Método de eliminación de Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan es un algoritmo del álgebra lineal diseñado para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales o calcular la matriz inversa de una matriz dada. Constituye una extensión directa de la eliminación gaussiana: en lugar de detener las operaciones al alcanzar una estructura escalonada (no reducida) y recurrir a la sustitución algebraica, el procedimiento continúa transformando la matriz hasta aislar por completo cada incógnita.

Para aplicar este método a un sistema lineal, agrupamos los coeficientes de las variables y los términos independientes en una matriz aumentada. Por ejemplo, para un sistema general de tres ecuaciones con tres incógnitas:

$$\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{cases}$$

Escribimos la matriz aumentada delimitando los términos independientes mediante una barra vertical:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{array}\right]$$

El propósito fundamental del algoritmo consiste en transformar la submatriz de coeficientes hasta obtener una matriz escalonada reducida por filas (frecuentemente abreviada como RREF). Esta disposición desacopla las variables y permite leer el valor numérico de cada solución directamente en la columna final, sin necesidad de realizar sustituciones hacia atrás.

Una matriz se encuentra en forma escalonada reducida por filas cuando satisface de manera estricta cuatro condiciones:

1. Si existen filas compuestas enteramente por ceros, deben ubicarse en la parte inferior de la matriz.
2. El primer elemento distinto de cero de cada fila no nula (llamado pivote o 1 principal) debe ser estrictamente igual a 1.
3. En filas no nulas consecutivas, el pivote de la fila inferior se ubica estrictamente a la derecha del pivote de la fila superior.
4. En cada columna que contiene un pivote, todos los demás elementos (tanto por arriba como por abajo de él) son ceros.

Para conducir la matriz aumentada hacia esta forma sin alterar el conjunto de soluciones del sistema original, aplicamos sucesivamente las tres operaciones elementales de fila:

• Intercambio de dos filas: \(F_i \leftrightarrow F_j\). Reemplazamos la posición de la fila \(i\) con la fila \(j\).
• Multiplicación por un escalar no nulo: \(F_i \to k \cdot F_i\) (con \(k \neq 0\)). Multiplicamos cada término de la fila \(i\) por el número constante \(k\).
• Suma de un múltiplo de otra fila: \(F_i \to F_i + k \cdot F_j\). Sustituimos la fila \(i\) por la suma de ella misma más la fila \(j\) multiplicada por el escalar \(k\).

La diferencia fundamental respecto a la eliminación gaussiana radica en dos exigencias: en la eliminación clásica los pivotes no necesitan ser iguales a 1 y únicamente se requiere generar ceros por debajo de ellos para luego despejar el sistema mediante sustitución hacia atrás; en cambio, en Gauss-Jordan es obligatorio anular tanto los elementos inferiores como los superiores a cada pivote y normalizar estos últimos a 1, eliminando cualquier paso de sustitución posterior.

Cómo aplicar el algoritmo paso a paso

Para transformar una matriz aumentada en su forma escalonada reducida por filas existen dos estrategias operativas. Aunque ambas conducen exactamente al mismo resultado matemático, el orden en el que se normalizan los pivotes influye de forma determinante en la complejidad de los cálculos cuando resolvemos ejercicios a mano.

Flujo óptimo para cálculo manual

La inmensa mayoría de las equivocaciones algebraicas en exámenes no provienen de no entender el método, sino de arrastrar sumas y restas de fracciones durante múltiples etapas consecutivas. Para evitar la aparición temprana de denominadores incómodos, resulta mucho más conveniente posponer la división de los pivotes hasta el último paso del desarrollo, organizando el trabajo en tres fases consecutivas:

1. Fase 1 (eliminación hacia adelante): nos posicionamos en la primera columna no nula y seleccionamos un pivote distinto de cero (podemos intercambiar filas si hace falta). Mediante operaciones de suma de múltiplos de filas, generamos ceros debajo de ese pivote. Repetimos este procedimiento de izquierda a derecha con cada submatriz restante hasta que la matriz alcance una estructura escalonada tradicional.
2. Fase 2 (eliminación hacia atrás): tomamos el pivote de la última fila no nula y, trabajando ahora de abajo hacia arriba y de derecha a izquierda, utilizamos dicho pivote para generar ceros en todas las posiciones ubicadas por encima de él. Repetimos este paso con los pivotes de las filas intermedias hasta dejar aislada cada posición pivote respecto a su columna.
3. Fase 3 (normalización final): dividimos cada fila entre su respectivo pivote (o multiplicamos por su inverso escalar). De este modo convertimos simultáneamente todos los pivotes en 1 sin haber manipulado fracciones en ninguna de las fases de eliminación previas.

Flujo canónico

En diversos libros de texto y cátedras se presenta el algoritmo en un orden inverso respecto a las divisiones: antes de generar los ceros en una columna, se divide obligatoriamente la fila completa entre el valor del pivote para forzar que valga 1. La secuencia se resume en los siguientes pasos:

1. Fase 1 (normalización del pivote): nos situamos en la fila y columna activa, elegimos un elemento no nulo y dividimos inmediatamente toda la fila entre ese valor numérico para convertirlo en un 1 principal.
2. Fase 2 (eliminación hacia adelante): usamos la fila normalizada para generar ceros en todas las posiciones situadas por debajo de ese 1 principal. Se repiten estas dos primeras fases columna tras columna hasta alcanzar la última fila no nula.
3. Fase 3 (eliminación hacia atrás): partiendo desde el último pivote hacia arriba, se anulan todos los elementos que se encuentren por encima de cada 1 principal.

A nivel computacional, muchos programas optan por eliminar simultáneamente los elementos de arriba y de abajo en cuanto se normaliza cada columna, ahorrando la necesidad de recorrer la matriz hacia atrás en una pasada posterior.

Sin embargo, en el cálculo manual, anular arriba y abajo al mismo tiempo tiene un inconveniente adicional: nos hace perder la visión temprana del tipo de sistema (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible), clasificación que en el flujo por etapas se identifica de inmediato apenas se completa la primera pasada hacia adelante.

