Regla de Cramer

La regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que proporciona una solución explícita para sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados mediante el cálculo de determinantes. Este procedimiento algebraico establece que el valor numérico de cada incógnita se obtiene al dividir dos determinantes: el determinante de una matriz modificada entre el determinante de la matriz de coeficientes original.

Para que el método de Cramer sea aplicable a un sistema de ecuaciones lineales, deben satisfacerse dos condiciones obligatorias:

1. El sistema debe ser cuadrado: El número de ecuaciones debe coincidir exactamente con el número de incógnitas (n × n).
2. El determinante principal debe ser distinto de cero: La matriz de coeficientes asociada al sistema debe ser regular, es decir, su determinante principal \(\Delta\) no puede anularse (\(\Delta \neq 0\)).

En el estudio de matrices y sistemas lineales, el determinante de una matriz A suele representarse indistintamente mediante la notación funcional det(A) o encerrando sus elementos entre barras verticales, como |A|. A lo largo de esta guía adoptamos las barras verticales por su compacidad y claridad visual al desplegar las operaciones.

Fórmulas de la regla de Cramer

Para aplicar el método de Cramer, comenzamos analizando sistemas pequeños de dos y tres ecuaciones donde la mecánica de sustitución se aprecia con total claridad, para luego extender la formulación analítica al caso general de cualquier dimensión.

Sistemas de dos ecuaciones lineales (2×2)

Consideramos un sistema lineal estándar de dos ecuaciones con dos incógnitas, donde identificamos los coeficientes de las variables con las primeras letras del alfabeto y destacamos los términos independientes en color rojo:

$$\begin{cases} ax + by = {\color{red}e} \\ cx + dy = {\color{red}f} \end{cases}$$

El primer paso consiste en calcular el determinante principal del sistema, denominado \(\Delta\), el cual se construye disponiendo exclusivamente los coeficientes numéricos de las incógnitas en su posición original:

$$\Delta = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$$

Ahora debemos calcular los determinantes asociados a cada variable, para ello en \(\Delta\) reemplazamos la columna correspondiente a dicha incógnita por la columna de términos independientes, manteniendo invariables los coeficientes de las demás columnas:

Para la incógnita \(x\), sustituimos la primera columna:

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} {\color{red}e} & b \\ {\color{red}f} & d \end{vmatrix} = {\color{red}e}d - b{\color{red}f}$$

Para la incógnita \(y\), sustituimos la segunda columna:

$$\Delta_y = \begin{vmatrix} a & {\color{red}e} \\ c & {\color{red}f} \end{vmatrix} = a{\color{red}f} - {\color{red}e}c$$

Siempre que se cumpla la condición \(\Delta \neq 0\), la solución explícita del sistema se obtiene dividiendo cada determinante específico por el determinante principal:

$$x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta} = \dfrac{{\color{red}e}d - b{\color{red}f}}{ad - bc}$$

$$y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta} = \dfrac{a{\color{red}f} - {\color{red}e}c}{ad - bc}$$

Sistemas de tres ecuaciones lineales (3×3)

En un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, empleamos subíndices numéricos por ecuación para asociar de manera directa cada coeficiente a su incógnita correspondiente (\(a_i\) para \(x\), \(b_i\) para \(y\), y \(c_i\) para \(z\)):

$$\begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 z = {\color{red}d_1} \\ a_2 x + b_2 y + c_2 z = {\color{red}d_2} \\ a_3 x + b_3 y + c_3 z = {\color{red}d_3} \end{cases}$$

El determinante principal del sistema reúne los coeficientes de las tres incógnitas ordenados por filas y columnas:

$$\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$$

Siguiendo la misma regla de sustitución, obtenemos los determinantes de cada incógnita reemplazando sucesivamente la columna respectiva por la columna de términos independientes:

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} {\color{red}d_1} & b_1 & c_1 \\ {\color{red}d_2} & b_2 & c_2 \\ {\color{red}d_3} & b_3 & c_3 \end{vmatrix}, \qquad \Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & {\color{red}d_1} & c_1 \\ a_2 & {\color{red}d_2} & c_2 \\ a_3 & {\color{red}d_3} & c_3 \end{vmatrix}, \qquad \Delta_z = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & {\color{red}d_1} \\ a_2 & b_2 & {\color{red}d_2} \\ a_3 & b_3 & {\color{red}d_3} \end{vmatrix}$$

