negativa, lo que dejaba estas operaciones sin solución.

Para cualquier número real positivo \(c > 0\), la raíz cuadrada principal de su opuesto negativo se define como el producto de la raíz del número positivo por la unidad imaginaria:

$$\sqrt{-c} = \sqrt{c} \cdot i$$

Esta relación se deduce al reescribir el radicando como \(-c = c \cdot (-1) = c \cdot i^2\). Al extraer la raíz obtenemos \(\sqrt{c \cdot i^2} = \sqrt{c} \cdot \sqrt{i^2} = \sqrt{c} \cdot i\). Siguiendo este criterio, la unidad imaginaria \(i\) representa la raíz cuadrada principal de \(-1\), razón por la cual es habitual encontrarla expresada en la literatura matemática como \(i = \sqrt{-1}\).

Conviene distinguir entre resolver una ecuación y calcular una raíz principal. Una ecuación cuadrática pura del tipo \(x^2 = -c\) admite dos soluciones (\(x = \sqrt{c}\,i\) y \(x = -\sqrt{c}\,i\)), mientras que el símbolo radical \(\sqrt{-c}\) designa de forma unívoca a la raíz cuadrada principal positiva multiplicada por \(i\).

Para comprender cómo se aplica esta definición, resolvemos los siguientes casos prácticos:

• \(\sqrt{-1} = \sqrt{1} \cdot i = 1 \cdot i = i\)
• \(\sqrt{-16} = \sqrt{16} \cdot i = 4i\)
• \(\sqrt{-25} = \sqrt{25} \cdot i = 5i\)
• \(\sqrt{-\dfrac{9}{49}} = \sqrt{\dfrac{9}{49}} \cdot i = \dfrac{3}{7}i\)
• \(\sqrt{-12} = \sqrt{12} \cdot i = \sqrt{4 \cdot 3} \cdot i = 2\sqrt{3}\,i\)

Propiedad distributiva de la radicación y su restricción

La propiedad distributiva de la radicación respecto del producto, expresada como \(\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\), solo es válida cuando al menos uno de los factores \(a\) o \(b\) es un número real positivo o cero. Si intentamos aplicar esta regla cuando ambos radicandos son números negativos, se llega a una contradicción algebraica.

Comprobamos este problema evaluando la siguiente cadena de igualdades:

$$1 = \sqrt{1} = \sqrt{(-1)(-1)} \neq \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = i \cdot i = i^2 = -1$$

Si se aplicara la separación de factores de manera indiscriminada, obtendríamos la inconsistencia \(1 = -1\). Por esta razón, ante cualquier expresión algebraica que involucre números negativos bajo un radical de índice par, debemos transformar primero cada término a su forma con la unidad imaginaria \(i\) antes de efectuar multiplicaciones o simplificaciones.

Operaciones con números complejos

Las operaciones fundamentales entre números complejos combinan las propiedades algebraicas habituales con el comportamiento de la unidad imaginaria. Para operar con fluidez, analizamos primero el comportamiento periódico de las potencias de \(i\) y luego avanzamos hacia la suma, resta, multiplicación y división.

Potencias de la unidad imaginaria

Al calcular las sucesivas potencias enteras de la unidad imaginaria se manifiesta un ciclo periódico de cuatro valores que se repite:

• \(i^0 = 1\)
• \(i^1 = i\)
• \(i^2 = -1\)
• \(i^3 = i^2 \cdot i = (-1) \cdot i = -i\)
• \(i^4 = i^2 \cdot i^2 = (-1) \cdot (-1) = 1\)

A partir del exponente \(4\), los resultados vuelven a repetirse: \(i^5 = i\), \(i^6 = -1\), \(i^7 = -i\) e \(i^8 = 1\). Para calcular cualquier potencia de \(i\) con exponente natural grande, dividimos el exponente entre \(4\) y tomamos el resto de la división euclídea, ya que este resto representará la potencia equivalente dentro del ciclo base.

Ejemplo 1: calcular \(i^{23}\).

