Ejercicios resueltos de conjuntos

Para hallar los elementos del conjunto A, resolvemos la ecuación cuadrática factorizando el trinomio:

x² − 5x − 6 = (x − 6)(x + 1) = 0

Las raíces obtenidas son x = 6 y x = −1. Dado que la condición inicial exige que x ∈ ℕ, descartamos el valor negativo. Por lo tanto:

A = {6}

Listamos las letras individuales que componen la palabra «excusa», omitiendo repeticiones para cumplir con la definición de conjunto:

Las letras son e, x, c, u, s, a. Ninguna se repite dentro de la palabra, por lo que el conjunto queda:

B = {a, c, e, s, u, x}

La conectiva lógica «∨» indica que debemos considerar los valores que satisfacen la primera ecuación, la segunda o ambas simultáneamente dentro del conjunto de los enteros ℤ:

Resolvemos la primera ecuación: x² − 9 = 0 ⇒ x² = 9 ⇒ x = 3 o x = −3.

Resolvemos la segunda ecuación: 2x − 1 = 9 ⇒ 2x = 10 ⇒ x = 5.

Reunimos todas las soluciones enteras:

C = {−3, 3, 5}

La desigualdad combinada 2 ≤ x < 7 restringe a los números naturales mayores o iguales que 2 y estrictamente menores que 7. Enumeramos los valores enteros que cumplen la condición:

D = {2, 3, 4, 5, 6}

La desigualdad con valor absoluto |x| < 3 es equivalente al intervalo abierto −3 < x < 3. Al buscar soluciones dentro del conjunto de los números enteros ℤ, tomamos los valores comprendidos entre ambos extremos:

E = {−2, −1, 0, 1, 2}

Los elementos corresponden a los primeros números pares positivos menores o iguales a 10. Una forma algebraica de expresarlo es:

F = {x ∈ ℕ / x es par ∧ 2 ≤ x ≤ 10}

Observamos que cada término es el cuadrado de un número natural consecutivo: 1², 2², 3², 4² y 5². Expresamos esta regla fijando el rango del exponente base:

G = {x² / x ∈ ℕ ∧ 1 ≤ x ≤ 5}

Los elementos son todos los múltiplos enteros de 3, extendiéndose de forma indefinida hacia los valores positivos y negativos. Por lo tanto, la propiedad se define sobre ℤ:

H = {3k / k ∈ ℤ}

O también:

H = {x ∈ ℤ / x = 3k ∧ k ∈ ℤ}

La colección contiene los números impares positivos menores que 12. La expresión por comprensión correspondiente es:

I = {x ∈ ℕ / x es impar ∧ x < 12}

O mediante la fórmula estándar de un número impar:

I = {2k − 1 / k ∈ ℕ ∧ 1 ≤ k ≤ 6}

1. Verdadero: La letra a figura explícitamente en la lista de elementos de E.
2. Verdadero: El objeto {a} es tratado aquí como un elemento individual que pertenece directamente a E.
3. Falso: El símbolo a representa un elemento sin llaves, por lo que no puede establecerse una relación de inclusión entre conjuntos.
4. Verdadero: Como el elemento a pertenece a E, el conjunto unitario {a} es un subconjunto de E.
5. Verdadero: Dado que {a} ∈ E, el conjunto que contiene a ese elemento, es decir {{a}}, está contenido en E.
6. Verdadero: El conjunto vacío ∅ está listado de forma textual como un elemento de E.
7. Verdadero: El conjunto vacío es, por definición, subconjunto de cualquier conjunto existente.
8. Verdadero: Al ser ∅ un elemento de E, formar un conjunto con él genera el subconjunto unitario {∅} contenido en E.

La unión reúne todos los elementos presentes en A o en B, escribiendo los elementos compartidos una sola vez:

A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

La intersección conserva únicamente los elementos que figuran al mismo tiempo en ambos conjuntos. Al comparar las listas, los números comunes son 4, 5 y 6:

A ∩ B = {4, 5, 6}

La diferencia A − B toma los elementos iniciales de A y descarta cualquiera que también pertenezca a B (los valores 4, 5 y 6):

A − B = {1, 2, 3}

La diferencia B − A parte de los elementos de B y quita los compartidos con A. Esto demuestra que la diferencia no es una operación conmutativa:

B − A = {7, 8}

El complemento A' reúne todos los elementos del universo U que no forman parte de A:

A' = U − A = {7, 8, 9, 10}

La diferencia simétrica se obtiene uniendo los elementos exclusivos de cada conjunto, es decir, (A − B) ∪ (B − A):

A Δ B = {1, 2, 3, 7, 8}

Resolvemos primero la operación entre paréntesis y luego calculamos la intersección con C:

Teníamos que A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Comparamos este resultado con C = {2, 4, 6, 8, 10} para extraer los elementos comunes:

(A ∪ B) ∩ C = {2, 4, 6, 8}

Determinamos en primer lugar la intersección B ∩ C identificando los elementos compartidos entre B y C, que son 4, 6 y 8:

B ∩ C = {4, 6, 8}

A continuación, restamos estos elementos del conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} eliminando el 4 y el 6:

A − (B ∩ C) = {1, 2, 3, 5}

Partimos de la intersección calculada previamente, A ∩ B = {4, 5, 6}. El complemento de este conjunto reúne todos los elementos de U excepto el 4, el 5 y el 6:

(A ∩ B)' = {1, 2, 3, 7, 8, 9, 10}

Efectuamos cada resta por separado antes de unir los resultados:

Para A − C, retiramos de A los elementos presentes en C (2, 4 y 6):

A − C = {1, 3, 5}

Para B − C, retiramos de B los elementos compartidos con C (4, 6 y 8):