Bajo la condición de compatibilidad \(\Delta \neq 0\), los valores de las incógnitas quedan determinados por las siguientes razones:

$$x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta}, \qquad y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta}, \qquad z = \dfrac{\Delta_z}{\Delta}$$

A diferencia del caso de segundo orden, donde el cálculo se reduce a una sencilla resta de productos cruzados, los determinantes de orden 3 admiten dos procedimientos estándar de resolución:

• Regla de Sarrus: Consiste en sumar y restar los productos formados a lo largo de las diagonales principales y secundarias tras duplicar las dos primeras filas o columnas de la matriz.
• Desarrollo por cofactores (método de Laplace): Consiste en descomponer el determinante en combinaciones lineales de determinantes menores de orden 2 a lo largo de una fila o columna seleccionada.

Ambas alternativas conducen exactamente al mismo valor numérico, y en los ejercicios resueltos empleamos las dos para ilustrar en qué situaciones conviene elegir una sobre otra.

Caso general (n×n)

Todo sistema de \(n\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas puede condensarse en una única ecuación matricial:

$$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$$

En esta formulación, \(A\) representa la matriz cuadrada de coeficientes de dimensión \(n \times n\), el vector columna \(\mathbf{x}\) agrupa las incógnitas del sistema y el vector columna \(\mathbf{b}\) contiene los términos independientes:

$$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} {b_1} \\ {b_2} \\ \vdots \\ {b_n} \end{pmatrix}$$

El teorema de Cramer establece que si la matriz de coeficientes posee determinante no nulo (\(|A| \neq 0\)), cada incógnita \(x_i\) del sistema queda definida unívocamente por la relación:

$$x_i = \dfrac{|A_i|}{|A|} = \dfrac{\Delta_i}{\Delta}$$

Donde \(A_i\) es la matriz que resulta de reemplazar la columna número \(i\) de la matriz \(A\) por el vector de términos independientes \(\mathbf{b}\). Por simplicidad de escritura, el determinante de la matriz de coeficientes \(|A|\) se denota habitualmente como \(\Delta\), mientras que el determinante de la matriz modificada \(|A_i|\) se abrevia como \(\Delta_i\) (o bien \(\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z\) según el nombre de la variable evaluada). Esta igualdad sintetiza la naturaleza analítica del método, demostrando que la solución de cualquier sistema lineal cuadrado regular puede expresarse como el cociente directo de dos determinantes.

Ejemplos paso a paso

Para asimilar la mecánica operativa del método de Cramer, analizamos la resolución completa de dos sistemas lineales.

Ejemplo 2×2

Resolver el siguiente sistema lineal aplicando la regla de Cramer:

$$\begin{cases} 2x + 3y = {\color{red}13} \\ 5x - y = {\color{red}7} \end{cases}$$

Solución

Calculamos en primer lugar el determinante principal \(\Delta\) a partir de los coeficientes de las variables, realizando el producto cruzado de la diagonal principal menos la diagonal secundaria:

$$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (3)(5) = -2 - 15 = -17$$

Como \(\Delta \neq 0\), el sistema admite solución única. Procedemos a calcular el determinante \(\Delta_x\) sustituyendo la primera columna por los términos independientes:

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} {\color{red}13} & 3 \\ {\color{red}7} & -1 \end{vmatrix} = ({\color{red}13})(-1) - (3)({\color{red}7}) = -13 - 21 = -34$$

De forma análoga, calculamos el determinante \(\Delta_y\) reemplazando los coeficientes de la segunda columna por los términos independientes:

$$\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & {\color{red}13} \\ 5 & {\color{red}7} \end{vmatrix} = (2)({\color{red}7}) - ({\color{red}13})(5) = 14 - 65 = -51$$

Aplicamos las razones del método de Cramer para hallar el valor numérico de cada incógnita:

$$x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta} = \dfrac{-34}{-17} = 2$$

$$y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta} = \dfrac{-51}{-17} = 3$$

La solución del sistema corresponde al par ordenado \((x, y) = (2, 3)\). Para confirmar la validez del resultado, reemplazamos ambos valores en las expresiones iniciales:

• En la primera ecuación: \(2(2) + 3(3) = 4 + 9 = 13\).
• En la segunda ecuación: \(5(2) - (3) = 10 - 3 = 7\).