Dividimos \(23\) entre \(4\): el cociente es \(5\) y el resto es \(3\) (\(23 = 4 \cdot 5 + 3\)). Por lo tanto, reescribimos la expresión aprovechando las propiedades de la potenciación:

$$i^{23} = i^{4 \cdot 5 + 3} = (i^4)^5 \cdot i^3 = (1)^5 \cdot (-i) = -i$$

Ejemplo 2: calcular \(i^{102}\).

Al dividir \(102\) entre \(4\), obtenemos cociente \(25\) y resto \(2\) (\(102 = 4 \cdot 25 + 2\)). Evaluamos la potencia equivalente:

$$i^{102} = (i^4)^{25} \cdot i^2 = (1)^{25} \cdot (-1) = -1$$

Suma y resta de números complejos

Para sumar dos números complejos se suman entre sí sus respectivas partes reales y, por separado, sus partes imaginarias:

$$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$$

La resta se define de manera análoga: restar un número complejo equivale a sumar su opuesto, por lo que restamos componente a componente:

$$(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$$

Ejemplo 1: sumar \(z_1 = 3 + 5i\) y \(z_2 = 2 - 8i\).

Agrupamos los términos reales y los términos imaginarios:

$$(3 + 5i) + (2 - 8i) = (3 + 2) + (5 - 8)i = 5 - 3i$$

Ejemplo 2: restar \(w_1 = -4 + 6i\) y \(w_2 = 7 - 2i\).

$$(-4 + 6i) - (7 - 2i) = (-4 - 7) + [6 - (-2)]i = -11 + (6 + 2)i = -11 + 8i$$

Multiplicación de números complejos

La multiplicación de dos números complejos en forma binómica se realiza aplicando la propiedad distributiva término a término, tal como ocurre con el producto de dos binomios algebraicos, teniendo en cuenta la sustitución fundamental \(i^2 = -1\):

$$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i$$

No hace falta memorizar la fórmula final; basta con aplicar la propiedad distributiva de forma directa y simplificar los términos semejantes.

Ejemplo 1: multiplicar \(z_1 = 2 + 3i\) por \(z_2 = 4 + 5i\).

Desarrollamos el producto término a término:

$$(2 + 3i)(4 + 5i) = 2 \cdot 4 + 2 \cdot 5i + 3i \cdot 4 + 3i \cdot 5i$$

$$= 8 + 10i + 12i + 15i^2$$

Reemplazamos \(i^2\) por \(-1\) y sumamos los términos semejantes:

$$= 8 + 22i + 15(-1) = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i$$

Ejemplo 2: multiplicar \(w_1 = 3 - 2i\) por \(w_2 = -1 + 4i\).

Efectuamos el desarrollo algebraico:

$$(3 - 2i)(-1 + 4i) = 3(-1) + 3(4i) - 2i(-1) - 2i(4i)$$

$$= -3 + 12i + 2i - 8i^2 = -3 + 14i - 8(-1)$$

$$= -3 + 14i + 8 = 5 + 14i$$

División de números complejos

Para dividir dos números complejos expresados en forma binómica, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador. Este procedimiento permite transformar el divisor en un número real, eliminando la unidad imaginaria de la parte inferior de la fracción:

$$\dfrac{a + bi}{c + di} = \dfrac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \dfrac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2}$$

El producto en el denominador corresponde a una diferencia de cuadrados: \((c + di)(c - di) = c^2 - (di)^2 = c^2 - d^2i^2 = c^2 + d^2\), lo que garantiza siempre un denominador real.

Ejemplo 1: resolver la división \(\dfrac{2 + 3i}{1 - 2i}\).

Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del divisor, que es \(1 + 2i\):

$$\dfrac{2 + 3i}{1 - 2i} = \dfrac{(2 + 3i)(1 + 2i)}{(1 - 2i)(1 + 2i)}$$

Desarrollamos el numerador aplicando la propiedad distributiva y resolvemos el denominador:

$$\dfrac{2 \cdot 1 + 2 \cdot 2i + 3i \cdot 1 + 3i \cdot 2i}{1^2 + 2^2} = \dfrac{2 + 4i + 3i + 6i^2}{1 + 4}$$

Sustituimos \(i^2 = -1\) y agrupamos los términos:

$$\dfrac{2 + 7i - 6}{5} = \dfrac{-4 + 7i}{5} = -\dfrac{4}{5} + \dfrac{7}{5}i$$

Ejemplo 2: resolver la división \(\dfrac{5 - i}{2 + 3i}\).