B − C = {5, 7}

Unimos ambas colecciones resultantes:

(A − C) ∪ (B − C) = {1, 3, 5, 7}

La intersección A ∩ B corresponde a la superficie completa donde se solapan los círculos A y B, incluyendo la porción central que también toca a C. Sombreamos la zona común entre ambos círculos:

Al observar los elementos ubicados dentro del área sombreada, confirmamos analíticamente el resultado:

A ∩ B = {c, e}

Para representar B ∩ C, identificamos la superficie compartida entre los círculos B y C. Esta zona abarca tanto el sector exclusivo entre ambos como la parte compartida con A:

Los elementos encerrados dentro del sombreado forman el conjunto resultante:

B ∩ C = {e, h}

La operación A ∩ B ∩ C representa la intersección triple. Geométricamente corresponde a la única región central donde convergen los tres círculos al mismo tiempo:

El único elemento contenido en esta región central delimita el conjunto:

A ∩ B ∩ C = {e}

Para la operación (A ∩ B) − C, partimos de la zona de cruce entre A y B y retiramos la porción que queda dentro del círculo C. Queda sombreado únicamente el sector superior de la intersección:

Identificamos la letra contenida en el sector sombreado:

(A ∩ B) − C = {c}

En la diferencia A − (B ∪ C) tomamos el círculo A y descartamos cualquier superficie cubierta por B o por C. Queda sombreada de manera exclusiva la porción propia de A:

El elemento ubicado dentro de esta superficie exclusiva es:

A − (B ∪ C) = {d}

Para resolver (A ∪ B) ∩ C, consideramos toda el área que forman A y B juntos, pero retenemos únicamente los sectores que también pertenecen al círculo C. Con esto quedan sombreadas las intersecciones laterales y central que tocan a C:

Reuniendo los elementos que se encuentran en las tres regiones sombreadas, obtenemos:

(A ∪ B) ∩ C = {b, e, h}

El conjunto M tiene un cardinal de |M| = 3. Por lo tanto, el número total de subconjuntos que componen P(M) es 2³ = 8.

Para no omitir ningún elemento, agrupamos los subconjuntos de forma ordenada según su tamaño:

• Subconjunto de 0 elementos: ∅
• Subconjuntos de 1 elemento: {1}, {2}, {3}
• Subconjuntos de 2 elementos: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}
• Subconjunto de 3 elementos: {1, 2, 3}

Reuniendo todos los elementos dentro de una misma colección, obtenemos:

P(M) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

Primero escribimos el conjunto A por extensión determinando los números primos naturales menores que 10:

A = {2, 3, 5, 7}

Al contar sus elementos, verificamos que su cardinal es |A| = 4. Aplicamos la fórmula del cardinal del conjunto potencia:

|P(A)| = 2^|A| = 2⁴ = 16

Por lo tanto, el conjunto A tiene exactamente 16 subconjuntos.

Para hallar la cantidad de subconjuntos de A ∪ B, determinamos primero el cardinal de la unión utilizando el principio de inclusión-exclusión para dos conjuntos:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Sustituimos los valores dados:

|A ∪ B| = 4 + 5 − 3 = 6

Conocido el cardinal de la unión, calculamos la cantidad de subconjuntos aplicando la potencia de base 2:

|P(A ∪ B)| = 2⁶ = 64

El conjunto A ∪ B posee 64 subconjuntos en total.

Planteamos la relación entre el número de subconjuntos y el cardinal n del conjunto K:

2ⁿ = 128

Descomponemos el número 128 en sus factores primos:

128 = 2⁷

Al igualar las potencias de igual base, se obtiene que n = 7, de modo que el conjunto K posee 7 elementos.

Para determinar la cantidad de subconjuntos propios, restamos el conjunto total K de la cantidad global de subconjuntos:

Subconjuntos propios = 2ⁿ − 1 = 128 − 1 = 127

Por consiguiente, K tiene 7 elementos y admite 127 subconjuntos propios.

Definimos a I como el conjunto de los estudiantes que cursan inglés y a F como el conjunto de los que cursan francés dentro del universo U de 50 alumnos.

Como 6 personas no asisten a ninguno de los dos cursos, restamos este grupo del total para hallar el cardinal de la unión, es decir, los estudiantes que asisten a por lo menos un idioma:

|I ∪ F| = |U| − 6 = 50 − 6 = 44

Aplicamos la fórmula del principio de inclusión-exclusión para dos conjuntos:

|I ∪ F| = |I| + |F| − |I ∩ F|

Sustituimos los datos que conocemos:

44 = 32 + 28 − |I ∩ F|

44 = 60 − |I ∩ F|

Despejamos la intersección restando 44 a ambos miembros:

|I ∩ F| = 60 − 44 = 16

Por lo tanto, 16 estudiantes asisten a ambos talleres de idiomas simultáneamente.

Para determinar la cantidad de alumnos que cursan únicamente inglés, tomamos el total del conjunto I y le restamos los estudiantes que también aprenden francés, representados por la intersección I ∩ F:

|I − F| = |I| − |I ∩ F|

Reemplazamos con los valores hallados:

|I − F| = 32 − 16 = 16

Exactamente 16 alumnos estudian únicamente inglés.

Para encontrar cuántos estudiantes cursan un solo idioma, calculamos primero el grupo que estudia exclusivamente francés de forma análoga al paso anterior:

|F − I| = |F| − |I ∩ F| = 28 − 16 = 12

Una vez que conocemos ambas regiones exclusivas, sumamos los alumnos que cursan únicamente inglés con aquellos que cursan únicamente francés:

Total = |I − F| + |F − I| = 16 + 12 = 28

En total, 28 personas estudian un único idioma.