Ambas igualdades se satisfacen simultáneamente.

Ejemplo 3×3

Resolver el siguiente sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas:

$$\begin{cases} x + y + z = {\color{red}6} \\ 2x - y + z = {\color{red}3} \\ x + 2y - z = {\color{red}2} \end{cases}$$

Solución

Planteamos el determinante principal \(\Delta\) disponiendo los coeficientes de \(x\), \(y\) y \(z\):

$$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$

Para evaluar este determinante aplicamos la regla de Sarrus extendiendo hacia abajo las dos primeras filas bajo el arreglo original:

$$\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{matrix}$$

Sumamos los productos de las tres diagonales descendentes (principales) y restamos los productos de las tres diagonales ascendentes (secundarias):

$$\text{Suma descendente} = (1)(-1)(-1) + (2)(2)(1) + (1)(1)(1) = 1 + 4 + 1 = 6$$

$$\text{Suma ascendente} = (1)(-1)(1) + (1)(2)(1) + (2)(1)(-1) = -1 + 2 - 2 = -1$$

Restamos ambos resultados para obtener el determinante principal:

$$\Delta = 6 - (-1) = 6 + 1 = 7$$

Dado que \(\Delta \neq 0\), el sistema tiene solución única. Construimos los determinantes particulares sustituyendo sucesivamente cada columna por la columna de términos independientes en color rojo:

Para la incógnita \(x\), reemplazamos la primera columna:

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} {\color{red}6} & 1 & 1 \\ {\color{red}3} & -1 & 1 \\ {\color{red}2} & 2 & -1 \end{vmatrix} = 7$$

Para la incógnita \(y\), reemplazamos la segunda columna:

$$\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & {\color{red}6} & 1 \\ 2 & {\color{red}3} & 1 \\ 1 & {\color{red}2} & -1 \end{vmatrix} = 14$$

Para la incógnita \(z\), reemplazamos la tercera columna:

$$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & {\color{red}6} \\ 2 & -1 & {\color{red}3} \\ 1 & 2 & {\color{red}2} \end{vmatrix} = 21$$

Dividimos cada determinante obtenido por el determinante principal del sistema:

$$x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta} = \dfrac{7}{7} = 1$$

$$y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta} = \dfrac{14}{7} = 2$$

$$z = \dfrac{\Delta_z}{\Delta} = \dfrac{21}{7} = 3$$

Obtenemos como solución la terna \((x, y, z) = (1, 2, 3)\), la cual satisface de forma directa las tres ecuaciones del sistema.

Clasificación de sistemas según sus determinantes

El valor del determinante principal \(\Delta\) y de los determinantes de las incógnitas permite clasificar el tipo de solución que admite un sistema lineal. Sin embargo, el alcance analítico de este procedimiento presenta diferencias notables según la dimensión del problema.

Para sistematizar la relación entre los determinantes calculados y la naturaleza de las soluciones, resumimos los escenarios posibles en la siguiente tabla:

Condición de determinantes	Dimensión del sistema	Tipo de sistema	Conclusión mediante la regla de Cramer
\(\Delta \neq 0\)	Cualquier dimensión (\(n \times n\))	Sistema compatible determinado (SCD)	Solución única mediante las fórmulas \(x_i = \dfrac{\Delta_i}{\Delta}\).
\(\Delta = 0\) y al menos un \(\Delta_i \neq 0\)	Cualquier dimensión (\(n \times n\))	Sistema incompatible (SI)	El sistema carece de soluciones (inconsistencia por división por cero).
\(\Delta = 0\) y todos los \(\Delta_i = 0\)	Sistemas 2×2	Sistema compatible indeterminado (SCI)	Infinitas soluciones asociadas a rectas coincidentes (salvo ecuaciones triviales inconsistentes).
\(\Delta = 0\) y todos los \(\Delta_i = 0\)	Sistemas 3×3 o superiores	Indeterminado por Cramer	El método no aporta información suficiente. Puede tratarse de un sistema con infinitas soluciones o sin solución.

Cuando ocurre la condición \(\Delta = 0\) junto con la anulación de todos los determinantes particulares en sistemas de orden 3 o mayor, el teorema de Cramer alcanza su límite operativo y deja de proporcionar un diagnóstico definitivo.

