Eliminación gaussiana

El método de eliminación gaussiana es un algoritmo del álgebra lineal diseñado para resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante transformaciones sucesivas en matrices equivalentes. El procedimiento debe su nombre al matemático alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855), quien sistematizó su aplicación para facilitar el cálculo astronómico y geodésico, aunque principios similares ya se utilizaban en antiguos textos matemáticos chinos.

Para aplicar el método, representamos el sistema de ecuaciones lineales en forma matricial agrupando sus coeficientes y términos independientes en una matriz aumentada. Por ejemplo, dado un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

$$\begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{cases}$$

Construimos su correspondiente matriz aumentada separando los coeficientes de las variables respecto a los términos independientes mediante una línea vertical:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \end{array}\right]$$

El objetivo del algoritmo consiste en transformar esta matriz en una matriz escalonada por filas. Una matriz se considera escalonada cuando cumple las siguientes tres condiciones:

1. Las filas compuestas en su totalidad por ceros, en caso de haberlas, se sitúan en la parte inferior de la matriz.
2. En cada fila no nula, el primer número distinto de cero (llamado pivote) se ubica estrictamente a la derecha del pivote de la fila anterior.
3. Todos los elementos situados por debajo de cada pivote son ceros.

Conviene señalar que, dentro de la eliminación gaussiana clásica, no es obligatorio que los pivotes sean iguales a 1. Algunos autores exigen normalizar cada fila dividiéndola por su pivote, pero forzar esa condición en cálculos manuales introduce fracciones tempranas que complican las operaciones algebraicas innecesariamente. Dado que el paso final consiste en realizar sustitución hacia atrás mediante ecuaciones simples, conservar pivotes enteros distintos de cero agiliza el trabajo y reduce drásticamente los errores de cálculo.

Para alcanzar la forma escalonada sin alterar el conjunto de soluciones del sistema, podemos aplicar tres operaciones elementales de fila:

• Intercambio de dos filas: \(F_i \leftrightarrow F_j\). En palabras: intercambiamos la fila \(i\) con la fila \(j\).
• Multiplicación por un escalar no nulo: \(F_i \to k \cdot F_i\) (con \(k \neq 0\)). En palabras: a la fila \(i\) la sustituimos por el resultado de multiplicarla por el número \(k\).
• Suma de un múltiplo de otra fila: \(F_i \to F_i + k \cdot F_j\). En palabras: a la fila \(i\) le sumamos la fila \(j\) multiplicada por el escalar \(k\). La fila escrita a la izquierda de la flecha es siempre la que cambia.

El algoritmo completo se divide en dos grandes etapas consecutivas:

1. Fase de eliminación progresiva: consiste en aplicar operaciones elementales de fila de izquierda a derecha para generar ceros debajo de cada pivote, hasta obtener una matriz escalonada.
2. Fase de sustitución hacia atrás: consiste en reconstruir el sistema de ecuaciones a partir de la matriz escalonada y despejar el valor numérico de cada variable de abajo hacia arriba, sustituyendo los valores ya conocidos en las ecuaciones superiores.

Ejemplo del método

Para comprender cómo funciona el algoritmo en la práctica, resolvemos el siguiente sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas:

$$\begin{cases} 2x + y - z = 3 \\ 4x + 3y + z = 11 \\ -2x + 2y + 2z = 4 \end{cases}$$

Escribimos la matriz aumentada correspondiente agrupando los coeficientes de las variables y los términos independientes:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 3 \\ 4 & 3 & 1 & 11 \\ -2 & 2 & 2 & 4 \end{array}\right]$$

Iniciamos la fase de eliminación progresiva trabajando sobre la primera columna. El primer pivote es 2, ubicado en la primera fila y primera columna. Debemos convertir en cero los elementos situados debajo del pivote.

Primero eliminamos el número 4 de la segunda fila. Para ello, a la fila 2 le restamos el doble de la fila 1. Simbólicamente: \(F_2 \to F_2 - 2F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ -2 & 2 & 2 & 4 \end{array}\right]$$

Ahora debemos convertir en cero el número −2 de la tercera fila. Para ello, a la fila 3 le sumamos la fila 1. Simbólicamente: \(F_3 \to F_3 + F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 3 & 1 & 7 \end{array}\right]$$

Pasamos a la segunda columna. El segundo pivote es 1, ubicado en la segunda fila y segunda columna.

Debemos convertir en cero el elemento situado debajo de este pivote, que es el número 3 de la tercera fila. Para ello, a la fila 3 le restamos el triple de la fila 2. Simbólicamente: \(F_3 \to F_3 - 3F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & -8 & -8 \end{array}\right]$$

La matriz ya se encuentra en forma escalonada por filas, puesto que todos los elementos por debajo de los pivotes 2, 1 y −8 son ceros. Observamos que no fue necesario forzar que los pivotes fueran iguales a 1, evitando introducir fracciones intermedias.