El conjugado del denominador es \(2 - 3i\). Multiplicamos ambos términos de la fracción:

$$\dfrac{5 - i}{2 + 3i} = \dfrac{(5 - i)(2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)}$$

Efectuamos los cálculos en numerador y denominador:

$$\dfrac{10 - 15i - 2i + 3i^2}{2^2 + 3^2} = \dfrac{10 - 17i + 3(-1)}{4 + 9} = \dfrac{7 - 17i}{13} = \dfrac{7}{13} - \dfrac{17}{13}i$$

Propiedades de los números complejos

A continuación, analizamos las propiedades que cumple el conjunto de los números complejos.

Propiedades de las operaciones

Las operaciones de suma y multiplicación en el conjunto de los números complejos preservan las leyes aritméticas presentes en los números reales. La siguiente tabla resume las propiedades fundamentales para cualesquiera números complejos \(u\), \(v\), \(w\) y \(z\):

Nombre	Expresión	Explicación
Conmutatividad de la suma	\(u + v = v + u\)	El orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.
Conmutatividad de la multiplicación	\(u \cdot v = v \cdot u\)	El orden de los factores no altera el resultado del producto.
Asociatividad de la suma	\((u + v) + w = u + (v + w)\)	Los sumandos pueden agruparse de distinta forma sin cambiar la suma total.
Asociatividad de la multiplicación	\((u \cdot v) \cdot w = u \cdot (v \cdot w)\)	Los factores pueden agruparse de distinta forma sin modificar el producto final.
Distributividad del producto respecto a la suma	\(u \cdot (v + w) = u \cdot v + u \cdot w\)	El producto de un número por una suma equivale a multiplicar dicho número por cada sumando.
Elemento neutro de la suma	\(z + 0 = z\)	Existe el número \(0 = 0 + 0i\) que, sumado a cualquier complejo, no modifica su valor.
Elemento neutro de la multiplicación	\(z \cdot 1 = z\)	Existe el número \(1 = 1 + 0i\) que, multiplicado por cualquier complejo, conserva su valor.
Elemento simétrico aditivo (opuesto)	\(z + (-z) = 0\)	Para cada número \(z = a + bi\) existe un opuesto \(-z = -a - bi\) tal que su suma es cero.
Elemento simétrico multiplicativo (inverso)	\(z \cdot z^{-1} = 1\)	Para cada número \(z = a + bi \neq 0\) existe un inverso \(z^{-1} = \dfrac{a - bi}{a^2 + b^2}\) cuyo producto da uno.

Propiedades del conjugado

La operación de conjugación interactúa de manera regular con la suma, la resta, el producto y la división. Analizamos sus relaciones algebraicas para dos números complejos \(z_1\) y \(z_2\):

Nombre	Expresión	Explicación
Involución	\(\overline{\overline{z}} = z\)	Al conjugar dos veces sucesivas un número complejo se recupera el número original.
Conjugado de la suma y resta	\(\overline{z_1 \pm z_2} = \overline{z_1} \pm \overline{z_2}\)	El conjugado de una suma o resta equivale a sumar o restar los conjugados de cada término.
Conjugado del producto	\(\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}\)	El conjugado del producto entre dos números es igual al producto de sus respectivos conjugados.
Conjugado del cociente	\(\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)} = \dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\)	El conjugado de una división equivale al cociente entre el conjugado del numerador y del denominador (\(z_2 \neq 0\)).
Suma con el conjugado	\(z + \overline{z} = 2a\)	Sumar un número con su conjugado anula la parte imaginaria y produce el doble de su parte real.
Resta con el conjugado	\(z - \overline{z} = 2bi\)	Restar un número con su conjugado anula la parte real y produce el doble de su parte imaginaria multiplicada por \(i\).
Producto con el conjugado	\(z \cdot \overline{z} = a^2 + b^2\)	Multiplicar un número por su conjugado da por resultado un número real positivo o cero, igual a la suma de los cuadrados de sus partes real e imaginaria.