Para resolver con certeza este caso en dimensiones superiores a 2×2, resulta necesario abandonar el método de determinantes y acudir a herramientas más generales del álgebra lineal:

• Eliminación gaussiana: Permite escalonar la matriz ampliada del sistema mediante operaciones elementales por fila para identificar de inmediato si surgen filas absurdas del tipo \(0 = k\) (sistema incompatible) o variables libres (sistema compatible indeterminado).
• Teorema de Rouché-Frobenius: Determina la compatibilidad comparando formalmente el rango de la matriz de coeficientes con el rango de la matriz ampliada.

Ejercicios resueltos

Para consolidar el aprendizaje y dominar las particularidades algebraicas que suelen presentarse en exámenes, resolvemos a continuación una serie de ejercicios ordenados por nivel de dificultad y organizados según la dimensión de sus matrices.

Sistemas de ecuaciones lineales 2×2

Ejercicio 1

Encontrar el conjunto solución del siguiente sistema lineal mediante la regla de Cramer:

$$\begin{cases} 3x + 2y - 11 = 0 \\ 7x - 4y = 9 \end{cases}$$

Solución

Antes de estructurar los arreglos matriciales, debemos reescribir las expresiones en su forma canónica \(ax + by = c\). En la primera igualdad, el término numérico constante se encuentra en el miembro izquierdo, por lo que lo trasladamos al miembro derecho con signo opuesto (sumamos 11 a ambos miembros) para evitar errores al definir los coeficientes independientes:

$$\begin{cases} 3x + 2y = 11 \\ 7x - 4y = 9 \end{cases}$$

Con las ecuaciones alineadas, construimos y evaluamos el determinante principal \(\Delta\) a partir de los coeficientes de las variables:

$$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 7 & -4 \end{vmatrix} = (3)(-4) - (2)(7) = -12 - 14 = -26$$

Como \(\Delta \neq 0\), el sistema admite solución única. Formamos el determinante \(\Delta_x\) sustituyendo la primera columna por los términos independientes:

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} 11 & 2 \\ 9 & -4 \end{vmatrix} = (11)(-4) - (2)(9) = -44 - 18 = -62$$

Construimos el determinante \(\Delta_y\) colocando los términos independientes en la segunda columna:

$$\Delta_y = \begin{vmatrix} 3 & 11 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = (3)(9) - (11)(7) = 27 - 77 = -50$$

Calculamos los valores de las incógnitas dividiendo cada determinante particular entre el determinante principal y simplificando las fracciones resultantes:

$$x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta} = \dfrac{-62}{-26} = \dfrac{31}{13}$$

$$y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta} = \dfrac{-50}{-26} = \dfrac{25}{13}$$

Obtenemos como resultado el par \((x, y) = \left(\dfrac{31}{13}, \dfrac{25}{13}\right)\). La presencia de fracciones irreducibles no indica un error de cálculo; muchos sistemas lineales de evaluación académica conducen a valores racionales no enteros.

Ejercicio 2

Determinar los valores de \(x\) e \(y\) que satisfacen simultáneamente el siguiente sistema lineal:

$$\begin{cases} 2x - 5y = -4 \\ 3y + 4x = 18 \end{cases}$$

Solución

Al inspeccionar la segunda ecuación notamos que el orden de las incógnitas está invertido respecto a la primera expresión. Si extraemos los coeficientes sin ordenar, situaríamos el coeficiente de \(y\) en la columna de \(x\), alterando el cálculo. Reordenamos los términos verticalmente:

$$\begin{cases} 2x - 5y = -4 \\ 4x + 3y = 18 \end{cases}$$

Calculamos el determinante principal \(\Delta\), prestando especial atención a la multiplicación de los signos negativos en la diagonal secundaria:

$$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -5 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = (2)(3) - (-5)(4) = 6 - (-20) = 6 + 20 = 26$$

Calculamos ahora el determinante \(\Delta_x\) reemplazando la columna de los coeficientes de \(x\) por la de términos constantes:

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} -4 & -5 \\ 18 & 3 \end{vmatrix} = (-4)(3) - (-5)(18) = -12 - (-90) = -12 + 90 = 78$$

Armamos \(\Delta_y\) colocando los términos independientes en la segunda columna:

$$\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 4 & 18 \end{vmatrix} = (2)(18) - (-4)(4) = 36 - (-16) = 36 + 16 = 52$$

Hallamos las componentes de la solución aplicando el cociente de determinantes:

$$x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta} = \dfrac{78}{26} = 3$$

$$y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta} = \dfrac{52}{26} = 2$$

La solución final es el par ordenado \((x, y) = (3, 2)\).