Iniciamos ahora la fase de sustitución hacia atrás. Para ello, reconstruimos el sistema de ecuaciones a partir de la matriz escalonada:

$$\begin{cases} 2x + y - z = 3 \\ y + 3z = 5 \\ -8z = -8 \end{cases}$$

Despejamos la incógnita z directamente en la tercera ecuación:

$$-8z = -8 \implies z = \dfrac{-8}{-8} = 1$$

Sustituimos el valor obtenido de z en la segunda ecuación para calcular y:

$$y + 3(1) = 5 \implies y + 3 = 5 \implies y = 5 - 3 = 2$$

Por último, sustituimos los valores de y y z en la primera ecuación para despejar x:

$$2x + 2 - 1 = 3 \implies 2x + 1 = 3 \implies 2x = 2 \implies x = 1$$

El sistema tiene una única solución: \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 1\). Por lo tanto, se clasifica como un sistema compatible determinado (SCD).

Para comprobar que la solución obtenida es correcta, sustituimos los valores en las tres ecuaciones originales del sistema:

$$\begin{cases} 2(1) + (2) - (1) = 2 + 2 - 1 = 3 \\ 4(1) + 3(2) + (1) = 4 + 6 + 1 = 11 \\ -2(1) + 2(2) + 2(1) = -2 + 4 + 2 = 4 \end{cases}$$

Como las tres igualdades se verifican simultáneamente, confirmamos que los valores hallados son correctos.

Tipos de soluciones en sistemas 3×3

Una ventaja de la eliminación gaussiana es que permite clasificar el sistema lineal en cuanto la matriz alcanza su forma escalonada, sin necesidad de completar la sustitución hacia atrás.

En un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, la naturaleza del conjunto solución se deduce directamente analizando la tercera fila de la matriz aumentada escalonada:

Tipo de sistema	Estructura de la 3.ª fila	Interpretación algebraica	Interpretación geométrica (en R3)
Sistema compatible determinado (SCD)	[0 0 c | d] con c ≠ 0	Solución única. La ecuación c · z = d permite despejar la variable z directamente: z = d / c.	Los tres planos se intersecan en un único punto en el espacio.
Sistema compatible indeterminado (SCI)	[0 0 0 | 0]	Infinitas soluciones. La fila se anula por completo (0 = 0), lo que indica que una ecuación era redundante y existe al menos una variable libre.	Los planos se intersecan a lo largo de una recta común o son planos coincidentes.
Sistema incompatible (SI)	[0 0 0 | d] con d ≠ 0	Sin solución. Se produce la contradicción matemática 0 = d, imposible para cualquier valor real de las incógnitas.	Los planos no comparten ningún punto en común (por ejemplo, planos paralelos distintos o en disposición prismática).

En sistemas donde el número de incógnitas supera al de ecuaciones (como los sistemas 2×3 o 2×4), el sistema puede ser compatible indeterminado sin que aparezca ninguna fila de ceros. El criterio general establece que un sistema consistente es indeterminado siempre que el número de pivotes sea menor que el número de incógnitas. La diferencia entre ambas cantidades define los grados de libertad, que representan los parámetros necesarios para escribir la solución.

Diferencia con el método de Gauss-Jordan

Aunque ambos métodos se basan en el uso de operaciones elementales de fila sobre la matriz aumentada, se diferencian en el punto exacto donde finalizan las operaciones matriciales y en la forma final que adquiere la matriz.

La eliminación de Gauss detiene las operaciones con filas en cuanto la matriz alcanza la forma escalonada (triangular superior en la submatriz de coeficientes, si esta es cuadrada). A partir de ese momento, el cálculo de las incógnitas se traslada al álgebra básica mediante la sustitución hacia atrás.

Por su parte, el método de Gauss-Jordan prolonga el proceso matricial: además de anular los elementos debajo de los pivotes, convierte cada pivote en 1 y genera ceros también por encima de ellos, transformando la submatriz de coeficientes en la matriz identidad (forma escalonada reducida por filas o RREF).

Las diferencias operativas entre ambos enfoques se resumen en el siguiente cuadro comparativo:

Criterio	Método de eliminación gaussiana	Método de Gauss-Jordan
Forma final de la matriz	Matriz escalonada por filas	Matriz escalonada reducida por filas
Condición del pivote	El pivote puede ser cualquier número distinto de cero.	Todos los pivotes principales deben convertirse obligatoriamente en 1.
Operaciones de fila requeridas	Menor cantidad. Solo se eliminan coeficientes hacia adelante (debajo de la diagonal).	Mayor cantidad. Se eliminan coeficientes hacia adelante y hacia atrás (arriba y abajo).
Fase de resolución final	Requiere sustitución hacia atrás despejando ecuaciones simples paso a paso.	No requiere sustitución: los valores de las incógnitas se leen directamente en la columna final.
Comodidad para cálculo manual	Mayor. Permite trabajar casi en su totalidad con números enteros evitando fracciones tempranas.	Menor. Forzar pivotes unitarios suele introducir fracciones desde las primeras etapas.

