Proposición recíproca, inversa y contrarrecíproca

Una proposición condicional tiene la estructura formal p → q y se lee «si p, entonces q», donde la proposición p recibe el nombre de antecedente (o hipótesis) y la proposición q se denomina consecuente (o conclusión). A partir de esta relación inicial, se pueden formular tres proposiciones derivadas variando el orden y la negación de sus componentes: la recíproca, la inversa y la contrarrecíproca.

Tabla comparativa

Para identificar cómo se transforma el antecedente y el consecuente respecto a la condicional de partida, analizamos sus reglas de construcción, notación simbólica y equivalencia lógica en la siguiente tabla:

Proposición	Forma simbólica	Estructura verbal	Regla de formación	Equivalente a p → q
Condicional directa	p → q	Si p, entonces q	Proposición de partida	Sí (por identidad)
Recíproca (o conversa)	q → p	Si q, entonces p	Invertir el orden: el consecuente pasa a ser antecedente y el antecedente pasa a ser consecuente	No
Inversa (o contraria)	¬p → ¬q	Si no p, entonces no q	Negar ambos componentes conservando el orden original	No
Contrarrecíproca (o contrapositiva)	¬q → ¬p	Si no q, entonces no p	Invertir el orden y negar ambos componentes simultáneamente	Sí (p → q ≡ ¬q → ¬p)

Aunque la recíproca y la inversa no son equivalentes a la condicional original, ambas sí son lógicamente equivalentes entre sí (q → p ≡ ¬p → ¬q). Cuando una proposición condicional p → q y su recíproca q → p son verdaderas al mismo tiempo, ambas proposiciones se combinan mediante una bicondicional, denotada como p ↔ q, que se lee «p si y solo si q».

Proposición recíproca

Dada una proposición condicional de partida p → q, su recíproca se define como q → p. Para construirla, intercambiamos el orden de los componentes: el consecuente pasa a ocupar la posición del antecedente y el antecedente pasa a ser el consecuente.

La recíproca no es equivalente a la condicional original. El hecho de que ocurra la conclusión q no garantiza que la condición inicial p haya sido la causante, pues pueden existir otras circunstancias que conduzcan al mismo resultado.

Para analizar cómo cambia el sentido lógico respecto a la implicación inicial, evaluamos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1

Dada la proposición «si llueve, entonces el suelo está mojado» (p → q), su recíproca es «si el suelo está mojado, entonces llueve» (q → p).

Ambas proposiciones no son equivalentes porque el suelo puede mojarse por otras causas, como regar con una manguera, sin que esté lloviendo.

Ejemplo 2

Dada la proposición «si una figura geométrica es un cuadrado, entonces es un rectángulo» (p → q), su recíproca es «si una figura geométrica es un rectángulo, entonces es un cuadrado» (q → p).

Esta recíproca no es equivalente a la proposición original. Un rectángulo posee cuatro ángulos rectos pero puede tener lados contiguos de distinta longitud, lo que impide que sea un cuadrado.

Ejemplo 3

Dada la proposición «si un número entero termina en 0, entonces es divisible por 5», su recíproca es «si un número entero es divisible por 5, entonces termina en 0».

No existe equivalencia lógica entre ambas afirmaciones. Por ejemplo, el número 15 es divisible por 5 y no termina en 0, lo que convierte a la recíproca en falsa a pesar de que la condicional de partida es verdadera.

Ejemplo 4

Dada la proposición «si un triángulo es equilátero, entonces tiene sus tres lados de igual longitud», su recíproca es «si un triángulo tiene sus tres lados de igual longitud, entonces es equilátero».

En este caso, tanto la condicional original como la recíproca son verdaderas de forma simultánea. Cuando esto sucede, ambas proposiciones son equivalentes y las conectamos mediante una bicondicional: «un triángulo es equilátero si y solo si tiene sus tres lados de igual longitud» (p ↔ q).

Proposición inversa

Dada una proposición condicional p → q, su inversa (también denominada contraria) se formula como ¬p → ¬q. Para formarla, negamos tanto el antecedente como el consecuente, conservando el orden de la implicación original.