Ejemplo del método

Para comprender cómo opera el algoritmo en la práctica mediante el flujo óptimo, resolvemos el siguiente sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Más adelante, en la sección de ejercicios resueltos, aplicaremos también el flujo canónico para cuando las pautas de una cátedra o examen requieran normalizar desde el comienzo.

$$\begin{cases} 2x + y - z = 0 \\ 4x + 5y + z = 6 \\ -2x + y + 2z = 1 \end{cases}$$

Escribimos la matriz aumentada del sistema agrupando los coeficientes de las variables y los términos independientes:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 4 & 5 & 1 & 6 \\ -2 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right]$$

Iniciamos la fase 1 (eliminación hacia adelante) trabajando en la primera columna. Tomamos como pivote el 2 de la primera fila y anulamos los elementos ubicados debajo de él.

Primero eliminamos el 4 de la segunda fila restando el doble de la primera fila. Simbólicamente: \(F_2 \to F_2 - 2F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 6 \\ -2 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right]$$

Ahora anulamos el número −2 de la tercera fila sumándole directamente la primera fila. Es decir: \(F_3 \to F_3 + F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & 3 & 6 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right]$$

Antes de pasar a la segunda columna, observamos que todos los números de la segunda fila son divisibles entre 3. Para reducir la magnitud de los números y simplificar los cálculos siguientes, dividimos la fila 2 entre 3: \(F_2 \to \frac{1}{3}F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \end{array}\right]$$

El segundo pivote es ahora el número 1 de la segunda fila. Eliminamos el 2 situado debajo de él en la tercera fila restándole el doble de la segunda. Esto es: \(F_3 \to F_3 - 2F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{array}\right]$$

La matriz ya se encuentra escalonada por filas. A diferencia de la eliminación gaussiana clásica (donde aquí comenzaríamos a despejar variables mediante sustitución), continuamos operando sobre la matriz para completar el método de Gauss-Jordan.

Iniciamos la fase 2 (eliminación hacia atrás) para anular los elementos situados por encima de los pivotes, recorriendo las filas de abajo hacia arriba. El tercer pivote es −1, ubicado en la tercera fila y tercera columna. Lo utilizamos para generar ceros en la tercera columna de las filas superiores.

Para anular el 1 de la segunda fila, le sumamos directamente la tercera fila. Simbólicamente: \(F_2 \to F_2 + F_3\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{array}\right]$$

Para anular el −1 de la primera fila, le restamos la tercera fila. En símbolos: \(F_1 \to F_1 - F_3\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{array}\right]$$

Subimos a la segunda fila, cuyo pivote es 1. Lo usamos para anular el 1 situado por encima de él en la primera fila restándole la segunda fila. Es decir: \(F_1 \to F_1 - F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -3 \end{array}\right]$$

Hemos obtenido ceros tanto por debajo como por encima de cada posición pivote. Concluimos con la fase 3 (normalización final), transformando los pivotes en 1 mediante divisiones directas en un único paso:

• Dividimos la fila 1 entre 2: \(F_1 \to \frac{1}{2}F_1\).
• Dividimos la fila 3 entre −1 (o multiplicamos por −1): \(F_3 \to -F_3\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]$$

La submatriz de coeficientes coincide ahora con la matriz identidad. Reconstruimos el sistema resultante para comprobar cómo se leen las soluciones de manera directa:

$$\begin{cases} 1x + 0y + 0z = 2 \implies x = 2 \\ 0x + 1y + 0z = -1 \implies y = -1 \\ 0x + 0y + 1z = 3 \implies z = 3 \end{cases}$$

El sistema cuenta con solución única: \(x = 2\), \(y = -1\), \(z = 3\). Corresponde a un sistema compatible determinado (SCD). Realizamos la verificación reemplazando los valores hallados en las tres ecuaciones originales:

$$\begin{cases} 2(2) + (-1) - (3) = 4 - 1 - 3 = 0 \\ 4(2) + 5(-1) + (3) = 8 - 5 + 3 = 6 \\ -2(2) + (-1) + 2(3) = -4 - 1 + 6 = 1 \end{cases}$$

Todas las igualdades se cumplen simultáneamente, lo que certifica la exactitud del resultado.

Tipos de soluciones en sistemas 3×3

Al aplicar el método de Gauss-Jordan a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, la forma escalonada reducida por filas revela de inmediato la naturaleza del conjunto solución. Las tres situaciones posibles que pueden presentarse al finalizar las operaciones matriciales se resumen en la siguiente tabla:

Tipo de sistema	Estructura de la matriz reducida	Interpretación algebraica	Interpretación geométrica (en R3)
Sistema compatible determinado (SCD)	$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & d_1 \\ 0 & 1 & 0 & d_2 \\ 0 & 0 & 1 & d_3 \end{array}\right]$$	Solución única. Cada variable queda completamente desacoplada con un valor numérico fijo: \(x = d_1\), \(y = d_2\), \(z = d_3\).	Los tres planos correspondientes a las ecuaciones se cortan en un único punto común del espacio tridimensional.
Sistema compatible indeterminado (SCI)	$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & c_1 & d_1 \\ 0 & 1 & c_2 & d_2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$$	Infinitas soluciones. Aparece al menos una fila nula \([0 \; 0 \; 0 \mid 0]\) que representa la identidad \(0 = 0\). La variable que carece de 1 principal actúa como variable libre (parámetro \(t\)).	Los tres planos coinciden en su totalidad o se intersecan a lo largo de una recta compartida en el espacio.
Sistema incompatible (SI)	$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & * & * & * \\ 0 & 1 & * & * \\ 0 & 0 & 0 & d \end{array}\right] \\~ \\ \text{ con } d \neq 0$$	Sin solución. Se produce una fila inconsistente de la forma \([0 \; 0 \; 0 \mid d]\), lo que equivale al absurdo matemático \(0 = d\).	Los tres planos no comparten ningún punto simultáneo en común (por ejemplo, planos paralelos disjuntos o intersecándose de a pares en rectas distintas).

En los sistemas compatibles indeterminados, el número de variables libres (o grados de libertad) equivale a la cantidad total de incógnitas menos la cantidad de pivotes o unos principales. A cada variable libre se le asigna un parámetro escalar perteneciente a los números reales (habitualmente \(r, s, t\)), lo que permite expresar el conjunto solución de forma paramétrica general.