Ejercicios resueltos de eliminación gaussiana

A continuación resolvemos una serie de ejercicios seleccionados para ilustrar los casos más frecuentes en exámenes y los criterios más eficientes para operar con matrices sin introducir fracciones innecesarias.

Sistemas de ecuaciones lineales 3×3

Ejercicio 1

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales aplicando el método de Gauss:

$$\begin{cases} 2x - y + z = 1 \\ x + 2y - z = 4 \\ 3x + y + 2z = 7 \end{cases}$$

Solución

Escribimos la matriz aumentada del sistema:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 & 4 \\ 3 & 1 & 2 & 7 \end{array}\right]$$

Para comenzar a generar ceros en la primera columna, podríamos tomar como pivote el 2 de la primera fila. Sin embargo, para anular el 1 de la segunda fila tendríamos que restar \(\frac{1}{2}\) de la primera, lo cual introduciría fracciones de forma temprana y complicaría los cálculos posteriores. En su lugar, resulta mucho más cómodo intercambiar la primera fila con la segunda para colocar directamente un 1 como pivote principal. Simbólicamente: \(F_1 \leftrightarrow F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 2 & -1 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 7 \end{array}\right]$$

Con el pivote 1 en la primera fila, eliminamos el 2 de la segunda fila. Para ello, a la fila 2 le restamos el doble de la fila 1. Es decir: \(F_2 \to F_2 - 2F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -5 & 3 & -7 \\ 3 & 1 & 2 & 7 \end{array}\right]$$

Ahora eliminamos el número 3 de la tercera fila. Para ello, a la fila 3 le restamos el triple de la fila 1. En símbolos: \(F_3 \to F_3 - 3F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -5 & 3 & -7 \\ 0 & -5 & 5 & -5 \end{array}\right]$$

Antes de anular elementos en la segunda columna, observamos que todos los números de la tercera fila son múltiplos de −5. Podríamos continuar operando directamente entre la fila 3 y la fila 2 con números grandes, pero simplificar la fila ahora reduce el tamaño de las operaciones. Por lo tanto, dividimos la fila 3 entre −5, es decir, la multiplicamos por \(-\frac{1}{5}\). Simbólicamente: \(F_3 \to -\frac{1}{5}F_3\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & -5 & 3 & -7 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right]$$

Nuevamente, para evitar operar con el pivote −5 y no generar fracciones al anular el 1 inferior, intercambiamos la fila 2 con la fila 3. En símbolos: \(F_2 \leftrightarrow F_3\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & -5 & 3 & -7 \end{array}\right]$$

El segundo pivote es ahora 1. Eliminamos el número −5 situado debajo de él. Para ello, a la fila 3 le sumamos 5 veces la fila 2. Simbólicamente: \(F_3 \to F_3 + 5F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 4 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 & -2 \end{array}\right]$$

La matriz ya se encuentra escalonada. Reconstruimos el sistema para realizar la sustitución hacia atrás:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 4 \\ y - z = 1 \\ -2z = -2 \end{cases}$$

Despejamos z en la tercera ecuación:

$$-2z = -2 \implies z = \dfrac{-2}{-2} = 1$$

Sustituimos \(z = 1\) en la segunda ecuación para calcular y:

$$y - (1) = 1 \implies y = 2$$

Sustituimos \(y = 2\) y \(z = 1\) en la primera ecuación para hallar x:

$$x + 2(2) - (1) = 4 \implies x + 4 - 1 = 4 \implies x = 1$$

El sistema tiene como solución única la terna \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 1\). Se clasifica como un sistema compatible determinado (SCD). La verificación se comprueba sustituyendo estos valores en las ecuaciones originales.