Ejercicio 3

Resolver el siguiente sistema con coeficientes racionales aplicando el método de determinantes:

$$\begin{cases} \dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{4}y = 3 \\\\ \dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{4}y = 1 \end{cases}$$

Solución

Frente a coeficientes fraccionarios existen dos caminos equivalentes: podemos multiplicar cada ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores para transformarlas en coeficientes enteros, o bien calcular los determinantes operando directamente con las fracciones. Ambos procedimientos son válidos y conducen al mismo resultado. En este desarrollo optamos por operar directamente sobre las matrices para ejercitar el producto de racionales.

Planteamos el determinante del sistema y restamos el producto de sus diagonales:

$$\Delta = \begin{vmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{4} \\\\ \dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{4} \end{vmatrix} = \left(\dfrac{1}{2}\right)\left(-\dfrac{1}{4}\right) - \left(\dfrac{3}{4}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right) = -\dfrac{1}{8} - \dfrac{6}{12}= -\dfrac{5}{8}$$

Al ser \(\Delta \neq 0\), procedemos al cálculo de \(\Delta_x\) sustituyendo la primera columna:

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & \dfrac{3}{4} \\\\ 1 & -\dfrac{1}{4} \end{vmatrix} = (3)\left(-\dfrac{1}{4}\right) - \left(\dfrac{3}{4}\right)(1) = -\dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{4} = -\dfrac{6}{4} = -\dfrac{3}{2}$$

Construimos el determinante \(\Delta_y\) reemplazando la segunda columna:

$$\Delta_y = \begin{vmatrix} \dfrac{1}{2} & 3 \\\\ \dfrac{2}{3} & 1 \end{vmatrix} = \left(\dfrac{1}{2}\right)(1) - (3)\left(\dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{1}{2} - 2 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{4}{2} = -\dfrac{3}{2}$$

Despejamos cada incógnita dividiendo las fracciones mediante la multiplicación por el recíproco del denominador:

$$x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta} = \dfrac{-\dfrac{3}{2}}{-\dfrac{5}{8}} = \left(-\dfrac{3}{2}\right) \cdot \left(-\dfrac{8}{5}\right) = \dfrac{24}{10} = \dfrac{12}{5}$$

$$y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta} = \dfrac{-\dfrac{3}{2}}{-\dfrac{5}{8}} = \left(-\dfrac{3}{2}\right) \cdot \left(-\dfrac{8}{5}\right) = \dfrac{24}{10} = \dfrac{12}{5}$$

Obtenemos como solución \((x, y) = \left(\dfrac{12}{5}, \dfrac{12}{5}\right)\).

Ejercicio 4

Analizar y resolver el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de Cramer:

$$\begin{cases} 2x - 6y = 5 \\ -x + 3y = 4 \end{cases}$$

Solución

Comenzamos evaluando el determinante principal \(\Delta\) del sistema:

$$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -6 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} = (2)(3) - (-6)(-1) = 6 - 6 = 0$$

Dado que el determinante principal es nulo, no es posible aplicar la división final del método para obtener una solución única. Para determinar si el sistema carece de soluciones o tiene infinitas soluciones, calculamos el determinante \(\Delta_x\):

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} 5 & -6 \\ 4 & 3 \end{vmatrix} = (5)(3) - (-6)(4) = 15 - (-24) = 15 + 24 = 39$$

Como \(\Delta = 0\) y \(\Delta_x \neq 0\), el cociente \(x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta} = \dfrac{39}{0}\) carece de definición algebraica. Concluimos que el sistema es incompatible (carece de solución), lo que geométricamente describe dos rectas paralelas no coincidentes en el plano.