Conviene resaltar que si durante la fase de eliminación hacia adelante surge una fila inconsistente del tipo \([0 \; 0 \; 0 \mid d]\) con \(d \neq 0\), el sistema queda diagnosticado de inmediato como incompatible. En ese caso no tiene sentido continuar con la fase hacia atrás ni con las normalizaciones, ya que el sistema carece por completo de solución.

Ejercicios resueltos

A continuación, resolvemos una serie de ejercicios aplicando el algoritmo de Gauss-Jordan a sistemas y matrices de distintos órdenes.

Sistemas de ecuaciones lineales 2×2

Los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas permiten consolidar la mecánica del método de Gauss-Jordan antes de abordar matrices de mayor dimensión.

Ejercicio 1

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales aplicando el método de Gauss-Jordan:

$$\begin{cases} 2x + 4y = 10 \\ 3x - y = 1 \end{cases}$$

Solución

Escribimos la matriz aumentada agrupando los coeficientes de las variables y los términos independientes:

$$\left[\begin{array}{cc|c} 2 & 4 & 10 \\ 3 & -1 & 1 \end{array}\right]$$

Siguiendo el flujo canónico, normalizamos de inmediato el pivote de la primera columna dividiendo la primera fila entre 2. Como todos sus coeficientes son números pares, esta división no genera fracciones. Simbólicamente: \(F_1 \to \frac{1}{2}F_1\).

$$\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 3 & -1 & 1 \end{array}\right]$$

Con el 1 principal ya establecido en la primera columna, anulamos el elemento inferior (el número 3 de la segunda fila) restándole el triple de la primera fila: \(F_2 \to F_2 - 3F_1\).

$$\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 0 & -7 & -14 \end{array}\right]$$

Pasamos a la segunda columna. Normalizamos su pivote dividiendo la segunda fila entre −7. Es decir: \(F_2 \to -\frac{1}{7}F_2\).

$$\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$$

Concluimos la reducción eliminando hacia atrás: usamos el 1 principal de la segunda fila para convertir en cero el número 2 ubicado arriba de él. Para lograrlo, a la primera fila le restamos el doble de la segunda. Esto es: \(F_1 \to F_1 - 2F_2\).

$$\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$$

La matriz se encuentra en su forma escalonada reducida por filas y exhibe la matriz identidad en el bloque de coeficientes. Leemos las soluciones directamente de la última columna:

$$\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$$

El sistema tiene solución única y se clasifica como un sistema compatible determinado (SCD). Para verificar el resultado, reemplazamos los valores obtenidos en las ecuaciones del sistema inicial:

$$\begin{cases} 2(1) + 4(2) = 2 + 8 = 10 \\ 3(1) - (2) = 3 - 2 = 1 \end{cases}$$

Ambas igualdades se cumplen simultáneamente.

Ejercicio 2

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando la eliminación de Gauss-Jordan:

$$\begin{cases} 2x + 5y = 3 \\ 4x + 3y = 1 \end{cases}$$

Solución

Escribimos la matriz aumentada correspondiente:

$$\left[\begin{array}{cc|c} 2 & 5 & 3 \\ 4 & 3 & 1 \end{array}\right]$$

Si dividiéramos la primera fila entre 2 al inicio, introduciríamos fracciones de inmediato (\(\frac{5}{2}\) y \(\frac{3}{2}\)). Para evitar operar con denominadores en los pasos intermedios, aplicamos el flujo óptimo: primero diagonalizamos con combinaciones enteras y posponemos la normalización hasta el final.

Iniciamos la fase 1 (eliminación hacia adelante) tomando el 2 como pivote. Anulamos el 4 de la segunda fila restándole el doble de la primera fila. Simbólicamente: \(F_2 \to F_2 - 2F_1\).

$$\left[\begin{array}{cc|c} 2 & 5 & 3 \\ 0 & -7 & -5 \end{array}\right]$$

Iniciamos la fase 2 (eliminación hacia atrás). El segundo pivote es −7. Para anular el 5 de la primera fila sin introducir fracciones, recurrimos a una combinación lineal cruzada: multiplicamos la fila 1 por 7 y le sumamos 5 veces la fila 2: \(F_1 \to 7F_1 + 5F_2\).

Realizamos el cálculo de cada término:

• Primera columna: \(7(2) + 5(0) = 14 + 0 = 14\)
• Segunda columna: \(7(5) + 5(-7) = 35 - 35 = 0\)
• Término independiente: \(7(3) + 5(-5) = 21 - 25 = -4\)

Sustituimos la fila 1 por este resultado:

$$\left[\begin{array}{cc|c} 14 & 0 & -4 \\ 0 & -7 & -5 \end{array}\right]$$

Con la submatriz ya diagonalizada, completamos la fase 3 (normalización final) dividiendo cada fila entre su respectivo pivote:

• Dividimos la fila 1 entre 14: \(F_1 \to \frac{1}{14}F_1\)
• Dividimos la fila 2 entre −7: \(F_2 \to -\frac{1}{7}F_2\)

$$\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & -\frac{4}{14} \\\\ 0 & 1 & \frac{5}{7} \end{array}\right]$$

Simplificamos la fracción de la primera fila dividiendo numerador y denominador entre 2:

$$\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & -\frac{2}{7} \\\\ 0 & 1 & \frac{5}{7} \end{array}\right]$$

Obtenemos la solución única de forma directa:

$$x = -\dfrac{2}{7}, \quad y = \dfrac{5}{7}$$

Se trata de un sistema compatible determinado (SCD) con soluciones fraccionarias. Comprobamos la validez de los resultados sustituyéndolos en las ecuaciones originales:

$$\begin{cases} 2\left(-\dfrac{2}{7}\right) + 5\left(\dfrac{5}{7}\right) = -\dfrac{4}{7} + \dfrac{25}{7} = \dfrac{21}{7} = 3 \\\\ 4\left(-\dfrac{2}{7}\right) + 3\left(\dfrac{5}{7}\right) = -\dfrac{8}{7} + \dfrac{15}{7} = \dfrac{7}{7} = 1 \end{cases}$$

Las dos expresiones coinciden con los términos independientes del sistema inicial.