Ejercicio 2

Resolver mediante el método de eliminación de Gauss el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

$$\begin{cases} 2x + 3y + z = 1 \\ 3x + 2y + 4z = 9 \\ 4x - y + 3z = 11 \end{cases}$$

Solución

Escribimos la matriz aumentada correspondiente:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 4 & 9 \\ 4 & -1 & 3 & 11 \end{array}\right]$$

El primer pivote es 2. En este caso no disponemos de un 1 en la primera columna para intercambiar filas. El procedimiento estándar de los manuales consistiría en dividir la primera fila entre 2 o restarle a la segunda fila \(\frac{3}{2}\) de la primera, pero esto llenaría la matriz de denominadores. Para evitarlo, aplicamos un cruce de coeficientes enteros: multiplicamos la fila 2 por 2 y le restamos la fila 1 multiplicada por 3. Simbólicamente: \(F_2 \to 2F_2 - 3F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & -5 & 5 & 15 \\ 4 & -1 & 3 & 11 \end{array}\right]$$

Ahora eliminamos el número 4 de la tercera fila. Como 4 es múltiplo exacto de 2, a la fila 3 le restamos el doble de la fila 1. Es decir: \(F_3 \to F_3 - 2F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & -5 & 5 & 15 \\ 0 & -7 & 1 & 9 \end{array}\right]$$

Observamos que todos los coeficientes de la segunda fila son divisibles entre −5. En lugar de arrastrar números grandes al cruzar la fila 2 con la fila 3, dividimos la segunda fila entre −5, lo que equivale a multiplicarla por \(-\frac{1}{5}\). Simbólicamente: \(F_2 \to -\frac{1}{5}F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & -7 & 1 & 9 \end{array}\right]$$

El segundo pivote es ahora 1. Eliminamos el número −7 situado debajo de él. Para ello, a la fila 3 le sumamos 7 veces la fila 2. En símbolos: \(F_3 \to F_3 + 7F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -3 \\ 0 & 0 & -6 & -12 \end{array}\right]$$

Con la matriz escalonada, pasamos a la sustitución hacia atrás reconstruyendo las ecuaciones:

$$\begin{cases} 2x + 3y + z = 1 \\ y - z = -3 \\ -6z = -12 \end{cases}$$

Despejamos z en la tercera ecuación:

$$-6z = -12 \implies z = \dfrac{-12}{-6} = 2$$

Sustituimos \(z = 2\) en la segunda ecuación para despejar y:

$$y - (2) = -3 \implies y = -3 + 2 = -1$$

Sustituimos \(y = -1\) y \(z = 2\) en la primera ecuación para obtener x:

$$2x + 3(-1) + (2) = 1 \implies 2x - 3 + 2 = 1 \implies 2x - 1 = 1 \implies 2x = 2 \implies x = 1$$

La solución única es \(x = 1\), \(y = -1\), \(z = 2\). El sistema es un sistema compatible determinado (SCD).

Ejercicio 3

Resolver por reducción gaussiana el siguiente sistema de ecuaciones lineales y expresar su solución en caso de que sea compatible:

$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + 5y + z = 7 \\ 3x + 7y = 10 \end{cases}$$

Solución

Escribimos la matriz aumentada del sistema, completando con un cero el coeficiente de la variable ausente en la tercera ecuación:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 5 & 1 & 7 \\ 3 & 7 & 0 & 10 \end{array}\right]$$

El primer pivote es 1. Eliminamos el 2 de la segunda fila restándole a la fila 2 el doble de la fila 1. Simbólicamente: \(F_2 \to F_2 - 2F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 3 & 7 & 0 & 10 \end{array}\right]$$

Eliminamos el número 3 de la tercera fila restándole a la fila 3 el triple de la fila 1. Esto es: \(F_3 \to F_3 - 3F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \end{array}\right]$$

El segundo pivote es 1. Para eliminar el 1 de la tercera fila, a la fila 3 le restamos directamente la fila 2. Con símbolos: \(F_3 \to F_3 - F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$$

La última fila se compone íntegramente de ceros, lo que se traduce algebraicamente en la identidad \(0 = 0\). Esto indica que una de las ecuaciones era una combinación lineal de las anteriores y no aporta restricciones adicionales.

El sistema cuenta con 3 incógnitas pero solo 2 filas no nulas. Por lo tanto, tiene \(3 - 2 = 1\) grado de libertad. Se clasifica como un sistema compatible indeterminado (SCI) y admite infinitas soluciones.

Para escribir la solución en forma paramétrica, asignamos a la variable libre z un parámetro real: \(z = \lambda\), con \(\lambda \in \mathbb{R}\). A partir de la segunda fila despejamos y:

$$y + 3z = 1 \implies y = 1 - 3\lambda$$

Sustituimos estas dos expresiones en la primera ecuación para despejar x:

$$x + 2(1 - 3\lambda) - \lambda = 3 \implies x + 2 - 6\lambda - \lambda = 3 \implies x + 2 - 7\lambda = 3 \implies x = 1 + 7\lambda$$

El conjunto de infinitas soluciones del sistema viene dado por:

$$\begin{cases} x = 1 + 7\lambda \\ y = 1 - 3\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}$$