Ejercicio 5

Examinar la compatibilidad del siguiente sistema lineal aplicando el teorema de Cramer:

$$\begin{cases} x - 2y = 3 \\ -2x + 4y = -6 \end{cases}$$

Solución

Calculamos en primer lugar el determinante de la matriz de coeficientes:

$$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} = (1)(4) - (-2)(-2) = 4 - 4 = 0$$

Al obtener \(\Delta = 0\), evaluamos los determinantes particulares de ambas variables:

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ -6 & 4 \end{vmatrix} = (3)(4) - (-2)(-6) = 12 - 12 = 0$$

$$\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -2 & -6 \end{vmatrix} = (1)(-6) - (3)(-2) = -6 - (-6) = -6 + 6 = 0$$

En los sistemas lineales 2×2 con ecuaciones no degeneradas, la condición simultánea \(\Delta = 0\), \(\Delta_x = 0\) y \(\Delta_y = 0\) indica que las dos ecuaciones son proporcionales entre sí (la segunda ecuación es el resultado de multiplicar la primera por \(-2\)). Por consiguiente, ambas expresiones representan la misma recta en el plano, concluyendo que se trata de un sistema compatible indeterminado que posee infinitas soluciones.

Sistemas de ecuaciones lineales 3×3

Ejercicio 6

Resolver el siguiente sistema lineal:

$$\begin{cases} \frac{1}{3}x + y + z = 2 \\ 2x - y + z = 9 \\ x + 2y - z = -1 \end{cases}$$

Solución

Para evitar operar con fracciones dentro de los arreglos matriciales, multiplicamos la primera ecuación completa por 3. Obtenemos un sistema equivalente con coeficientes enteros:

$$\begin{cases} x + 3y + 3z = 6 \\ 2x - y + z = 9 \\ x + 2y - z = -1 \end{cases}$$

Planteamos el determinante principal \(\Delta\). Para calcular su valor, aplicamos el desarrollo por cofactores a lo largo de los elementos de la primera fila. Este método transforma el determinante de orden 3 en una combinación lineal de tres determinantes de orden 2, aplicando la alternancia de signos \(+ - +\):

$$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$$

Resolvemos cada determinante menor mediante el producto cruzado de sus diagonales:

$$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(-1) - (1)(2) = 1 - 2 = -1$$

$$\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (2)(-1) - (1)(1) = -2 - 1 = -3$$

$$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (2)(2) - (-1)(1) = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5$$

Sustituimos estos valores para hallar \(\Delta\):

$$\Delta = 1(-1) - 3(-3) + 3(5) = -1 + 9 + 15 = 23$$

Al ser \(\Delta \neq 0\), el sistema admite solución única. Estructuramos los determinantes de cada incógnita sustituyendo sucesivamente la columna correspondiente por los términos independientes \((6, 9, -1)\):

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} 6 & 3 & 3 \\ 9 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 69$$

$$\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 3 \\ 2 & 9 & 1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = -23$$

$$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 6 \\ 2 & -1 & 9 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 46$$

Calculamos los valores de las variables dividiendo entre el determinante principal:

$$x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta} = \dfrac{69}{23} = 3$$

$$y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta} = \dfrac{-23}{23} = -1$$

$$z = \dfrac{\Delta_z}{\Delta} = \dfrac{46}{23} = 2$$

Obtenemos como solución la terna \((x, y, z) = (3, -1, 2)\).

Ejercicio 7

Determinar la compatibilidad del siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 4 \\ 2x + 4y - 2z = 5 \\ 3x - y + 2z = 1 \end{cases}$$

Solución

Planteamos y calculamos el determinante principal \(\Delta\):

$$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$

Observamos que los coeficientes de la segunda fila son exactamente el doble de los coeficientes de la primera fila (\(2 = 2 \cdot 1\), \(4 = 2 \cdot 2\), \(-2 = 2 \cdot (-1)\)). Por las propiedades de las matrices, si dos filas son proporcionales, el determinante es nulo:

$$\Delta = 0$$

Para determinar si el sistema carece de soluciones, calculamos el determinante de la variable \(x\) reemplazando la primera columna por los términos independientes:

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 5 & 4 & -2 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$

Evaluamos este determinante desarrollando por los cofactores de la primera fila:

$$\Delta_x = 4 \cdot \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 5 & -2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 5 & 4 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}$$

$$\Delta_x = 4(8 - 2) - 2(10 - (-2)) - 1(-5 - 4) = 4(6) - 2(12) - 1(-9) = 24 - 24 + 9 = 9$$

Dado que \(\Delta = 0\) y hemos obtenido \(\Delta_x = 9 \neq 0\), el sistema no admite ninguna solución. Concluimos que se trata de un sistema incompatible.