Ejercicio 3

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales aplicando el método de Gauss-Jordan:

$$\begin{cases} 2x - 6y = 4 \\ -x + 3y = -2 \end{cases}$$

Solución

Escribimos la matriz aumentada:

$$\left[\begin{array}{cc|c} 2 & -6 & 4 \\ -1 & 3 & -2 \end{array}\right]$$

Observamos que todos los coeficientes de la primera fila son números pares. Dividimos la fila 1 entre 2 para obtener un 1 principal en la posición inicial. Simbólicamente: \(F_1 \to \frac{1}{2}F_1\).

$$\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -3 & 2 \\ -1 & 3 & -2 \end{array}\right]$$

Para anular el −1 de la segunda fila, le sumamos directamente la primera fila. Simbólicamente: \(F_2 \to F_2 + F_1\).

$$\left[\begin{array}{cc|c} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$$

La segunda fila se anula por completo, lo que traduce la identidad verdadera \(0 = 0\). Esta circunstancia indica que la segunda ecuación original era una combinación lineal de la primera y no aportaba información restrictiva adicional.

La matriz ya se encuentra en su forma escalonada reducida por filas. Identificamos los elementos pivote:

• La primera columna contiene un 1 principal asociado a la incógnita x (variable pivote).
• La segunda columna carece de pivote, lo que convierte a la incógnita y en una variable libre.

Asignamos a la variable libre un parámetro real \(t \in \mathbb{R}\):

$$y = t$$

Reconstruimos la ecuación de la primera fila para despejar x en función de dicho parámetro:

$$x - 3y = 2 \implies x = 2 + 3t$$

El sistema cuenta con un número infinito de soluciones y se clasifica como un sistema compatible indeterminado (SCI) con un grado de libertad. El conjunto solución se expresa formalmente como:

$$\text{Solución} = \left\{(2 + 3t, \; t) \mid t \in \mathbb{R}\right\}$$

Sistemas de ecuaciones lineales 3×3

Los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas constituyen el caso más recurrente en evaluaciones. A lo largo de los siguientes ejercicios resolvemos situaciones que abarcan desde manipulaciones de filas estratégicas hasta sistemas indeterminados e inconsistentes.

Ejercicio 4

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss-Jordan:

$$\begin{cases} 3x + y - z = -2 \\ x - 2y + z = 8 \\ 2x + 3y + z = -1 \end{cases}$$

Solución

Construimos la matriz aumentada asociada al sistema:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 1 & -1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 & 8 \\ 2 & 3 & 1 & -1 \end{array}\right]$$

Aprovechamos que la segunda fila tiene un 1 en la primera posición e intercambiamos ambas filas: \(F_1 \leftrightarrow F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 8 \\ 3 & 1 & -1 & -2 \\ 2 & 3 & 1 & -1 \end{array}\right]$$

Iniciamos la eliminación hacia adelante para anular los elementos debajo del 1 principal:

• A la fila 2 le restamos el triple de la fila 1: \(F_2 \to F_2 - 3F_1\).
• A la fila 3 le restamos el doble de la fila 1: \(F_3 \to F_3 - 2F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 8 \\ 0 & 7 & -4 & -26 \\ 0 & 7 & -1 & -17 \end{array}\right]$$

Pasamos a la segunda columna. Como la tercera fila contiene exactamente el mismo coeficiente 7 en esa posición, eliminamos el término inferior restándole la segunda fila: \(F_3 \to F_3 - F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 8 \\ 0 & 7 & -4 & -26 \\ 0 & 0 & 3 & 9 \end{array}\right]$$

Observamos que todos los coeficientes de la tercera fila son múltiplos de 3, por lo que simplificamos dividiendo la fila entre 3: \(F_3 \to \frac{1}{3}F_3\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 8 \\ 0 & 7 & -4 & -26 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]$$

Iniciamos la fase hacia atrás utilizando el 1 de la tercera fila para anular los coeficientes ubicados sobre él en la tercera columna:

• A la fila 2 le sumamos 4 veces la fila 3: \(F_2 \to F_2 + 4F_3\).
• A la fila 1 le restamos la fila 3: \(F_1 \to F_1 - F_3\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 0 & 5 \\ 0 & 7 & 0 & -14 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]$$

Simplificamos la segunda fila dividiéndola entre 7: \(F_2 \to \frac{1}{7}F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]$$

Por último, anulamos el −2 de la primera fila sumándole el doble de la segunda: \(F_1 \to F_1 + 2F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]$$

La matriz reducida muestra la matriz identidad, de donde leemos de inmediato la solución:

$$x = 1, \quad y = -2, \quad z = 3$$

El sistema es un sistema compatible determinado (SCD).

Ejercicio 5

Hallar las soluciones del siguiente sistema lineal aplicando transformaciones de Gauss-Jordan:

$$\begin{cases} 2x - 3z = 7 \\ x + 2y + z = 3 \\ 3x - 4y = 2 \end{cases}$$

Solución

Al estructurar la matriz aumentada, colocamos un 0 en las posiciones donde las incógnitas no aparecen explícitamente en la ecuación respectiva:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & -3 & 7 \\ 1 & 2 & 1 & 3 \\ 3 & -4 & 0 & 2 \end{array}\right]$$

Intercambiamos la primera fila con la segunda para posicionar el 1 como pivote principal: \(F_1 \leftrightarrow F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & -3 & 7 \\ 3 & -4 & 0 & 2 \end{array}\right]$$

Generamos ceros en la primera columna debajo del pivote:

• A la fila 2 le restamos el doble de la fila 1: \(F_2 \to F_2 - 2F_1\).
• A la fila 3 le restamos el triple de la fila 1: \(F_3 \to F_3 - 3F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & -4 & -5 & 1 \\ 0 & -10 & -3 & -7 \end{array}\right]$$

Para anular el elemento −10 de la tercera fila sin recurrir a fracciones, realizamos una combinación lineal con coeficientes cruzados: a 2 veces la fila 3 le restamos 5 veces la fila 2, esto es, \(F_3 \to 2F_3 - 5F_2\).