Ejercicio 4

Determinar la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de eliminación de Gauss:

$$\begin{cases} x - y + 2z = 4 \\ 2x + y - z = 1 \\ 3x + z = 8 \end{cases}$$

Solución

Escribimos la matriz aumentada del sistema, colocando un cero en la variable ausente en la tercera ecuación:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 & 8 \end{array}\right]$$

El primer pivote es 1. Eliminamos el 2 de la segunda fila restándole el doble de la primera fila. Simbólicamente: \(F_2 \to F_2 - 2F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & -5 & -7 \\ 3 & 0 & 1 & 8 \end{array}\right]$$

Eliminamos el número 3 de la tercera fila restándole el triple de la primera fila. En símbolos: \(F_3 \to F_3 - 3F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & -5 & -7 \\ 0 & 3 & -5 & -4 \end{array}\right]$$

El segundo pivote es 3. Para anular el 3 de la tercera fila, a la fila 3 le restamos la fila 2. Es decir: \(F_3 \to F_3 - F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & -5 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right]$$

Al analizar la tercera fila de la matriz escalonada, observamos que los coeficientes de las variables son todos cero, mientras que el término independiente es 3. Esto se traduce en la ecuación:

$$0x + 0y + 0z = 3 \implies 0 = 3$$

Dado que esta igualdad representa una contradicción matemática que no se cumple para ningún valor de las variables, el sistema no tiene solución. Se clasifica como un sistema incompatible (SI).

Ejercicio 5

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales por eliminación gaussiana:

$$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ 2x + 3y - z = 6 \\ y + 2z = 6 \end{cases}$$

Solución

Al construir la matriz aumentada, debemos prestar atención a las variables ausentes en la primera y en la tercera ecuación para no desplazar los coeficientes de columna:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 2 & 3 & -1 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 6 \end{array}\right]$$

El primer pivote es 1. La tercera fila ya contiene un cero en la primera columna, por lo que únicamente debemos eliminar el 2 de la segunda fila. Para ello, a la fila 2 le restamos el doble de la fila 1. Simbólicamente: \(F_2 \to F_2 - 2F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & -1 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & 2 & 6 \end{array}\right]$$

Podríamos utilizar directamente el pivote −1 de la segunda fila multiplicando por escalares negativos, pero cambiar el signo de la fila 2 antes de operar simplifica el trabajo. Multiplicamos la fila 2 por −1. Es decir: \(F_2 \to -F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 6 \end{array}\right]$$

Con el pivote 1 en la segunda fila, eliminamos el 1 de la tercera fila restándole la fila 2. En símbolos: \(F_3 \to F_3 - F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 0 & 5 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$$

Con la matriz completamente escalonada, planteamos las ecuaciones para la sustitución hacia atrás:

$$\begin{cases} x + 2y = 5 \\ y + z = 4 \\ z = 2 \end{cases}$$

El valor de z se obtiene directamente: \(z = 2\). Sustituimos este valor en la segunda ecuación para calcular y:

$$y + (2) = 4 \implies y = 2$$

Sustituimos el valor de y en la primera ecuación para determinar x:

$$x + 2(2) = 5 \implies x + 4 = 5 \implies x = 1$$

El sistema tiene como solución única \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 2\). Es un sistema compatible determinado (SCD).

Ejercicio 6

Resolver mediante el método de Gauss el siguiente sistema de ecuaciones con coeficientes fraccionarios:

$$\begin{cases} \dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{3} - z = 1 \\[2ex] x - \dfrac{y}{3} + z = 2 \\[2ex] x + y - 2z = 3 \end{cases}$$

Solución

Si trasladáramos las fracciones directamente a la matriz aumentada, las sumas y restas de filas involucrarían constantes operaciones con denominadores comunes. Para simplificar el problema desde el origen, eliminamos las fracciones multiplicando cada ecuación por el mínimo común múltiplo de sus denominadores:

• Primera ecuación: multiplicamos por 6 \(\implies 3x + 2y - 6z = 6\).
• Segunda ecuación: multiplicamos por 3 \(\implies 3x - y + 3z = 6\).
• Tercera ecuación: ya tiene coeficientes enteros \(\implies x + y - 2z = 3\).

El sistema equivalente entero queda expresado como:

$$\begin{cases} 3x + 2y - 6z = 6 \\ 3x - y + 3z = 6 \\ x + y - 2z = 3 \end{cases}$$

Escribimos la matriz aumentada:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & -6 & 6 \\ 3 & -1 & 3 & 6 \\ 1 & 1 & -2 & 3 \end{array}\right]$$

En lugar de comenzar con el pivote 3, intercambiamos la fila 1 con la fila 3 para colocar el coeficiente 1 en la posición superior izquierda. Simbólicamente: \(F_1 \leftrightarrow F_3\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 3 \\ 3 & -1 & 3 & 6 \\ 3 & 2 & -6 & 6 \end{array}\right]$$