Ausencia de orden en los números complejos

A diferencia de los números reales, donde cualquier par de valores puede compararse mediante los signos \(<\) o \(>\), en el conjunto de los números complejos no existe un orden compatible con las operaciones de suma y multiplicación. No tiene validez escribir desigualdades como \(z_1 > z_2\) ni determinar si un complejo es mayor que otro.

La única excepción ocurre cuando ambos números poseen parte imaginaria igual a cero (\(b = 0\)). En tal situación corresponden a números reales y pueden ordenarse sobre la recta numérica tradicional.

Para comprender por qué no es posible definir un orden compatible en \(\mathbb{C}\), analizamos qué sucedería al intentar comparar la unidad imaginaria \(i\) con el cero, los cuales son dos números complejos distintos. Si existiera un orden, debería cumplirse que \(i > 0\) o que \(i < 0\):

• Si suponemos que \(i > 0\), al multiplicar ambos miembros por el número positivo \(i\) la desigualdad debe mantenerse: \(i \cdot i > 0 \cdot i\), lo que implica \(i^2 > 0\). Como \(i^2 = -1\), llegaríamos a la afirmación falsa \(-1 > 0\).
• Si suponemos que \(i < 0\), sumando el opuesto a ambos lados obtenemos que \(-i > 0\). Al multiplicar ambos miembros por la cantidad positiva \(-i\), tendríamos \((-i)(-i) > 0 \cdot (-i)\), lo que resulta en \(i^2 > 0\). Reemplazando nuevamente obtenemos \(-1 > 0\), lo cual vuelve a ser falso.

Ambas posibilidades conducen a una contradicción con las propiedades algebraicas habituales. Por tanto, no tiene sentido comparar magnitudes relativas entre números complejos que posean parte imaginaria distinta de cero.

Teorema fundamental del álgebra

Una de las propiedades más importantes del conjunto de los números complejos es que es algebraicamente cerrado. Esto significa que cualquier ecuación polinómica con coeficientes complejos tiene al menos una solución dentro del propio conjunto de los números complejos.

De forma general, el teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de grado \(n \ge 1\) con coeficientes reales o complejos tiene exactamente \(n\) raíces en el conjunto \(\mathbb{C}\), contando sus multiplicidades. Gracias a este resultado, no hace falta inventar nuevos conjuntos numéricos para resolver ecuaciones polinómicas, ya que todas sus soluciones están garantizadas dentro de los números complejos.

Comprobamos este teorema analizando dos polinomios de distinto grado:

• El polinomio \(P(x) = x^2 + 9\) es de grado \(2\) y carece de soluciones reales. En los números complejos encontramos exactamente sus dos raíces: \(x_1 = 3i\) y \(x_2 = -3i\).
• El polinomio \(Q(x) = x^3 - x^2 + 4x - 4\) es de grado \(3\). Al factorizarlo obtenemos \((x - 1)(x^2 + 4) = 0\), lo que nos da exactamente sus tres raíces: una real (\(x_1 = 1\)) y dos complejas conjugadas (\(x_2 = 2i\), \(x_3 = -2i\)).

Representación en el plano complejo

A diferencia de los números reales, que se ubican sobre una recta numérica unidimensional, los números complejos requieren un espacio de dos dimensiones debido a que están formados por dos valores independientes: su parte real y su parte imaginaria. Para visualizarlos geométricamente se utiliza el plano complejo (también llamado diagrama de Argand).

En este sistema cartesiano adaptado, el eje horizontal corresponde al eje real (Re) y el eje vertical representa al eje imaginario (Im). A cada número complejo \(z = a + bi\) le corresponde de forma única un punto \((a, b)\) denominado afijo. Desde el origen de coordenadas \((0, 0)\) hasta dicho afijo se traza un vector posición que permite interpretar al número complejo como una magnitud con longitud y dirección.

A partir de esta interpretación vectorial se definen dos elementos geométricos fundamentales: el módulo y el argumento.