Calculamos los términos de la nueva fila 3:

• Segunda columna: \(2(-10) - 5(-4) = -20 + 20 = 0\)
• Tercera columna: \(2(-3) - 5(-5) = -6 + 25 = 19\)
• Término independiente: \(2(-7) - 5(1) = -14 - 5 = -19\)

Sustituimos el resultado en la matriz:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & -4 & -5 & 1 \\ 0 & 0 & 19 & -19 \end{array}\right]$$

Dividimos la tercera fila entre 19: \(F_3 \to \frac{1}{19}F_3\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & -4 & -5 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right]$$

Iniciamos la fase hacia atrás con el pivote de la tercera fila para limpiar la tercera columna:

• A la fila 2 le sumamos 5 veces la fila 3: \(F_2 \to F_2 + 5F_3\).
• A la fila 1 le restamos la fila 3: \(F_1 \to F_1 - F_3\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & -4 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right]$$

Dividimos la segunda fila entre −4 para normalizar su pivote: \(F_2 \to -\frac{1}{4}F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right]$$

Por último, eliminamos el 2 de la primera fila restándole el doble de la segunda: \(F_1 \to F_1 - 2F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{array}\right]$$

El sistema es compatible determinado y su solución única es:

$$x = 2, \quad y = 1, \quad z = -1$$

Ejercicio 6

Determinar la solución del siguiente sistema lineal con coeficientes fraccionarios:

$$\begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} - \dfrac{z}{6} = 1 \\[2ex] x - \dfrac{y}{2} + z = \dfrac{7}{2} \\[2ex] \dfrac{x}{4} + y - \dfrac{z}{2} = \dfrac{1}{2} \end{cases}$$

Solución

En lugar de armar la matriz con fracciones, transformamos previamente cada ecuación multiplicándola por el mínimo común múltiplo (mcm) de sus respectivos denominadores:

• Primera ecuación: multiplicamos por \(\text{mcm}(2, 3, 6) = 6 \implies 3x + 2y - z = 6\).
• Segunda ecuación: multiplicamos por \(\text{mcm}(1, 2) = 2 \implies 2x - y + 2z = 7\).
• Tercera ecuación: multiplicamos por \(\text{mcm}(4, 1, 2) = 4 \implies x + 4y - 2z = 2\).

Con las tres ecuaciones expresadas exclusivamente en números enteros, formamos la matriz aumentada:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -1 & 6 \\ 2 & -1 & 2 & 7 \\ 1 & 4 & -2 & 2 \end{array}\right]$$

Intercambiamos la primera fila con la tercera para situar el 1 como pivote: \(F_1 \leftrightarrow F_3\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 & 7 \\ 3 & 2 & -1 & 6 \end{array}\right]$$

Eliminamos los coeficientes inferiores de la primera columna:

• A la fila 2 le restamos el doble de la fila 1: \(F_2 \to F_2 - 2F_1\).
• A la fila 3 le restamos el triple de la fila 1: \(F_3 \to F_3 - 3F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -2 & 2 \\ 0 & -9 & 6 & 3 \\ 0 & -10 & 5 & 0 \end{array}\right]$$

Ambas filas intermedias admiten simplificación directa por factores comunes:

• Dividimos la fila 2 entre −3: \(F_2 \to -\frac{1}{3}F_2\).
• Dividimos la fila 3 entre −5: \(F_3 \to -\frac{1}{5}F_3\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -2 & 2 \\ 0 & 3 & -2 & -1 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right]$$

Para anular el 2 de la tercera fila sin generar fracciones, a 3 veces la fila 3 le restamos 2 veces la fila 2: \(F_3 \to 3F_3 - 2F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & -2 & 2 \\ 0 & 3 & -2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$$

Con la matriz ya escalonada, iniciamos la eliminación hacia atrás a partir del pivote 1 de la tercera fila:

• A la fila 2 le sumamos el doble de la fila 3: \(F_2 \to F_2 + 2F_3\).
• A la fila 1 le sumamos el doble de la fila 3: \(F_1 \to F_1 + 2F_3\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 0 & 6 \\ 0 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$$

Dividimos la segunda fila entre 3: \(F_2 \to \frac{1}{3}F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 0 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$$

Restamos a la primera fila 4 veces la segunda: \(F_1 \to F_1 - 4F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$$

La solución única del sistema es:

$$x = 2, \quad y = 1, \quad z = 2$$

Ejercicio 7

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones mediante eliminación matricial de Gauss-Jordan:

$$\begin{cases} 2x + 2y + z = 0 \\ 4x - 2y - z = 3 \\ 2x + 4y - 3z = -11 \end{cases}$$

Solución

Escribimos la matriz aumentada correspondiente:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -1 & 3 \\ 2 & 4 & -3 & -11 \end{array}\right]$$

Iniciamos la fase hacia adelante tomando el 2 de la primera fila como pivote:

• A la fila 2 le restamos el doble de la fila 1: \(F_2 \to F_2 - 2F_1\).
• A la fila 3 le restamos la fila 1: \(F_3 \to F_3 - F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -6 & -3 & 3 \\ 0 & 2 & -4 & -11 \end{array}\right]$$

Dividimos la segunda fila entre −3 para simplificar sus términos: \(F_2 \to -\frac{1}{3}F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -4 & -11 \end{array}\right]$$

Anulamos el 2 de la tercera fila restándole la segunda fila: \(F_3 \to F_3 - F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -5 & -10 \end{array}\right]$$

Dividimos la tercera fila entre −5: \(F_3 \to -\frac{1}{5}F_3\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$$

Procedemos a eliminar hacia atrás tomando el 1 de la tercera fila:

• A la fila 2 le restamos la fila 3: \(F_2 \to F_2 - F_3\).
• A la fila 1 le restamos la fila 3: \(F_1 \to F_1 - F_3\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 2 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$$

Anulamos el 2 de la primera fila restándole la segunda fila: \(F_1 \to F_1 - F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$$

Con la matriz ya diagonalizada, completamos la normalización final dividiendo la fila 1 y la fila 2 entre 2:

• \(F_1 \to \frac{1}{2}F_1\)
• \(F_2 \to \frac{1}{2}F_2\)

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\\\ 0 & 1 & 0 & -\frac{3}{2} \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$$

Las fracciones resultantes se obtienen de forma limpia en el último paso sin haber acarreado operaciones complejas intermedias:

$$x = \dfrac{1}{2}, \quad y = -\dfrac{3}{2}, \quad z = 2$$

Ejercicio 8

Analizar y resolver el siguiente sistema lineal aplicando el método de Gauss-Jordan:

$$\begin{cases} x - y + 2z = 3 \\ 2x + y + z = 3 \\ x + 2y - z = 0 \end{cases}$$

Solución

Escribimos la matriz aumentada:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right]$$