Con el pivote 1, eliminamos el 3 de la segunda fila restándole el triple de la primera fila. Esto es: \(F_2 \to F_2 - 3F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & -4 & 9 & -3 \\ 3 & 2 & -6 & 6 \end{array}\right]$$

Eliminamos el número 3 de la tercera fila restándole también el triple de la primera fila. Es decir: \(F_3 \to F_3 - 3F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & -4 & 9 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \end{array}\right]$$

Para la segunda columna, operar con el pivote −4 requeriría fracciones para anular el −1 inferior. Para evitarlo, intercambiamos la fila 2 con la fila 3. Simbólicamente: \(F_2 \leftrightarrow F_3\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \\ 0 & -4 & 9 & -3 \end{array}\right]$$

Cambiamos el signo de la fila 2 multiplicándola por −1 para trabajar con un pivote positivo. O sea: \(F_2 \to -F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -4 & 9 & -3 \end{array}\right]$$

Eliminamos el −4 de la tercera fila sumándole 4 veces la fila 2. Simbólicamente: \(F_3 \to F_3 + 4F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 9 & 9 \end{array}\right]$$

La matriz ya está escalonada. Reconstruimos el sistema de ecuaciones para aplicar la sustitución hacia atrás:

$$\begin{cases} x + y - 2z = 3 \\ y = 3 \\ 9z = 9 \end{cases}$$

Despejamos z en la tercera ecuación:

$$9z = 9 \implies z = 1$$

La segunda ecuación proporciona directamente el valor de y: \(y = 3\). Sustituimos ambos valores en la primera ecuación para calcular x:

$$x + (3) - 2(1) = 3 \implies x + 3 - 2 = 3 \implies x + 1 = 3 \implies x = 2$$

La solución única es \(x = 2\), \(y = 3\), \(z = 1\). Se clasifica como un sistema compatible determinado (SCD).

Sistemas de ecuaciones de otros órdenes

Aunque el método de eliminación gaussiana se suele practicar con sistemas de tres ecuaciones y tres incógnitas, su verdadera ventaja radica en que el procedimiento algorítmico es idéntico para cualquier dimensión.

En sistemas de 2 ecuaciones con 2 incógnitas (2×2), el algoritmo se reduce a generar un único cero en la segunda fila, coincidiendo con el método de reducción. Por esta razón, el método de Gauss muestra su mayor utilidad al resolver sistemas de mayor tamaño (como 4×4) o sistemas rectangulares, donde el número de ecuaciones no coincide con el número de variables.

Ejercicio 7

Resolver mediante el algoritmo de eliminación gaussiana el siguiente sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas:

$$\begin{cases} x + y - z + w = 3 \\ 2x - y + 2z - w = 1 \\ x + 2y + z - w = 5 \\ 2x + y + z + w = 6 \end{cases}$$

Solución

Construimos la matriz aumentada correspondiente:

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 6 \end{array}\right]$$

El primer pivote es 1, ubicado en la primera fila. Generamos ceros en la primera columna:

A la fila 2 le restamos el doble de la fila 1 (\(F_2 \to F_2 - 2F_1\)):

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & 4 & -3 & -5 \\ 1 & 2 & 1 & -1 & 5 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 6 \end{array}\right]$$

A la fila 3 le restamos la fila 1 (\(F_3 \to F_3 - F_1\)):

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & 4 & -3 & -5 \\ 0 & 1 & 2 & -2 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1 & 6 \end{array}\right]$$

A la fila 4 le restamos el doble de la fila 1 (\(F_4 \to F_4 - 2F_1\)):

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & 4 & -3 & -5 \\ 0 & 1 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 0 \end{array}\right]$$

Pasamos a la segunda columna. En lugar de operar con el pivote −3, intercambiamos la fila 2 con la fila 3 para situar el coeficiente 1 arriba. En símbolos: \(F_2 \leftrightarrow F_3\).

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & -3 & 4 & -3 & -5 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 0 \end{array}\right]$$

Con el pivote 1 en la segunda fila, eliminamos el −3 de la tercera fila sumándole el triple de la fila 2 (\(F_3 \to F_3 + 3F_2\)):

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 10 & -9 & 1 \\ 0 & -1 & 3 & -1 & 0 \end{array}\right]$$

Eliminamos el −1 de la cuarta fila sumándole directamente la fila 2 (\(F_4 \to F_4 + F_2\)):

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 10 & -9 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & -3 & 2 \end{array}\right]$$

Pasamos a la tercera columna. Para anular el 5 de la cuarta fila sin introducir fracciones, multiplicamos la fila 4 por 2 y le restamos la fila 3. O sea: \(F_4 \to 2F_4 - F_3\).