La proposición inversa no es equivalente a la condicional directa. Negar la condición inicial p no impide que el resultado q ocurra por un camino diferente.

Analizamos las siguientes situaciones para comprobar la diferencia en sus valores de verdad:

Ejemplo 1

Dada la proposición «si llueve, entonces el suelo está mojado» (p → q), su inversa es «si no llueve, entonces el suelo no está mojado» (¬p → ¬q).

No son equivalentes porque la ausencia de lluvia no asegura que el suelo permanezca seco; puede mojarse por el riego de un jardín o una fuga de agua.

Ejemplo 2

Dada la proposición «si un triángulo es equilátero, entonces es isósceles» (p → q), su inversa es «si un triángulo no es equilátero, entonces no es isósceles» (¬p → ¬q).

Esta formulación no equivale a la inicial. Un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 5 cm y 3 cm no es equilátero, pero continúa siendo isósceles al poseer dos lados iguales.

Ejemplo 3

Dada la proposición «si un número entero es múltiplo de 4, entonces es un número par», su inversa es «si un número entero no es múltiplo de 4, entonces no es un número par».

Ambas proposiciones no son equivalentes. El número 6 no es múltiplo de 4 y, sin embargo, sí es un número par, lo que invalida la afirmación inversa.

Proposición contrarrecíproca

Dada una proposición condicional p → q, su contrarrecíproca (o contrapositiva) se define formalmente como ¬q → ¬p. Para construirla, invertimos las posiciones de los componentes y negamos a ambos al mismo tiempo.

La contrarrecíproca sí es lógicamente equivalente a la proposición condicional original (p → q ≡ ¬q → ¬p). Esto significa que ambas comparten exactamente los mismos valores de verdad: si la condicional original es verdadera, su contrarrecíproca también lo es; si la primera es falsa, la segunda igualmente lo será.

Comprobamos esta relación en los siguientes casos prácticos:

Ejemplo 1

Dada la proposición «si llueve, entonces el suelo está mojado» (p → q), su contrarrecíproca es «si el suelo no está mojado, entonces no llueve» (¬q → ¬p).

Ambas son equivalentes. Si comprobamos que el suelo se encuentra seco, deducimos de manera directa que no puede estar lloviendo sobre él.

Ejemplo 2

Dada la proposición «si dos ángulos son opuestos por el vértice, entonces tienen la misma medida» (p → q), su contrarrecíproca es «si dos ángulos no tienen la misma medida, entonces no son opuestos por el vértice» (¬q → ¬p).

Existe equivalencia lógica total entre ambas declaraciones. Al constatar que dos ángulos poseen amplitudes distintas, descartamos inmediatamente que provengan del cruce de rectas como opuestos por el vértice.

Ejemplo 3

Dada la proposición «si n² es par, entonces n es par» (donde n es un número entero), su contrarrecíproca es «si n no es par (es impar), entonces n² no es par (es impar)».

Ambas proposiciones son equivalentes. Si tomamos un número impar de la forma n = 2k + 1, su cuadrado resulta (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1, que vuelve a ser impar; al ser verdadera la contrarrecíproca, la condicional directa queda demostrada automáticamente.

Demostración por contrarrecíproco

La equivalencia p → q ≡ ¬q → ¬p convierte a la contrarrecíproca en una herramienta directa para demostraciones indirectas. Cuando demostrar que una hipótesis p implica una conclusión q resulta algebraicamente complejo, partimos de la negación ¬q para deducir ¬p; al validar la contrarrecíproca, la condicional inicial queda demostrada.

Consideramos el siguiente enunciado sobre números enteros: «si el producto a · b es par, entonces a es par o b es par». En este teorema identificamos tres proposiciones simples:

• p: el producto a · b es par.
• q: a es par.
• r: b es par.