El primer pivote ya es 1. Generamos ceros debajo de él:

• A la fila 2 le restamos el doble de la fila 1: \(F_2 \to F_2 - 2F_1\).
• A la fila 3 le restamos la fila 1: \(F_3 \to F_3 - F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -3 & -3 \\ 0 & 3 & -3 & -3 \end{array}\right]$$

Dividimos la segunda fila entre 3: \(F_2 \to \frac{1}{3}F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 3 & -3 & -3 \end{array}\right]$$

A la tercera fila le restamos el triple de la segunda: \(F_3 \to F_3 - 3F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$$

La tercera fila se anula por completo (\(0 = 0\)). Aunque no hay tercer pivote, debemos completar la reducción hacia atrás sobre las filas no nulas: anulamos el −1 de la primera fila sumándole la segunda fila, esto es, \(F_1 \to F_1 + F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$$

La matriz se encuentra en su forma escalonada reducida por filas:

• Las columnas 1 y 2 poseen unos principales asociados a las variables pivote x e y.
• La columna 3 carece de pivote, por lo que z actúa como variable libre.

Asignamos a la variable libre el parámetro real \(t \in \mathbb{R}\):

$$z = t$$

Reconstruimos las ecuaciones despejando las variables pivote:

$$\begin{cases} x + z = 2 \implies x = 2 - t \\ y - z = -1 \implies y = -1 + t \end{cases}$$

El sistema es un sistema compatible indeterminado (SCI) con un grado de libertad. Expresamos el conjunto solución como:

$$\text{Solución} = \left\{(2 - t, \; -1 + t, \; t) \mid t \in \mathbb{R}\right\}$$

Ejercicio 9

Resolver y clasificar el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ 2x - y + 3z = 1 \\ 3x + y + 2z = 5 \end{cases}$$

Solución

Escribimos la matriz aumentada:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 5 \end{array}\right]$$

Anulamos los términos inferiores de la primera columna:

• A la fila 2 le restamos el doble de la fila 1: \(F_2 \to F_2 - 2F_1\).
• A la fila 3 le restamos el triple de la fila 1: \(F_3 \to F_3 - 3F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & -5 & 5 & -3 \\ 0 & -5 & 5 & -1 \end{array}\right]$$

Para anular el coeficiente de la segunda columna en la fila 3, le restamos la fila 2: \(F_3 \to F_3 - F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & -5 & 5 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right]$$

Al analizar la tercera fila resultante observamos la estructura \([0 \; 0 \; 0 \mid 2]\), la cual representa la ecuación:

$$0x + 0y + 0z = 2 \implies 0 = 2$$

Esta afirmación es una contradicción lógica imposible de satisfacer para cualquier valor de las incógnitas. Por lo tanto, no es necesario continuar con las fases restantes del método: el sistema carece de solución y se clasifica como un sistema incompatible (SI).

Sistemas de ecuaciones de otros órdenes y rectangulares

El algoritmo de Gauss-Jordan mantiene la misma estructura operativa independientemente del número de filas y columnas. A continuación analizamos sistemas con diferente número de ecuaciones e incógnitas, sistemas de orden superior y la reducción de matrices sin un sistema algebraico asociado.

Ejercicio 10

Resolver el siguiente sistema lineal aplicando el método de Gauss-Jordan:

$$\begin{cases} x + 2y - z + 3w = 4 \\ 2x + 4y - z + 5w = 7 \end{cases}$$

Solución

Escribimos la matriz aumentada correspondiente al sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas:

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & -1 & 5 & 7 \end{array}\right]$$

El primer pivote es el 1 de la fila 1. Eliminamos el coeficiente inferior restando el doble de la primera fila a la segunda: \(F_2 \to F_2 - 2F_1\).

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \end{array}\right]$$

Observamos que en la segunda columna se generó un cero, por lo que el siguiente pivote no se encuentra en ella sino en la tercera columna, con valor 1. Procedemos con la eliminación hacia atrás para anular el elemento ubicado por encima de este segundo pivote: sumamos la fila 2 a la fila 1, esto es, \(F_1 \to F_1 + F_2\).

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \end{array}\right]$$

La matriz ya se encuentra en su forma escalonada reducida por filas. Al analizar las posiciones pivote:

• Las columnas 1 y 3 poseen unos principales; por tanto, x y z son las variables pivote.
• Las columnas 2 y 4 no contienen pivotes, lo que convierte a y y w en variables libres.

Como hay 4 incógnitas y 2 pivotes, el sistema posee \(4 - 2 = 2\) grados de libertad. Asignamos los parámetros reales \(r, s \in \mathbb{R}\) a las variables libres:

$$y = r, \quad w = s$$

Despejamos las variables principales a partir de las ecuaciones resultantes:

$$\begin{cases} x + 2y + 2w = 3 \implies x = 3 - 2r - 2s \\ z - w = -1 \implies z = -1 + s \end{cases}$$

El sistema cuenta con infinitas soluciones y se clasifica como un sistema compatible indeterminado (SCI) con dos parámetros. El conjunto solución se define como:

$$\text{Solución} = \left\{(3 - 2r - 2s, \; r, \; -1 + s, \; s) \mid r, s \in \mathbb{R}\right\}$$

Ejercicio 11

Determinar el conjunto solución del siguiente sistema lineal:

$$\begin{cases} x + 2y = 1 \\ 2x - y = 7 \\ 3x + y = 8 \end{cases}$$

Solución

Escribimos la matriz aumentada asociada al sistema, que cuenta con tres ecuaciones y dos incógnitas:

$$\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 7 \\ 3 & 1 & 8 \end{array}\right]$$

El elemento pivote inicial es 1. Anulamos los términos inferiores de la primera columna:

• A la fila 2 le restamos el doble de la fila 1: \(F_2 \to F_2 - 2F_1\).
• A la fila 3 le restamos el triple de la fila 1: \(F_3 \to F_3 - 3F_1\).

$$\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -5 & 5 \\ 0 & -5 & 5 \end{array}\right]$$

Dividimos la segunda fila entre −5: \(F_2 \to -\frac{1}{5}F_2\).

$$\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & -5 & 5 \end{array}\right]$$

Para anular el −5 de la tercera fila, le sumamos 5 veces la segunda fila: \(F_3 \to F_3 + 5F_2\).