Dado que es una distancia euclídea, el módulo es siempre un número real mayor o igual a cero (\(r \ge 0\)), siendo nulo únicamente para el número complejo \(0 + 0i\). Analizamos dos ejemplos de cálculo:

• Para \(z = 3 + 4i\), determinamos su módulo calculando \(r = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).
• Para \(w = -1 - \sqrt{3}i\), hallamos su longitud mediante \(r = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\).

El argumento de un número complejo es el ángulo \(\theta\) formado entre el semieje real positivo y el vector posición, medido en sentido antihorario. Al existir infinitos giros equivalentes al sumar o restar vueltas completas de \(360^\circ\), se define el argumento principal restringiendo la medida al intervalo \([0^\circ, 360^\circ)\).

Para calcular este ángulo utilizamos la relación trigonométrica \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\). Dado que la calculadora proporciona valores en el rango de \(-90^\circ\) a \(90^\circ\), determinamos el cuadrante del punto \((a, b)\) para obtener la medida en el intervalo principal:

• Primer cuadrante (\(a > 0, b \ge 0\)): el ángulo coincide directamente con \(\theta = \arctan\left(\dfrac{b}{a}\right)\).
• Segundo cuadrante (\(a < 0, b \ge 0\)): sumamos \(180^\circ\) al valor obtenido, resultando \(\theta = \arctan\left(\dfrac{b}{a}\right) + 180^\circ\).
• Tercer cuadrante (\(a < 0, b < 0\)): sumamos \(180^\circ\) al valor obtenido, quedando \(\theta = \arctan\left(\dfrac{b}{a}\right) + 180^\circ\).
• Cuarto cuadrante (\(a > 0, b < 0\)): sumamos \(360^\circ\) al valor negativo obtenido, resultando \(\theta = \arctan\left(\dfrac{b}{a}\right) + 360^\circ\).

Si la parte real es nula (\(a = 0\)), la división \(\frac{b}{a}\) no está definida y no es posible aplicar la fórmula de la arcotangente. En este caso, el punto se sitúa directamente sobre el eje imaginario: si \(b > 0\), el vector apunta verticalmente hacia arriba y su argumento principal es \(\theta = 90^\circ\); mientras que si \(b < 0\), el vector apunta hacia abajo y su argumento principal corresponde a \(\theta = 270^\circ\).

Cuando la parte imaginaria es nula (\(b = 0\)) y la parte real es distinta de cero (\(a \neq 0\)), el número complejo se sitúa directamente sobre el eje real. Si \(a > 0\), el vector coincide con el semieje positivo y su argumento principal es \(\theta = 0^\circ\); mientras que si \(a < 0\), el vector apunta hacia la izquierda sobre el semieje negativo, por lo que su argumento principal es \(\theta = 180^\circ\).

Ejemplo 1: calcular el argumento principal de \(z = 1 + \sqrt{3}i\).

Identificamos \(a = 1\) y \(b = \sqrt{3}\). Al ser ambas componentes positivas, el punto se ubica en el primer cuadrante. Calculamos el ángulo directamente:

$$\theta = \arctan\left(\dfrac{\sqrt{3}}{1}\right) = 60^\circ$$

Ejemplo 2: calcular el argumento principal de \(w = -2 + 2i\).

El punto posee \(a = -2\) y \(b = 2\), lo que sitúa al vector en el segundo cuadrante. Evaluamos la arcotangente y sumamos \(180^\circ\) para ubicar el ángulo en su cuadrante correspondiente:

$$\theta = \arctan\left(\dfrac{2}{-2}\right) + 180^\circ = -45^\circ + 180^\circ = 135^\circ$$

Formas de expresar un número complejo

Un mismo número complejo puede representarse mediante distintos sistemas de notación según el tipo de problema o la operación algebraica que necesitemos realizar. Mientras que algunas formas facilitan la suma y la resta, otras simplifican las multiplicaciones, divisiones o el cálculo de potencias.

