Ley del tercero excluido

El principio del tercero excluido es una ley fundamental de la lógica proposicional que establece que toda proposición necesariamente debe ser verdadera o su negación debe ser verdadera. No existe una tercera posibilidad intermedia o alternativa. 

Formalmente, si representamos una proposición cualquiera con la letra p, el principio se expresa de esta forma:

p ∨ ¬p

Se lee: "p o no p". Esta fórmula, aunque utiliza el conectivo de disyunción inclusiva (∨), abarca la totalidad de las posibilidades lógicas para p: ser verdadera (p) o ser falsa (¬p). Las dos opciones son mutuamente excluyentes.

Un ejemplo cotidiano es el estado de un interruptor de luz: "la luz está encendida o la luz no está encendida". Estas dos opciones abarcan la totalidad de los posibles estados físicos del sistema, sin dejar lugar a una tercera condición.

Demostración

El enunciado p ∨ ¬p es una tautología, es decir, una proposición compuesta que es verdadera en todos los casos posibles, sin importar los valores de verdad de sus componentes. La manera más clara de verificar esto es mediante una tabla de verdad:

p	¬p	p ∨ ¬p
V	F	V
F	V	V

Como se observa, la columna final (p ∨ ¬p) resulta siempre verdadera (V). Esto confirma que, para cualquier proposición p, la afirmación "p o no p" es cierta.

Esta ley también es conocida como el principio del tercio excluso o, en latín, tertium non datur, que significa literalmente "no se da un tercero". Esta denominación enfatiza la misma idea: entre una afirmación y su negación, no se concede una tercera opción o estado intermedio.

El principio del tercero excluido es uno de los tres pilares fundamentales de la lógica clásica bivalente (de dos valores: verdadero y falso), junto con:

• La ley de identidad: formalmente, p → p, establece que toda proposición es idéntica a sí misma.
• El principio de no contradicción (PNC): formalmente, ¬(p ∧ ¬p), afirma que una proposición no puede ser verdadera y falsa simultáneamente.

Es importante no confundir el principio del tercero excluido con el principio de no contradicción, a pesar de su estrecha relación. El principio de no contradicción declara que es imposible que una proposición y su negación sean ambas verdaderas al mismo tiempo, es decir, excluye la conjunción o superposición de ambos valores. Por su parte, el principio del tercio excluido afirma que al menos una de las dos (la proposición o su negación) debe ser verdadera, con lo que excluye cualquier posibilidad intermedia o un tercer valor.

Ejemplos

Para comprender mejor cómo opera la ley, veamos algunos ejemplos.

• El estado de un objeto digital: "este archivo de ordenador está abierto o no está abierto". No existe un estado intermedio para esta condición específica.
• Al lanzar una moneda al aire, podemos afirmar: "la moneda muestra cara o no muestra cara (es decir, muestra cruz)". Estas dos opciones agotan todas las posibilidades del resultado.
• Sobre la condición de membresía: "Juan es socio del club o no es socio del club". No hay una tercera categoría que escape a esta disyunción lógica.
• En aritmética elemental: "el número entero 7 es par o no es par (es decir, es impar)". Esta afirmación es necesariamente verdadera.
• En geometría básica, considerando una figura específica: "este triángulo es equilátero o no es equilátero". La figura o cumple con la definición o no la cumple.

Es crucial distinguir entre términos contrarios y términos contradictorios para aplicar correctamente el principio. El principio del tercero excluido sólo se aplica a pares contradictorios, donde la verdad de uno implica la falsedad del otro. En cambio, dos términos contrarios comparten un rango de posibilidades intermedias.

En el lenguaje diario a menudo usamos pares de contrarios, lo que puede llevar a malentendidos. Por ejemplo, la frase "el vestido es blanco o es negro" no es una instancia del principio, porque si el vestido no es blanco, podría ser azul, rojo, gris, etc., no necesariamente negro. La formulación correcta según la lógica bivalente sería "el vestido es blanco o no es blanco". 

La lógica clásica no admite "grises" o estados intermedios para una proposición atómica dada: una proposición debe ser verdadera o falsa. Así, aunque digamos "el cielo está medio nublado", para la lógica proposicional la afirmación "el cielo está nublado" será evaluada finalmente como verdadera o falsa según un criterio definido.

Aplicaciones

El principio del tercero excluido es la base lógica que sustenta un método de demostración utilizado en matemáticas: la reducción al absurdo (también llamada demostración indirecta o por contradicción).

Este método se emplea para demostrar que una proposición p es verdadera. Para ello, se parte de suponer lo contrario: que p es falsa, es decir, que su negación (¬p) es verdadera. A partir de esta suposición ¬p, se procede mediante deducciones lógicas (utilizando axiomas y teoremas ya conocidos) hasta llegar a una contradicción.

La contradicción obtenida (por ejemplo, deducir que un enunciado q y su negación ¬q son ambos verdaderos) demuestra que nuestra suposición inicial (¬p) es insostenible, ya que viola el principio de no contradicción. 

Según la ley del tercio excluido, si ¬p ha llevado a un imposible lógico y, por tanto, no puede ser verdadera, la única posibilidad restante es que la otra parte de la disyunción (p ∨ ¬p) sea verdadera. En consecuencia, se concluye que p debe ser necesariamente verdadera, lo que se quería probar desde el inicio.