Conjunto infinito

Por Daniel Machado Actualizado: 23/09/2026

Un conjunto infinito es una colección de elementos cuyo proceso de conteo no termina nunca. A diferencia de los conjuntos finitos, donde es posible enumerar cada elemento hasta llegar a un último término, en un conjunto infinito siempre existen más elementos por considerar, sin importar cuántos se hayan contabilizado previamente.

Desde el punto de vista formal, un conjunto A es infinito si no existe ningún número natural n tal que sus elementos puedan ponerse en correspondencia biunívoca con el conjunto de referencia {1, 2, 3, ..., n}. En consecuencia, el tamaño o cardinal de un conjunto infinito no puede representarse mediante un número entero, por lo que se emplean símbolos específicos de la teoría de conjuntos para describir su tamaño.

Otra característica que define a los conjuntos infinitos es que pueden ponerse en correspondencia biunívoca con una parte propia de sí mismos. Mientras que en un conjunto finito cualquier subconjunto propio contiene estrictamente menos elementos que el total, en un conjunto infinito es posible asociar cada elemento del total con los elementos de una de sus partes sin que sobre ni falte ninguno.

Índice

Ejemplos

A continuación, analizamos algunos casos de colecciones infinitas:

El conjunto de los números naturales N = {1, 2, 3, 4, ...} es el ejemplo elemental de conjunto infinito, ya que para cualquier número que elijamos siempre existe un sucesor obtenido al sumar una unidad.
El conjunto de los números enteros Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} se extiende en dos sentidos opuestos, abarcando tanto los enteros positivos como los negativos y el cero.
El conjunto de los números pares P = {x ∈ Z | x = 2k, k ∈ Z} = {..., −4, −2, 0, 2, 4, ...} contiene una cantidad ilimitada de elementos. Aunque es un subconjunto de los números enteros, posee tantos elementos como el conjunto total al poder emparejarse uno a uno con él.
El conjunto de los números primos Pr = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...} no tiene un elemento final. Por el teorema de Euclides, la lista de números enteros mayores que 1 divisibles únicamente por 1 y por sí mismos continúa indefinidamente.
El conjunto de los números racionales Q = {a/b | a, b ∈ Z ∧ b ≠ 0} reúne todas las fracciones posibles. Entre dos fracciones distintas siempre podemos hallar otra intermedia, lo que genera una cantidad ilimitada de valores en cualquier tramo de la recta numérica.
El intervalo cerrado I = [0, 1] = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1} representa un segmento continuo de la recta real. A pesar de encontrarse delimitado entre el 0 y el 1, contiene una infinidad de números reales debido a la propiedad de continuidad.
El plano cartesiano R² = {(x, y) | x ∈ R ∧ y ∈ R} representa la totalidad de puntos en dos dimensiones. Cada punto queda determinado por un par ordenado de coordenadas reales, configurando una superficie con infinitos puntos tanto a lo largo de cada eje como en el espacio que definen.

Propiedades de los conjuntos infinitos

1) Correspondencia con un subconjunto propio: todo conjunto infinito puede ponerse en correspondencia biunívoca con al menos una parte propia de sí mismo. Esta condición distingue a los conjuntos infinitos de los finitos, donde ningún subconjunto propio puede igualar el cardinal del total.

2) Subconjuntos de un conjunto infinito: una parte extraída de un conjunto infinito no es necesariamente infinita. Dependiendo de los elementos seleccionados, un subconjunto puede ser finito o infinito.

3) Unión con conjuntos finitos: al unir un conjunto infinito con cualquier conjunto finito, la cantidad total de elementos se mantiene infinita y conserva el mismo cardinal transfinito.

A es infinito ∧ B es finito → |A ∪ B| = |A|

4) Unión de conjuntos infinitos: la unión de dos conjuntos infinitos produce siempre otro conjunto infinito. El tamaño resultante corresponde al cardinal del mayor de los conjuntos involucrados.

|A ∪ B| = máx(|A|, |B|)

5) Intersección con otros conjuntos: la intersección entre un conjunto infinito y un conjunto finito da como resultado un conjunto finito. Si se intersecan dos conjuntos infinitos, el resultado puede ser el conjunto vacío, un conjunto finito o un nuevo conjunto infinito.