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 10 & -9 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 3 \end{array}\right]$$

La matriz se encuentra en forma escalonada. Reconstruimos el sistema para realizar la sustitución hacia atrás:

$$\begin{cases} x + y - z + w = 3 \\ y + 2z - 2w = 2 \\ 10z - 9w = 1 \\ 3w = 3 \end{cases}$$

Despejamos w en la cuarta ecuación:

$$3w = 3 \implies w = 1$$

Sustituimos \(w = 1\) en la tercera ecuación para calcular z:

$$10z - 9(1) = 1 \implies 10z = 10 \implies z = 1$$

Sustituimos \(z = 1\) y \(w = 1\) en la segunda ecuación para despejar y:

$$y + 2(1) - 2(1) = 2 \implies y = 2$$

Por último, sustituimos los tres valores en la primera ecuación para determinar x:

$$x + (2) - (1) + (1) = 3 \implies x + 2 = 3 \implies x = 1$$

El sistema tiene como solución única la cuádrupla \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 1\), \(w = 1\). Se clasifica como un sistema compatible determinado (SCD).

Ejercicio 8

Resolver por el método de Gauss el siguiente sistema subdeterminado de 2 ecuaciones con 3 incógnitas:

$$\begin{cases} x + 2y - 3z = 4 \\ 2x + 5y - 4z = 11 \end{cases}$$

Solución

Escribimos la matriz rectangular aumentada correspondiente:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 2 & 5 & -4 & 11 \end{array}\right]$$

El primer pivote es 1. Eliminamos el 2 de la segunda fila restándole el doble de la primera fila. En símbolos: \(F_2 \to F_2 - 2F_1\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right]$$

La matriz ya se encuentra en forma escalonada. Al haber 3 incógnitas pero solo 2 ecuaciones no nulas, el sistema cuenta con \(3 - 2 = 1\) grado de libertad. Es un sistema compatible indeterminado (SCI) con infinitas soluciones.

Asignamos a la variable libre z el parámetro \(\lambda \in \mathbb{R}\). Despejamos y en la segunda fila:

$$y + 2z = 3 \implies y = 3 - 2\lambda$$

Sustituimos las expresiones de y y z en la primera ecuación para despejar x:

$$x + 2(3 - 2\lambda) - 3\lambda = 4 $$

$$ x + 6 - 4\lambda - 3\lambda = 4 $$

$$ x + 6 - 7\lambda = 4 $$

$$ x = -2 + 7\lambda$$

El conjunto solución en forma paramétrica es:

$$\begin{cases} x = -2 + 7\lambda \\ y = 3 - 2\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}$$

Ejercicio 9

Determinar la compatibilidad y resolver el siguiente sistema sobredeterminado de 4 ecuaciones con 3 incógnitas:

$$\begin{cases} x - y + z = 2 \\ 2x + y - 3z = -1 \\ x + 2y - 4z = -3 \\ 3x + 3y - 5z = 4 \end{cases}$$

Solución

Construimos la matriz aumentada de dimensión 4×4:

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & -3 & -1 \\ 1 & 2 & -4 & -3 \\ 3 & 3 & -5 & 4 \end{array}\right]$$

Con pivote 1 en la primera fila, generamos ceros en la primera columna aplicando las siguientes operaciones de manera sucesiva:

A la fila 2 le restamos el doble de la fila 1 (\(F_2 \to F_2 - 2F_1\)):

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -5 & -5 \\ 1 & 2 & -4 & -3 \\ 3 & 3 & -5 & 4 \end{array}\right]$$

A la fila 3 le restamos la fila 1 (\(F_3 \to F_3 - F_1\)):

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -5 & -5 \\ 0 & 3 & -5 & -5 \\ 3 & 3 & -5 & 4 \end{array}\right]$$

A la fila 4 le restamos el triple de la fila 1 (\(F_4 \to F_4 - 3F_1\)):

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -5 & -5 \\ 0 & 3 & -5 & -5 \\ 0 & 6 & -8 & -2 \end{array}\right]$$

Pasamos a la segunda columna con pivote 3 en la segunda fila. Eliminamos el 3 de la tercera fila restándole la fila 2. En símbolos: \(F_3 \to F_3 - F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -5 & -5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & -8 & -2 \end{array}\right]$$

Intercambiamos la fila 3 con la fila 4 para ubicar la fila nula al fondo de la matriz, respetando la definición de matriz escalonada. Es decir: \(F_3 \leftrightarrow F_4\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -5 & -5 \\ 0 & 6 & -8 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$$

Ahora eliminamos el 6 de la tercera fila restándole el doble de la segunda fila. O sea: \(F_3 \to F_3 - 2F_2\).