$$\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$$

Completamos la fase hacia atrás eliminando el 2 de la primera fila: le restamos el doble de la segunda fila, o sea, \(F_1 \to F_1 - 2F_2\).

$$\left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$$

Al analizar la matriz reducida, la última fila se anuló por completo (\(0 = 0\)), lo que confirma que la tercera ecuación original era una combinación lineal de las dos primeras y no introduce inconsistencias. Dado que cada una de las dos variables posee un 1 principal y no quedan variables libres, el sistema tiene solución única y se clasifica como un sistema compatible determinado (SCD):

$$x = 3, \quad y = -1$$

Ejercicio 12

Resolver el siguiente sistema de 4 ecuaciones lineales con 4 incógnitas:

$$\begin{cases} x + y + z + w = 5 \\ 2x - y + z - w = 2 \\ -x + 2y + 2z + w = 4 \\ 3x + y - z + 2w = 6 \end{cases}$$

Solución

Construimos la matriz aumentada de dimensión 4×5:

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 5 \\ 2 & -1 & 1 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & -1 & 2 & 6 \end{array}\right]$$

Generamos ceros en la primera columna por debajo del pivote 1:

• \(F_2 \to F_2 - 2F_1\)
• \(F_3 \to F_3 + F_1\)
• \(F_4 \to F_4 - 3F_1\)

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & -3 & -1 & -3 & -8 \\ 0 & 3 & 3 & 2 & 9 \\ 0 & -2 & -4 & -1 & -9 \end{array}\right]$$

Pasamos a la segunda columna. Anulamos los elementos inferiores a través de combinaciones con la fila 2:

• Sumamos la fila 2 a la fila 3: \(F_3 \to F_3 + F_2\).
• A 3 veces la fila 4 le restamos 2 veces la fila 2: \(F_4 \to 3F_4 - 2F_2\).

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & -3 & -1 & -3 & -8 \\ 0 & 0 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -10 & 3 & -11 \end{array}\right]$$

Trabajamos sobre la tercera columna tomando el 2 de la tercera fila. Para anular el −10, a la fila 4 le sumamos 5 veces la fila 3: \(F_4 \to F_4 + 5F_3\).

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & -3 & -1 & -3 & -8 \\ 0 & 0 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & -6 \end{array}\right]$$

Normalizamos la cuarta fila dividiéndola entre −2: \(F_4 \to -\frac{1}{2}F_4\).

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & -3 & -1 & -3 & -8 \\ 0 & 0 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]$$

Iniciamos la eliminación hacia atrás usando el 1 de la cuarta fila para limpiar la cuarta columna:

• \(F_3 \to F_3 + F_4\)
• \(F_2 \to F_2 + 3F_4\)
• \(F_1 \to F_1 - F_4\)

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]$$

Dividimos la fila 3 entre 2: \(F_3 \to \frac{1}{2}F_3\).

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & -3 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]$$

Usamos el pivote de la tercera fila para limpiar la tercera columna:

• A la fila 2 le sumamos la fila 3: \(F_2 \to F_2 + F_3\).
• A la fila 1 le restamos la fila 3: \(F_1 \to F_1 - F_3\).

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]$$

Dividimos la segunda fila entre −3: \(F_2 \to -\frac{1}{3}F_2\).

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]$$

Concluimos restando la segunda fila a la primera: \(F_1 \to F_1 - F_2\).

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right]$$

El sistema es compatible determinado y sus valores se leen directamente:

$$x = 1, \quad y = -1, \quad z = 2, \quad w = 3$$

Ejercicio 13

Hallar la forma escalonada reducida por filas de la siguiente matriz:

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & -4 & 7 & 3 \\ -1 & 2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$

Solución

El primer pivote se ubica en la posición (1, 1) y vale 1. Anulamos los elementos inferiores en la primera columna:

• \(F_2 \to F_2 - 2F_1\)
• \(F_3 \to F_3 + F_1\)

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{pmatrix}$$

Al pasar a la siguiente etapa, notamos que en la segunda columna todos los términos por debajo de la primera fila son ceros. Por consiguiente, nos desplazamos a la tercera columna, donde el pivote es el 1 de la segunda fila. Eliminamos el 2 inferior restando el doble de la segunda fila a la tercera: \(F_3 \to F_3 - 2F_2\).

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Normalizamos el último pivote dividiendo la tercera fila entre 2: \(F_3 \to \frac{1}{2}F_3\).

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Iniciamos la eliminación hacia atrás para anular las posiciones superiores de la cuarta columna:

• A la fila 2 le restamos la fila 3: \(F_2 \to F_2 - F_3\).
• A la fila 1 le restamos la fila 3: \(F_1 \to F_1 - F_3\).

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Por último, usamos el pivote de la tercera columna para anular el 3 de la primera fila: \(F_1 \to F_1 - 3F_2\).

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

La matriz se encuentra en su forma escalonada reducida por filas. Las columnas con pivote son la 1, la 3 y la 4, mientras que la columna 2 carece de 1 principal.

Ejercicio 14

Dada la siguiente matriz ampliada construida con la matriz de coeficientes a la izquierda y la matriz identidad a la derecha, aplicar operaciones de fila hasta obtener la matriz identidad en el bloque izquierdo:

$$\left[\begin{array}{cc|cc} 2 & 5 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 1 \end{array}\right]$$

Solución

Intercambiamos las filas para disponer de un 1 principal en la posición superior izquierda: \(F_1 \leftrightarrow F_2\).

$$\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 3 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & 1 & 0 \end{array}\right]$$

Anulamos el 2 de la segunda fila restándole el doble de la primera: \(F_2 \to F_2 - 2F_1\).

$$\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & -2 \end{array}\right]$$

Multiplicamos la segunda fila por −1 para que su pivote sea positivo: \(F_2 \to -F_2\).

$$\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right]$$

Eliminamos el 3 de la primera fila restándole el triple de la segunda fila: \(F_1 \to F_1 - 3F_2\).

$$\left[\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 3 & -5 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right]$$

El bloque izquierdo se transformó en la matriz identidad. La matriz obtenida en el bloque derecho, \(\begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\), representa exactamente la matriz inversa de la matriz original \(\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\). Esta propiedad constituye una de las aplicaciones más potentes del método de Gauss-Jordan.