La estructura lógica corresponde a p → (q ∨ r). Para formular su contrarrecíproca, invertimos los términos y negamos la disyunción mediante las leyes de De Morgan, donde ¬(q ∨ r) ≡ ¬q ∧ ¬r. De este modo, la contrarrecíproca adopta la forma (¬q ∧ ¬r) → ¬p, cuyo enunciado verbal es: «si a es impar y b es impar, entonces el producto a · b es impar».

Para desarrollar la demostración, seguimos estos pasos:

1. Asumimos que tanto a como b son enteros impares, por lo que existen enteros k y m tales que a = 2k + 1 y b = 2m + 1.
2. Efectuamos el producto algebraico entre ambos términos: a · b = (2k + 1)(2m + 1) = 4km + 2k + 2m + 1.
3. Extraemos factor común 2 en los primeros tres términos de la expresión: a · b = 2(2km + k + m) + 1.
4. Definimos el entero t = 2km + k + m, obteniendo a · b = 2t + 1, lo que demuestra que el producto es un número impar (¬p).

Al comprobar que la contrarrecíproca es verdadera, queda demostrado el teorema condicional original.

Ejemplos de implicaciones asociadas

Para comprobar cómo interactúan las tres proposiciones derivadas y constatar sus valores de verdad frente a la implicación de origen, analizamos los siguientes cuatro casos.

Ejemplo 1

Tomamos la proposición condicional verdadera: «si una persona se encuentra en París, entonces se encuentra en Francia» (p → q). A partir de ella, construimos sus tres variantes:

• Recíproca (q → p): «si una persona se encuentra en Francia, entonces se encuentra en París». Esta afirmación es falsa porque la persona puede estar en otras ciudades francesas como Lyon o Marsella.
• Inversa (¬p → ¬q): «si una persona no se encuentra en París, entonces no se encuentra en Francia». Esta proposición es falsa porque no estar en París no impide residir o viajar por otra región francesa.
• Contrarrecíproca (¬q → ¬p): «si una persona no se encuentra en Francia, entonces no se encuentra en París». Esta afirmación es verdadera porque es imposible estar dentro de París si se está fuera del territorio francés.

Ejemplo 2

Consideramos la condicional geométrica verdadera: «si una figura geométrica es un cuadrado, entonces es un paralelogramo» (p → q). Evaluamos sus derivaciones lógicas:

• Recíproca (q → p): «si una figura geométrica es un paralelogramo, entonces es un cuadrado». Es falsa porque existen paralelogramos con lados de distinta longitud o con ángulos no rectos, como los romboides.
• Inversa (¬p → ¬q): «si una figura geométrica no es un cuadrado, entonces no es un paralelogramo». Es falsa porque figuras como los rectángulos no son cuadrados, pero conservan la condición de paralelogramo.
• Contrarrecíproca (¬q → ¬p): «si una figura geométrica no es un paralelogramo, entonces no es un cuadrado». Es verdadera porque todo cuadrado debe cumplir la definición de paralelogramo.

Ejemplo 3

Planteamos la condicional numérica verdadera: «si un número entero es múltiplo de 6, entonces es múltiplo de 3» (p → q). Formulamos las proposiciones asociadas:

• Recíproca (q → p): «si un número entero es múltiplo de 3, entonces es múltiplo de 6». Es falsa; por ejemplo, el número 9 es divisible por 3 pero no es múltiplo de 6.
• Inversa (¬p → ¬q): «si un número entero no es múltiplo de 6, entonces no es múltiplo de 3». Es falsa; tomando nuevamente el número 9, comprobamos que no es múltiplo de 6 y sí lo es de 3.
• Contrarrecíproca (¬q → ¬p): «si un número entero no es múltiplo de 3, entonces no es múltiplo de 6». Es verdadera porque un número que carece del factor primo 3 jamás podrá contener al factor 6.

Ejemplo 4

Partimos de la relación geométrica verdadera: «si dos ángulos son rectos, entonces tienen la misma medida». Examinamos sus tres variantes:

• Recíproca: «si dos ángulos tienen la misma medida, entonces son rectos». Es falsa porque dos ángulos pueden medir 45° cada uno y tener igual amplitud sin ser rectos.
• Inversa: «si dos ángulos no son rectos, entonces no tienen la misma medida». Es falsa porque dos ángulos agudos de 30° no son rectos pero comparten exactamente la misma amplitud.
• Contrarrecíproca: «si dos ángulos no tienen la misma medida, entonces no son rectos». Es verdadera porque dos ángulos de amplitudes diferentes no pueden medir ambos 90° de manera simultánea.