Forma binómica

La forma binómica o rectangular expresa el número complejo como la suma directa entre su parte real y su parte imaginaria mediante la estructura \(z = a + bi\). Es la notación más adecuada para realizar sumas y restas, ya que permite agrupar términos semejantes de manera directa.

Analizamos dos ejemplos de números complejos en esta notación:

• \(z = 3 + 2i\), donde la parte real es \(3\) y la parte imaginaria es \(2\).
• \(w = -5 - 4i\), donde la parte real es \(-5\) y la parte imaginaria es \(-4\).

Forma cartesiana

La forma cartesiana representa al número complejo como un par ordenado \((a, b)\), identificándolo directamente con las coordenadas rectangulares de su afijo en el plano complejo. El primer elemento indica la posición sobre el eje horizontal real y el segundo sobre el eje vertical imaginario.

Observamos los siguientes ejemplos expresados como pares ordenados:

• \(z = (4, -1)\), cuyo afijo se ubica en el cuarto cuadrante con abscisa \(4\) y ordenada \(-1\).
• \(w = (-2, 6)\), cuyo afijo se ubica en el segundo cuadrante con abscisa \(-2\) y ordenada \(6\).

Forma trigonométrica

La forma trigonométrica descompone las partes real e imaginaria a partir del módulo \(r\) y del argumento \(\theta\), utilizando las relaciones del triángulo rectángulo: \(a = r \cos\theta\) y \(b = r \operatorname{sen}\theta\). Al factorizar el módulo, obtenemos la expresión:

$$z = r (\cos\theta + i \operatorname{sen}\theta)$$

En diversos textos matemáticos se emplea la abreviatura \(z = r \operatorname{cis}\theta\), que condensa los términos coseno e imaginario seno. Esta expresión facilita notablemente las operaciones de multiplicación y división mediante las fórmulas de adición de ángulos, así como el cálculo de potencias enteras mediante la fórmula de De Moivre.

Analizamos dos ejemplos expresados en notación trigonométrica:

• \(z = 2(\cos 60^\circ + i \operatorname{sen} 60^\circ)\), con módulo \(r = 2\) y argumento \(\theta = 60^\circ\).
• \(w = 5(\cos 180^\circ + i \operatorname{sen} 180^\circ)\), con módulo \(r = 5\) y argumento \(\theta = 180^\circ\).

Forma polar

La forma polar o módulo-argumento identifica la posición de un punto en el plano prescindiendo de los ejes rectangulares. En su lugar, utiliza un sistema de coordenadas polares definido por una distancia radial \(r\) desde el origen (polo) y un ángulo de giro \(\theta\) medido en sentido antihorario desde el semieje real positivo (eje polar).

Se escribe habitualmente indicando el argumento como subíndice del módulo, \(z = r_\theta\), o bien como un par polar \(z = (r, \theta)\). Al igual que la notación trigonométrica, resulta práctica para visualizar giros y homotecias en el plano.

Observamos dos ejemplos de números complejos en notación polar:

• \(z = 4_{30^\circ}\), que representa un vector de longitud \(4\) con una inclinación de \(30^\circ\).
• \(w = \sqrt{2}_{225^\circ}\), que describe un vector de longitud \(\sqrt{2}\) ubicado en el tercer cuadrante a \(225^\circ\).

Forma exponencial

La forma exponencial se fundamenta en la identidad de Euler, la cual establece que \(e^{i\theta} = \cos\theta + i \operatorname{sen}\theta\). Al aplicar esta equivalencia, cualquier número complejo puede escribirse en términos de la función exponencial:

$$z = r e^{i\theta}$$

Para aplicar esta notación en cálculos analíticos, el ángulo \(\theta\) debe expresarse en radianes. Su principal ventaja es que convierte las operaciones de multiplicación, división, radicación y potenciación en simples aplicaciones de las leyes algebraicas de los exponentes, simplificando los cálculos más que cualquier otra notación.

Analizamos dos ejemplos en forma exponencial:

• \(z = 3 e^{i \frac{\pi}{3}}\), con módulo \(r = 3\) y ángulo \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\text{ rad}\) (equivalente a \(60^\circ\)).
• \(w = e^{i \pi}\), con módulo \(r = 1\) y ángulo \(\theta = \pi\text{ rad}\) (equivalente a \(180^\circ\), correspondiente a la relación \(e^{i\pi} = -1\)).