Aplicaciones del método de Gauss-Jordan

Aunque el método de Gauss-Jordan se utiliza principalmente para encontrar los valores numéricos de un sistema de ecuaciones lineales, su capacidad para transformar una matriz hasta la identidad permite resolver otros problemas matriciales de gran utilidad práctica.

Cálculo de la matriz inversa

En el álgebra elemental, si tenemos una ecuación simple como \(2x = 6\), podemos despejar la incógnita multiplicando ambos lados por el inverso multiplicativo de 2 (es decir, \(\frac{1}{2}\)), obteniendo \(x = 3\). En el álgebra matricial ocurre una idea similar: un sistema completo de ecuaciones lineales puede comprimirse en la forma matricial \(A \cdot X = B\), donde \(A\) agrupa los coeficientes, \(X\) contiene las incógnitas y \(B\) representa los términos independientes.

Si logramos encontrar una matriz especial llamada matriz inversa (denotada como \(A^{-1}\)), podemos multiplicar ambos lados de la igualdad para despejar directamente las soluciones: \(X = A^{-1} \cdot B\). El algoritmo de Gauss-Jordan proporciona el procedimiento estándar para calcularla sin necesidad de fórmulas complejas con determinantes y adjuntas.

El procedimiento consiste en colocar la matriz original \(A\) a la izquierda y la matriz identidad \(I\) del mismo tamaño a la derecha, separadas por una línea. Luego aplicamos operaciones elementales por filas hasta que la matriz identidad quede a la izquierda; cuando esto ocurre, la matriz que se forma a la derecha es automáticamente la matriz inversa:

$$[A \mid I] \longrightarrow [I \mid A^{-1}]$$

Si durante el proceso de escalonamiento de la parte izquierda aparece una fila completa de ceros, significa que la matriz no puede convertirse en la identidad y, por lo tanto, no tiene matriz inversa (se denomina matriz singular).

Para ver cómo se aplica este procedimiento en un caso tridimensional, calculamos la matriz inversa de la siguiente matriz \(3 \times 3\):

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & -1 & 3 \\ 4 & 1 & 8 \end{pmatrix}$$

Construimos la matriz aumentada colocando la matriz identidad de orden 3 a la derecha:

$$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 8 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]$$

El primer pivote es el 1 superior izquierdo. Anulamos los elementos inferiores de la primera columna:

• A la fila 2 le restamos el doble de la fila 1: \(F_2 \to F_2 - 2F_1\).
• A la fila 3 le restamos 4 veces la fila 1: \(F_3 \to F_3 - 4F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \end{array}\right]$$

Para obtener un 1 positivo como segundo pivote sin tener que cambiar signos término a término, intercambiamos la fila 2 con la fila 3: \(F_2 \leftrightarrow F_3\).

$$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 & -2 & 1 & 0 \end{array}\right]$$

Anulamos el −1 situado en la segunda columna de la tercera fila sumándole la segunda fila: \(F_3 \to F_3 + F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -6 & 1 & 1 \end{array}\right]$$

Multiplicamos la tercera fila por −1 para normalizar el tercer pivote a 1: \(F_3 \to -F_3\).

$$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 6 & -1 & -1 \end{array}\right]$$

Iniciamos la fase hacia atrás para limpiar los elementos por encima de este último pivote. La fila 2 ya tiene un cero en esa columna, de modo que solo debemos anular el 2 de la primera fila restándole el doble de la tercera: \(F_1 \to F_1 - 2F_3\).

$$\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -11 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 6 & -1 & -1 \end{array}\right]$$

Como la matriz identidad quedó completamente armada a la izquierda, la matriz ubicada en el bloque derecho es la matriz inversa buscada:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix} -11 & 2 & 2 \\ -4 & 0 & 1 \\ 6 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$

Si ahora tuviéramos un sistema con estos coeficientes y cualquier conjunto de términos independientes, bastaría multiplicar esta matriz inversa por esos números para hallar inmediatamente los valores de \(x\), \(y\) y \(z\).

Resolución simultánea de múltiples sistemas

En aplicaciones de física, economía o ingeniería es frecuente encontrarse con situaciones donde las ecuaciones estructurales de un problema no cambian (los coeficientes de las incógnitas son siempre los mismos), pero los resultados medidos o requerimientos externos van variando a lo largo del tiempo.

En lugar de resolver el sistema desde cero cada vez que cambian los números de la derecha, Gauss-Jordan permite resolver todos los casos en una única pasada matricial. Para lograrlo, colocamos la matriz común de coeficientes a la izquierda y agregamos a la derecha tantas columnas de términos independientes como sistemas queramos resolver al mismo tiempo:

$$\left[\begin{array}{c|ccc} A & B_1 & B_2 & B_3 \end{array}\right] \longrightarrow \left[\begin{array}{c|ccc} I & X_1 & X_2 & X_3 \end{array}\right]$$

Al aplicar las operaciones elementales hasta llevar la parte izquierda a la matriz identidad, cada columna de la derecha se transforma por sí sola en la solución correspondiente a su respectivo caso, ahorrando una enorme cantidad de cálculos repetitivos.

Otras aplicaciones y alternativas más eficientes

En los cursos de álgebra lineal se suele mencionar que el método de Gauss-Jordan también puede emplearse para otras dos tareas comunes: calcular el rango de una matriz y calcular su determinante. No obstante, en ambos casos conviene conocer cuál es la alternativa más conveniente en la práctica:

• Cálculo del rango de una matriz: el rango equivale a la cantidad de filas no nulas que quedan luego de escalonar. Para conocer este dato basta con realizar la primera fase (la eliminación gaussiana clásica hacia adelante); continuar haciendo operaciones hacia atrás para generar ceros por arriba y convertir los pivotes en 1 no altera el número de filas no nulas y solo añade trabajo innecesario.
• Cálculo de determinantes: aunque es posible calcular determinantes mediante operaciones elementales, cada intercambio de filas cambia el signo del determinante y cada multiplicación o división de una fila por un número altera su valor total. Llevar el registro de todos estos cambios mientras se busca forzar la matriz identidad en Gauss-Jordan es poco práctico y propenso a equivocaciones; para este fin, la eliminación gaussiana simple es claramente superior, ya que al llegar a la forma triangular superior el determinante se obtiene multiplicando directamente los elementos de su diagonal principal.