Tabla de verdad

Para comprobar las relaciones de equivalencia lógica, evaluamos simultáneamente los valores de verdad de las cuatro proposiciones a partir de todas las combinaciones posibles entre las proposiciones simples p y q mediante su tabla de verdad:

p	q	¬p	¬q	p → q	q → p	¬p → ¬q	¬q → ¬p
V	V	F	F	V	V	V	V
V	F	F	V	F	V	V	F
F	V	V	F	V	F	F	V
F	F	V	V	V	V	V	V

Al examinar las columnas resultantes, extraemos las siguientes conclusiones sobre la validez y equivalencia de cada estructura:

• Equivalencia entre condicional y contrarrecíproca: las columnas de p → q y ¬q → ¬p presentan valores idénticos en cada fila (V, F, V, V). Esto demuestra formalmente que ambas proposiciones son lógicamente equivalentes (p → q ≡ ¬q → ¬p), por lo que siempre comparten el mismo valor de verdad.
• Equivalencia entre recíproca e inversa: las columnas correspondientes a q → p y ¬p → ¬q coinciden en todas sus combinaciones (V, V, F, V). Por tanto, la recíproca y la inversa son equivalentes entre sí (q → p ≡ ¬p → ¬q), comportándose la inversa como la contrarrecíproca de la recíproca.
• Falta de equivalencia con la condicional original: al comparar la columna de p → q con las de q → p y ¬p → ¬q en las filas segunda y tercera, observamos que los valores difieren. Cuando una es verdadera, la otra resulta falsa, lo que confirma que no podemos inferir la verdad de la recíproca o de la inversa a partir de la verdad de la condicional inicial.

Ejercicios resueltos

Para cada una de las siguientes proposiciones condicionales, formular simbólica y verbalmente la proposición recíproca, la inversa y la contrarrecíproca, y determinar el valor de verdad de cada una:

1. Si una persona tiene fiebre, entonces su temperatura corporal supera los 37 °C.
2. Si un número entero es par, entonces el resto de dividirlo entre 2 es igual a 0.
3. Si un triángulo es rectángulo, entonces tiene dos ángulos agudos.
4. Si un polígono es un triángulo, entonces la suma de sus ángulos interiores es igual a 180°.
5. Si x = 3, entonces x² = 9.

Solución 1

Identificamos las proposiciones simples que componen el enunciado: p: «una persona tiene fiebre» y q: «su temperatura corporal supera los 37 °C».

• Original (p → q): «si una persona tiene fiebre, entonces su temperatura corporal supera los 37 °C». Es verdadera, ya que el aumento térmico por encima del rango normal es el indicador directo del cuadro febril.
• Recíproca (q → p): «si la temperatura corporal de una persona supera los 37 °C, entonces tiene fiebre». Es falsa; la temperatura puede elevarse tras realizar ejercicio físico intenso o por exposición a un golpe de calor ambiental, sin que exista fiebre.
• Inversa (¬p → ¬q): «si una persona no tiene fiebre, entonces su temperatura corporal no supera los 37 °C». Es falsa; la ausencia de fiebre no impide que la temperatura suba por factores externos o metabólicos.
• Contrarrecíproca (¬q → ¬p): «si la temperatura corporal de una persona no supera los 37 °C, entonces no tiene fiebre». Es verdadera; al no superar el umbral térmico, descartamos el estado febril.

Solución 2

Definimos las proposiciones simples: p: «un número entero es par» y q: «el resto de dividir el número entre 2 es igual a 0».