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -5 & -5 \\ 0 & 0 & 2 & 8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right]$$

La matriz escalonada no presenta inconsistencias y cuenta con una fila de ceros al final, indicando que una de las cuatro restricciones era redundante. Reconstruimos el sistema no nulo:

$$\begin{cases} x - y + z = 2 \\ 3y - 5z = -5 \\ 2z = 8 \end{cases}$$

Despejamos z en la tercera ecuación:

$$2z = 8 \implies z = 4$$

Sustituimos \(z = 4\) en la segunda ecuación para despejar y:

$$3y - 5(4) = -5 \implies 3y - 20 = -5 \implies 3y = 15 \implies y = 5$$

Sustituimos \(y = 5\) y \(z = 4\) en la primera ecuación para obtener x:

$$x - (5) + (4) = 2 \implies x - 1 = 2 \implies x = 3$$

A pesar de contar con más ecuaciones que incógnitas, las restricciones resultaron compatibles entre sí. El sistema tiene solución única \(x = 3\), \(y = 5\), \(z = 4\), clasificándose como un sistema compatible determinado (SCD).

Ejercicio 10

Analizar y resolver por eliminación gaussiana el siguiente sistema de 2 ecuaciones con 4 incógnitas:

$$\begin{cases} x + y - 2z + 3w = 1 \\ 2x + 2y - 3z + 8w = 5 \end{cases}$$

Solución

Escribimos la matriz aumentada del sistema:

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -2 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & -3 & 8 & 5 \end{array}\right]$$

El primer pivote es 1. Anulamos el elemento 2 de la segunda fila restándole el doble de la primera fila. En símbolos: \(F_2 \to F_2 - 2F_1\).

$$\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & -2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right]$$

La matriz se encuentra completamente escalonada. Observamos que el segundo pivote no cayó en la columna de la variable \(y\), sino en la columna de \(z\). El sistema tiene 4 incógnitas y 2 filas no nulas, lo que genera \(4 - 2 = 2\) grados de libertad. Se clasifica como un sistema compatible indeterminado (SCI) con infinitas soluciones dependientes de dos parámetros independientes.

Las variables libres corresponden a aquellas columnas que no contienen pivote: y y w. Les asignamos parámetros reales: \(y = \alpha\) y \(w = \beta\), con \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\).

A partir de la segunda fila despejamos z:

$$z + 2w = 3 \implies z = 3 - 2\beta$$

Sustituimos \(y = \alpha\), \(z = 3 - 2\beta\) y \(w = \beta\) en la primera ecuación para despejar x:

$$x + \alpha - 2(3 - 2\beta) + 3\beta = 1 \implies x + \alpha - 6 + 4\beta + 3\beta = 1 \implies x + \alpha - 6 + 7\beta = 1$$

$$x = 7 - \alpha - 7\beta$$

El conjunto de infinitas soluciones expresado en forma paramétrica es:

$$\begin{cases} x = 7 - \alpha - 7\beta \\ y = \alpha \\ z = 3 - 2\beta \\ w = \beta \end{cases} \quad \text{con } \alpha, \beta \in \mathbb{R}$$

Aplicaciones del método de Gauss

Más allá de resolver sistemas de ecuaciones lineales, la técnica de reducción mediante operaciones elementales de fila constituye una herramienta operativa en otras áreas del álgebra lineal matricial.

Cálculo del rango de una matriz

El rango de una matriz representa el número máximo de filas (o columnas) linealmente independientes que contiene. Para determinarlo, aplicamos operaciones elementales hasta transformar la matriz en su forma escalonada.

Una vez alcanzada la forma escalonada, el rango equivale exactamente a la cantidad de filas no nulas (filas que contienen al menos un número distinto de cero). Las filas compuestas únicamente por ceros corresponden a combinaciones lineales de las demás y no aportan al rango.

Cálculo de determinantes

Calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden 3×3 o superior mediante la regla de Laplace suele requerir una gran cantidad de cálculos con menores. El método de Gauss permite simplificar este procedimiento transformando la matriz original en una matriz triangular superior, cuyo determinante es simplemente el producto de los elementos de su diagonal principal.

Sin embargo, para aplicar la eliminación gaussiana al cálculo de determinantes debemos considerar cómo afectan las operaciones elementales al valor final:

• Suma de múltiplos entre filas (\(F_i \to F_i + kF_j\)): no altera el valor del determinante. Es la operación ideal para generar ceros.
• Intercambio de dos filas (\(F_i \leftrightarrow F_j\)): cambia el signo del determinante. Si intercambiamos filas, debemos multiplicar el resultado final por −1 por cada intercambio realizado.
• Multiplicación de una fila por un número (\(F_i \to kF_i\)): multiplica el determinante por dicho factor \(k\). Por esta razón, no se deben multiplicar filas arbitrariamente sin registrar el escalar fuera del determinante para compensarlo al final dividiendo por \(k\).