6) Diferencia de conjuntos infinitos: al restar un conjunto finito a un conjunto infinito, la colección resultante permanece infinita sin modificar su cardinal. Si se restan dos conjuntos infinitos, el resultado puede dar lugar a un conjunto vacío, finito o infinito según los elementos compartidos.

A es infinito ∧ B es finito → |A − B| = |A|

7) Producto cartesiano infinito: el producto cartesiano de dos conjuntos infinitos genera un nuevo conjunto infinito formado por pares ordenados. En particular, el producto cartesiano de dos conjuntos infinitos numerables mantiene la misma cardinalidad que cada uno de ellos por separado.

8) Crecimiento por conjunto potencia: el teorema de Cantor establece que el conjunto de partes P(A) de cualquier conjunto infinito posee un cardinal estrictamente mayor que el del conjunto original. Esta relación determina que no existe un infinito máximo, ya que siempre es posible construir un conjunto con mayor número de elementos aplicando esta operación.

|P(A)| > |A|

Conjuntos numerables y no numerables

No todos los conjuntos infinitos poseen la misma cantidad de elementos. En teoría de conjuntos, el tamaño de una colección infinita se clasifica según la posibilidad de listar sus miembros en una secuencia ordenada utilizando los números naturales como guía.

Conjuntos infinitos numerables

Un conjunto infinito es numerable cuando es posible establecer una correspondencia biunívoca entre sus elementos y el conjunto de los números naturales N. Esto significa que podemos asignar a cada elemento una posición fija (primero, segundo, tercero) sin omitir ninguno a lo largo de una lista interminable.

El cardinal o tamaño de estos conjuntos se denota con el símbolo ℵ₀ (álef cero), que representa el nivel más pequeño de infinito:

Números naturales (N): representan la referencia directa del conteo infinito, por lo que su cardinal es |N| = ℵ₀.
Números enteros (Z): aunque contienen a los naturales y a sus opuestos negativos junto al cero, tienen la misma cantidad de elementos. Podemos listarlos alternando signos: 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, ..., lo que demuestra que |Z| = ℵ₀.
Números racionales (Q): a pesar de la densidad de las fracciones en la recta numérica, Georg Cantor demostró que es posible ordenar todos los números racionales positivos y negativos en un recorrido diagonal sin saltarse ninguno, de modo que |Q| = ℵ₀.
Subconjuntos infinitos de N: colecciones como los números pares, los impares o los números primos también tienen cardinal ℵ₀, ya que pueden emparejarse uno a uno con el conjunto de los números naturales.

Conjuntos infinitos no numerables

Un conjunto infinito es no numerable cuando resulta imposible ordenar la totalidad de sus elementos en una lista secuencial. Cualquier intento de enumerarlos deja invariablemente elementos por fuera, lo que indica que se trata de un infinito estrictamente mayor que ℵ₀.

El cardinal de estos conjuntos se asocia con el continuo y se denota mediante la letra c o como 2^ℵ₀. Esta magnitud surge al considerar espacios continuos sin interrupciones ni huecos:

Números reales (R): mediante el método de diagonalización de Cantor se comprueba que los decimales no pueden ponerse en correspondencia con los números naturales. Por lo tanto, |R| = c.
Intervalos reales: cualquier intervalo de la recta real, como el intervalo abierto (0, 1) o el cerrado [a, b] con a < b, contiene tantos puntos como la totalidad de la recta de los números reales.
Puntos del plano cartesiano (R²): el conjunto de coordenadas de dos dimensiones posee exactamente la misma cantidad de puntos que una recta continua individual, verificándose que |R²| = c.

Ejercicios resueltos

Para determinar si un conjunto es finito o infinito, o para comparar el tamaño de dos colecciones infinitas, se analiza la naturaleza de sus elementos o se busca una regla de asignación uno a uno entre ellos. A continuación, resolvemos cuatro ejercicios prácticos para aplicar estos criterios paso a paso.