• Original (p → q): «si un número entero es par, entonces el resto de dividirlo entre 2 es igual a 0». Es verdadera por la definición de divisibilidad entera.
• Recíproca (q → p): «si el resto de dividir un número entero entre 2 es igual a 0, entonces es par». Es verdadera, ya que todo entero divisible de forma exacta por 2 corresponde al conjunto de los números pares.
• Inversa (¬p → ¬q): «si un número entero no es par, entonces el resto de dividirlo entre 2 no es igual a 0». Es verdadera; un número impar siempre deja resto 1 al dividirse entre 2.
• Contrarrecíproca (¬q → ¬p): «si el resto de dividir un número entero entre 2 no es igual a 0, entonces no es par». Es verdadera; obtener un resto distinto de 0 confirma que el número es impar.

Como la proposición original p → q y su recíproca q → p son verdaderas al mismo tiempo, ambas forman una bicondicional: «un número entero es par si y solo si el resto de dividirlo entre 2 es igual a 0» (p ↔ q).

Solución 3

Establecemos las proposiciones simples: p: «un triángulo es rectángulo» y q: «el triángulo tiene dos ángulos agudos».

• Original (p → q): «si un triángulo es rectángulo, entonces tiene dos ángulos agudos». Es verdadera; al poseer un ángulo recto de 90°, los otros dos ángulos deben sumar 90° entre sí, por lo que ambos miden menos de 90°.
• Recíproca (q → p): «si un triángulo tiene dos ángulos agudos, entonces es rectángulo». Es falsa; un triángulo acutángulo tiene tres ángulos agudos (cumple tener al menos dos) o un triángulo obtusángulo tiene dos ángulos agudos y uno obtuso, sin ser rectángulos.
• Inversa (¬p → ¬q): «si un triángulo no es rectángulo, entonces no tiene dos ángulos agudos». Es falsa; un triángulo oblicuángulo sigue conteniendo dos ángulos agudos en su estructura interna.
• Contrarrecíproca (¬q → ¬p): «si un triángulo no tiene dos ángulos agudos, entonces no es rectángulo». Es verdadera; si una figura triangular no cuenta con al menos dos ángulos agudos, no cumple la condición angular de un triángulo rectángulo.

Solución 4

Consideramos las componentes proposicionales: p: «un polígono es un triángulo» y q: «la suma de los ángulos interiores del polígono es igual a 180°».

• Original (p → q): «si un polígono es un triángulo, entonces la suma de sus ángulos interiores es igual a 180°». Es verdadera según el postulado de la suma angular en el plano euclidiano.
• Recíproca (q → p): «si la suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 180°, entonces es un triángulo». Es verdadera; la fórmula 180° · (n − 2) solo da 180° cuando el número de lados es n = 3.
• Inversa (¬p → ¬q): «si un polígono no es un triángulo, entonces la suma de sus ángulos interiores no es igual a 180°». Es verdadera; cualquier polígono con 4 o más lados suma 360° o más.
• Contrarrecíproca (¬q → ¬p): «si la suma de los ángulos interiores de un polígono no es igual a 180°, entonces no es un triángulo». Es verdadera; un polígono cuya suma difiera de 180° queda descartado como triángulo.

Al ser verdaderas la condicional directa y su recíproca en forma simultánea, establecemos la bicondicional: «un polígono es un triángulo si y solo si la suma de sus ángulos interiores es igual a 180°» (p ↔ q).

Solución 5

Definimos las proposiciones algebraicas: p: «x = 3» y q: «x² = 9».

• Original (p → q): «si x = 3, entonces x² = 9». Es verdadera, ya que elevar 3 al cuadrado produce 9.
• Recíproca (q → p): «si x² = 9, entonces x = 3». Es falsa; la ecuación cuadrática admite también la solución x = −3, pues (−3)² = 9.
• Inversa (¬p → ¬q): «si x ≠ 3, entonces x² ≠ 9». Es falsa; si tomamos x = −3, se cumple que es distinto de 3 pero su cuadrado sigue siendo 9.
• Contrarrecíproca (¬q → ¬p): «si x² ≠ 9, entonces x ≠ 3». Es verdadera; si el cuadrado de un número no es 9, dicho número no puede ser 3.