Comparación de las formas de un número complejo

Para comprender cómo se relacionan entre sí estas cinco notaciones, las colocamos en la siguiente tabla, donde a es la parte real del complejo, b la imaginaria, r es el módulo y θ el argumento:

Forma	Estructura general
Binómica	a + bi
Cartesiana	(a, b)
Trigonométrica	r (cos θ + i sen θ)
Polar	rθ
Exponencial	r eiθ

Aplicación en la resolución de ecuaciones cuadráticas

Una de las aplicaciones inmediatas de los números complejos es la resolución completa de ecuaciones de segundo grado. En el conjunto de los números reales, cuando el discriminante resulta negativo, la ecuación carece de soluciones. En el conjunto de los números complejos, estas ecuaciones siempre tienen dos soluciones bien definidas.

Para resolver una ecuación cuadrática general de la forma \(ax^2 + bx + c = 0\) (con \(a \neq 0\)), aplicamos la fórmula resolvente:

\(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

El comportamiento de las soluciones depende del valor del discriminante \(\Delta = b^2 - 4ac\). Cuando \(\Delta < 0\), la raíz cuadrada involucra un número negativo, lo que da lugar a dos soluciones complejas. Además, cuando los coeficientes \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales, las dos soluciones obtenidas son siempre números complejos conjugados entre sí de la forma \(p + qi\) y \(p - qi\).

Analizamos la resolución paso a paso de tres ecuaciones cuadráticas con discriminante negativo:

Ejemplo 1: resolver la ecuación cuadrática incompleta \(x^2 + 25 = 0\).

Despejamos el término cuadrático restando \(25\) en ambos miembros:

$$x^2 = -25$$

Aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados recordando que existen dos signos posibles y transformamos el radicando negativo con la unidad imaginaria:

$$x = \pm \sqrt{-25} = \pm \sqrt{25} \cdot i = \pm 5i$$

Obtenemos dos soluciones imaginarias puras conjugadas: \(x_1 = 5i\) y \(x_2 = -5i\).

Ejemplo 2: resolver la ecuación cuadrática completa \(x^2 - 4x + 13 = 0\).

Identificamos los coeficientes: \(a = 1\), \(b = -4\) y \(c = 13\). Calculamos primero el discriminante:

$$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(13) = 16 - 52 = -36$$

Sustituimos estos valores en la fórmula cuadrática:

$$x = \dfrac{-(-4) \pm \sqrt{-36}}{2(1)} = \dfrac{4 \pm \sqrt{36} \cdot i}{2} = \dfrac{4 \pm 6i}{2}$$

Distribuimos el denominador entre la parte real y la parte imaginaria para simplificar la expresión:

$$x = \dfrac{4}{2} \pm \dfrac{6}{2}i = 2 \pm 3i$$

Las dos soluciones de la ecuación son \(x_1 = 2 + 3i\) y \(x_2 = 2 - 3i\), las cuales forman un par de complejos conjugados.

Ejemplo 3: resolver la ecuación cuadrática \(2x^2 + 2x + 5 = 0\).

Identificamos los coeficientes: \(a = 2\), \(b = 2\) y \(c = 5\). Evaluamos el discriminante:

$$\Delta = 2^2 - 4(2)(5) = 4 - 40 = -36$$

Aplicamos la fórmula resolvente:

$$x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{-36}}{2(2)} = \dfrac{-2 \pm 6i}{4}$$

Separamos los términos y simplificamos las fracciones dividiendo numerador y denominador entre \(2\):

$$x = -\dfrac{2}{4} \pm \dfrac{6}{4}i = -\dfrac{1}{2} \pm \dfrac{3}{2}i$$

Las soluciones obtenidas son \(x_1 = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{2}i\) y \(x_2 = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}i\).

El uso de los números complejos garantiza que toda ecuación cuadrática posea exactamente dos soluciones algebraicas, eliminando las restricciones operativas que existían dentro del conjunto de los números reales.