Ejercicio 1

Consideremos los conjuntos definidos por comprensión A = {x ∈ Z | −2 ≤ x ≤ 3} y B = {x ∈ R | −2 ≤ x ≤ 3}. Determinar si cada uno es finito o infinito justificando la respuesta a partir de sus elementos.

Solución

Analizamos primero el conjunto A, cuyos elementos pertenecen al conjunto de los números enteros Z. Como entre −2 y 3 solo existe una cantidad determinada de valores enteros, podemos escribir el conjunto por extensión:

A = {−2, −1, 0, 1, 2, 3}

El conteo de sus miembros termina en un número entero no negativo, por lo que A es un conjunto finito con cardinal |A| = 6.

Evaluamos ahora el conjunto B, definido sobre los números reales R. Aunque el conjunto comienza en −2, no es posible determinar cuál es el número real que le sigue de forma inmediata: ¿sería acaso el −1,9, el −1,99 o el −1,999? Entre dos números reales distintos cualesquiera siempre existen otros números intermedios. Debido a esta propiedad de densidad y a la continuidad de la recta real, resulta imposible listar sus elementos uno tras otro, lo que confirma que B es un conjunto infinito.

Ejercicio 2

Demostrar que el conjunto de los números pares positivos P = {2, 4, 6, 8, ...} tiene la misma cantidad de elementos que el conjunto de los números naturales N = {1, 2, 3, 4, ...} construyendo una correspondencia biunívoca entre ambos.

Solución

Para demostrar que dos conjuntos infinitos tienen la misma cardinalidad, debemos asociar cada elemento de N con un único elemento de P sin que sobre ni falte ninguno en ninguno de los dos lados.

Definimos la función de asignación directa f(n) = 2n, donde n ∈ N. Aplicamos esta regla término a término:

Para n = 1: f(1) = 2(1) = 2
Para n = 2: f(2) = 2(2) = 4
Para n = 3: f(3) = 2(3) = 6
Para n = 4: f(4) = 2(4) = 8

A cada número natural le corresponde exactamente un número par positivo (el doble de su valor), y cualquier número par positivo proviene de la mitad de sí mismo en los números naturales. Al existir esta biyección, comprobamos que ambos conjuntos poseen exactamente el mismo tamaño, es decir, |P| = |N| = ℵ₀.

Ejercicio 3

Demostrar que el conjunto de los números impares positivos I = {1, 3, 5, 7, ...} posee el mismo cardinal que el conjunto de los números naturales N = {1, 2, 3, 4, ...} mediante una función biyectiva.

Solución

Buscamos una regla algebraica que conecte a cada número natural con un número impar positivo de manera única y ordenada.

Planteamos la función g(n) = 2n − 1 para todo n ∈ N y evaluamos los primeros valores:

Para n = 1: g(1) = 2(1) − 1 = 1
Para n = 2: g(2) = 2(2) − 1 = 3
Para n = 3: g(3) = 2(3) − 1 = 5
Para n = 4: g(4) = 2(4) − 1 = 7

La relación asigna a cada elemento de N un único número impar sin dejar elementos vacantes ni repetir asignaciones. Por lo tanto, queda demostrada la correspondencia biunívoca, concluyendo que el conjunto de los impares positivos tiene la misma cantidad de elementos que los naturales: |I| = |N| = ℵ₀.

Ejercicio 4

Sean los conjuntos A = {x ∈ R | x ≥ 0}, B = {x ∈ R | x ≤ 4} y C = {1, 2, 3}. Resolver las operaciones A ∩ B y A ∩ C e indicar en cada caso si el conjunto resultante es finito o infinito.

Solución

Para resolver la primera operación, buscamos los números reales que satisfacen al mismo tiempo ambas desigualdades: x ≥ 0 y x ≤ 4. La combinación de ambas condiciones define el intervalo cerrado:

A ∩ B = [0, 4] = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 4}

Como se trata de un intervalo de números reales, contiene un continuo de puntos sin huecos ni saltos, por lo que A ∩ B es un conjunto infinito no numerable.

Para la segunda operación, analizamos cuáles elementos del conjunto finito C pertenecen también al conjunto A (números reales mayores o iguales a cero):