Límites de funciones cuadráticas

Por Daniel Machado Actualizado: 15/06/2024

En este artículo exploramos los límites de una función cuadrática tanto en un punto como en el más infinito y el menos infinito junto con algunos ejemplos para una mejor compresión.

Recordemos que una función cuadrática es una función real de la forma *f(x)=ax^2+bx+c* donde a, b, c son números reales y a≠0. Su dominio es el conjunto de los números reales, o sea, *D_f=\mathbb{R}.*

Índice

Límites en un punto

El límite de una función cuadrática en un punto es igual al valor de la función en dicho punto.

Sea *f(x)=ax^2+bx+c* donde *a≠0* y *D_f=\mathbb{R},* entonces:

$$\lim_{x\to p} f(x)=\lim_{x\to p} ~(ax^2+bx+c)=ap^2+bp+c$$

Límite de una función cuadrática en un punto — En la gráfica se observa que si nos acercamos al punto a, las imágenes de la función se acercan al valor f(a)

Ejemplos:

*\lim_{x\to 2} ~(2x^2+5x+3)=2(2)^2+5(2)+3=2\cdot 4+10+3=21*

*\lim_{x\to -1} ~(x^2+2x-3)=(-1)^2+2(-1)-3=1-2-3=-4*

*\lim_{x\to 3} ~(-4x^2-9x)=-4(3)^2-9(3)=-36-27=-63*

*\lim_{x\to -4} ~(-x^2+1)=-(-4)^2+1=-16+1=-15*

Límites en el infinito

El límite de una función cuadrática cuando la variable independiente tiende a más infinito o menos infinito es más infinito (si el coeficiente principal es positivo) o menos infinito (si el coeficiente principal es negativo). En símbolos:

$$\lim_{x\to \infty} ~(ax^2+bx+c)=+\infty~~\text{si}~~a>0$$

$$\lim_{x\to \infty} ~(ax^2+bx+c)=-\infty~~\text{si}~~a<0$$

$$\lim_{x\to -\infty} ~(ax^2+bx+c)=+\infty~~\text{si}~~a>0$$

$$\lim_{x\to -\infty} ~(ax^2+bx+c)=-\infty~~\text{si}~~a<0$$

Para valores muy grandes, el término que más aporta a la función es *ax^2.* Nótese que cuando la variable tiende a un número positivo o negativo muy grande, el hecho de estar elevada al cuadrado hace que el resultado siempre sea positivo, dejando el control del signo al número *a.*

Ejemplos:

*\lim_{x\to \infty} ~(2x^2+5x+3)=+\infty* porque *a=2>0*

*\lim_{x\to \infty} ~(-5x^2+3x-2)=-\infty* porque *a=-5<0*

*\lim_{x\to -\infty} ~(x^2-7x+1)=+\infty* porque *a=1>0*

*\lim_{x\to -\infty} ~(-7x^2+x)=-\infty* porque *a=-7<0*