Ejercicio 8

Hallar los valores de \(x\), \(y\) y \(z\) a partir del siguiente sistema lineal:

$$\begin{cases} 2x - y + z = 1 \\ x + y + 2z = 3 \\ 3x + y - z = 2 \end{cases}$$

Solución

Calculamos el determinante de coeficientes del sistema:

$$\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -15$$

Al verificarse \(\Delta \neq 0\), garantizamos la existencia de una solución única. Evaluamos los determinantes asociados a cada incógnita reemplazando la columna respectiva por el vector de términos constantes \((1, 3, 2)\):

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -9$$

$$\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} = -14$$

$$\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -11$$

Obtenemos el valor de cada variable mediante los cocientes correspondientes y simplificamos los signos negativos:

$$x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta} = \dfrac{-9}{-15} = \dfrac{3}{5}$$

$$y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta} = \dfrac{-14}{-15} = \dfrac{14}{15}$$

$$z = \dfrac{\Delta_z}{\Delta} = \dfrac{-11}{-15} = \dfrac{11}{15}$$

El sistema queda determinado por la solución fraccionaria \((x, y, z) = \left(\dfrac{3}{5}, \dfrac{14}{15}, \dfrac{11}{15}\right)\).

Ejercicio 9

Analizar mediante determinantes el comportamiento del siguiente sistema lineal:

$$\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x + 2y + 2z = 4 \\ 3x + 3y + 3z = 7 \end{cases}$$

Solución

Planteamos el determinante principal y los determinantes asociados a cada variable:

$$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 \end{vmatrix} = 0$$

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 2 \\ 7 & 3 & 3 \end{vmatrix} = 0, \qquad \Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 3 & 7 & 3 \end{vmatrix} = 0, \qquad \Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \\ 3 & 3 & 7 \end{vmatrix} = 0$$

Cuando en una matriz dos líneas (filas o columnas) son iguales, el determinante es igual a cero. En los casos anteriores, al menos dos columnas son iguales (se repite 1 2 3).

En este sistema se cumple simultáneamente que \(\Delta = 0\) y \(\Delta_x = \Delta_y = \Delta_z = 0\). En dimensiones 3×3 o mayores, la anulación total de los determinantes deja el problema en un estado indeterminado para la regla de Cramer, impidiendo definir si existen infinitas soluciones o ninguna.

Para resolver esta ambigüedad, comparamos algebraicamente las ecuaciones. Si multiplicamos la primera igualdad por 3 obtenemos \(3x + 3y + 3z = 6\), lo cual contradice abiertamente la tercera ecuación (\(3x + 3y + 3z = 7\)). Esta inconsistencia (\(6 = 7\)) demuestra que el sistema es incompatible.

Ejercicio 10

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{cases} 3x - y = 5 \\ 2x + z = 7 \\ y - 2z = -5 \end{cases}$$

Solución

Notamos que en cada una de las ecuaciones falta una incógnita distinta. Antes de armar los determinantes, completamos las variables ausentes con coeficiente cero para mantener las columnas alineadas:

$$\begin{cases} 3x - y + 0z = 5 \\ 2x + 0y + z = 7 \\ 0x + y - 2z = -5 \end{cases}$$

Estructuramos el determinante principal \(\Delta\) y lo resolvemos desarrollando por los cofactores de la primera fila, aprovechando que el último elemento es cero:

$$\Delta = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 3 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} + 0$$

$$\Delta = 3(0 - 1) + 1(-4 - 0) = -3 - 4 = -7$$

Al ser \(\Delta \neq 0\), el sistema admite solución única. Planteamos y calculamos los determinantes de las incógnitas reemplazando sucesivamente cada columna por el vector de términos independientes \((5, 7, -5)\):

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} 5 & -1 & 0 \\ 7 & 0 & 1 \\ -5 & 1 & -2 \end{vmatrix} = -14$$

$$\Delta_y = \begin{vmatrix} 3 & 5 & 0 \\ 2 & 7 & 1 \\ 0 & -5 & -2 \end{vmatrix} = -7$$

$$\Delta_z = \begin{vmatrix} 3 & -1 & 5 \\ 2 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & -5 \end{vmatrix} = -21$$

Dividimos cada determinante particular por el determinante principal:

$$x = \dfrac{\Delta_x}{\Delta} = \dfrac{-14}{-7} = 2$$

$$y = \dfrac{\Delta_y}{\Delta} = \dfrac{-7}{-7} = 1$$

$$z = \dfrac{\Delta_z}{\Delta} = \dfrac{-21}{-7} = 3$$

Obtenemos como solución la terna \((x, y, z) = (2, 1, 3)\).

