Límites de la función identidad

Por Daniel Machado Actualizado: 15/06/2024

En este artículo exploramos los límites de la función identidad tanto en un punto como en el más infinito y el menos infinito junto con algunos ejemplos para una mejor compresión.

Recordemos que la función identidad es una función real de la forma *f(x)=x.* Su dominio y su rango son el conjunto de los números reales, o sea *D_f=\mathbb{R}* y *R_f=\mathbb{R}.*

Índice

Límites en un punto

El límite de la función identidad en un punto es igual al valor en ese punto.

Sea la función identidad *f(x)=x* donde *D_f=\mathbb{R},* entonces:

$$\lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} x=a$$

Límite de la función identidad en un punto — En la gráfica se observa que si nos acercamos al punto a, las imágenes de la función se acercan al valor f(a)=a

Ejemplos:

*\lim_{x\to 4} x=4*

*\lim_{x\to -2} x=-2*

*\lim_{x\to \sqrt{2}} x=\sqrt{2}*

*\lim_{x\to 0} x=0*

Demostración:

Para demostrar que *\lim_{x\to a} x=a* debemos, para cada *\epsilon* positivo, encontrar un *\delta* positivo tal que para toda *x* ocurra que:

si *0<|x-a|<\delta* entonces *|x-a|<\epsilon*

La implicación se cumplirá si *\delta* es igual a *\epsilon* o cualquier número positivo menor. Por tanto, *\lim_{x\to a} x=a*

Límites en el infinito

El límite de la función identidad cuando la variable tiende a más infinito o a menos infinito es igual a más infinito y menos infinito respectivamente:

$$\lim_{x\to \infty} x=\infty$$

$$\lim_{x\to -\infty} x=-\infty$$