Aplicaciones y limitaciones de la regla de Cramer

Frente a la sencillez con la que el método de Cramer resuelve sistemas pequeños mediante determinantes, surge una duda recurrente: si este procedimiento entrega fórmulas directas para cada incógnita, ¿por qué no se utiliza de forma generalizada en problemas de ingeniería, ciencias de la computación o modelos financieros?

Utilidad teórica y aplicaciones analíticas

El valor central de la regla de Cramer radica en su potencia matemática teórica. A diferencia de los métodos numéricos iterativos o de eliminación que transforman progresivamente las ecuaciones, este teorema proporciona una fórmula cerrada y explícita para cada incógnita en función de los parámetros originales del sistema.

Esta propiedad resulta especialmente útil en situaciones donde no se busca resolver todo el conjunto de variables, sino analizar una sola incógnita aislada:

• Cálculo diferencial multivariable: Permite calcular derivadas implícitas y razones de cambio mediante matrices jacobianas sin necesidad de despejar todas las funciones involucradas.
• Modelos paramétricos y análisis de sensibilidad: Facilita estudiar cómo varía una variable específica ante pequeños cambios en un coeficiente o término independiente particular.
• Demostraciones algebraicas: Constituye la base para derivar propiedades teóricas de matrices invertibles, normas matriciales y soluciones analíticas en física matemática.

La barrera del costo computacional

La principal desventaja del método surge al incrementar la dimensión del sistema. En un problema de dos ecuaciones realizamos apenas dos multiplicaciones por determinante; en uno de tres ecuaciones calculamos seis productos por determinante. Sin embargo, para un sistema de n ecuaciones con n incógnitas resuelto por cofactores, la cantidad de operaciones requeridas por cada determinante crece de forma factorial (n!).

Como la regla exige calcular el determinante principal más los \(n\) determinantes de las incógnitas (un total de \(n + 1\) determinantes), el volumen total de operaciones aritméticas se dispara según el término \((n + 1)!\):

Para dimensionar este crecimiento, consideremos un sistema de 20 ecuaciones con 20 incógnitas, un tamaño habitual en el análisis de circuitos eléctricos o redes de distribución. Si aplicáramos determinantes por cofactores, el algoritmo demandaría aproximadamente \(21!\) operaciones, una cifra equivalente a más de \(5{,}1 \times 10^{19}\) cálculos elementales. Incluso la supercomputadora más veloz del planeta, ejecutando billones de cálculos por segundo, tardaría siglos en completar la tarea.

En contraste, métodos alternativos como la eliminación gaussiana o el método de Gauss-Jordan reducen el sistema mediante transformaciones lineales escalonadas, resolviendo ese mismo caso de 20×20 en una fracción imperceptible de segundo.

Complejidad algorítmica y métodos más eficientes

En ciencias de la computación, esta disparidad en el rendimiento se clasifica formalmente mediante la notación de orden \(O\), que describe cómo se incrementa el tiempo de cómputo en función del tamaño \(n\) del problema:

• Regla de Cramer por cofactores: Posee una complejidad factorial \(O((n+1)!)\), lo que la vuelve inviable para cualquier cálculo práctico con \(n \ge 4\).
• Eliminación gaussiana y método de Gauss-Jordan: Presentan una complejidad polinómica de orden cúbico \(O(n^3)\). Esto significa que al duplicar el tamaño del sistema, el tiempo de cálculo solo se multiplica por ocho, manteniendo el proceso dentro de escalas asumibles para procesadores modernos.

Por este motivo, en la resolución numérica de grandes sistemas lineales se recurre siempre a la eliminación gaussiana o a factorizaciones matriciales avanzadas (como la descomposición LU o Cholesky), reservando la regla de Cramer para propósitos analíticos y sistemas didácticos de orden 2 y 3.