Ley de la no contradicción

La ley de la no contradicción es un principio fundamental en lógica clásica que establece que una proposición y su negación no pueden ser verdaderas simultáneamente. En otras palabras, es imposible que un enunciado y su opuesto lógico tengan el mismo valor de verdad dentro de un mismo contexto y en el mismo instante.

Esta idea se expresa simbólicamente con la fórmula ¬(p ∧ ¬p), donde se niega la conjunción entre una proposición p y su negación ¬p, asegurando que la conjunción "p y no-p" es siempre falsa.

Un ejemplo cotidiano sería considerar la proposición "está lloviendo". Según esta ley, no es posible que sea verdad que "está lloviendo y no está lloviendo" al mismo tiempo y en el mismo lugar, ambas condiciones no pueden coexistir en la realidad.

Demostración

La fórmula ¬(p ∧ ¬p) es una tautología, esto significa que su valor de verdad es siempre verdadero, independientemente del valor de verdad que se asigne a la proposición p. La tabla de verdad demuestra esta característica:

Como se observa, la columna final ¬(p ∧ ¬p) muestra un valor verdadero para todas las posibles combinaciones. 

El principio de no contradicción es uno de los tres axiomas fundamentales de la lógica clásica, junto con el principio de identidad (que afirma que toda proposición es idéntica a sí misma, p → p) y el principio del tercero excluido (que establece que para cualquier proposición p, o bien p es verdadera o bien ¬p es verdadera, p ∨ ¬p). 

Ejemplos

Una forma útil de visualizar este principio es pensar en un interruptor de luz: es imposible que el foco esté encendido y apagado exactamente al mismo tiempo. El estado de "encendido" y el estado de "apagado" son mutuamente excluyentes; la afirmación de que ambos son simultáneamente verdaderos es necesariamente falsa.

Otros ejemplos donde vemos este principio son:

• La afirmación "la puerta está abierta y cerrada a la vez" es contradictoria, ya que los estados de "abierta" y "cerrada" se niegan mutuamente bajo las mismas condiciones.
• En el enunciado "hoy es martes y no es martes", se viola la ley, pues un día no puede pertenecer y no pertenecer al mismo tiempo al conjunto de los martes.
• La opinión "en este restaurante la comida es excelente y pésima" es contradictoria, ya que los juicios de valor "excelente" y "pésimo" son mutuamente excluyentes para una misma evaluación.
• Un número entero no puede ser simultáneamente par e impar, por lo que la proposición "el número 7 es par y no es par" es una contradicción lógica.
• En geometría, una figura no puede ser un cuadrado y no tener los cuatro lados iguales, haciendo falsa cualquier afirmación que sostenga ambas cosas.

Aplicaciones

La ley de la no contradicción hace posible un método de demostración fundamental en matemáticas: la reducción al absurdo (reductio ad absurdum). Este método se fundamenta precisamente en que, dado que una contradicción formal (p ∧ ¬p) es siempre falsa según este principio, cualquier línea de razonamiento que la genere debe contener una premisa falsa.

El proceso es el siguiente: para demostrar que una proposición p es verdadera, se inicia asumiendo temporalmente lo contrario, es decir, que p es falsa (¬p). Esta suposición se incorpora al conjunto de premisas que se saben verdaderas. A partir de ahí, se desarrolla una cadena lógica deductiva. 

Si, al seguir este proceso, se llega a una contradicción explícita, se ha demostrado que la conjunción entre las premisas verdaderas y la suposición ¬p es imposible. Dado que las premisas originales son incuestionables, la única fuente del error es la suposición inicial. Por lo tanto, ¬p debe ser falsa. Y, por el principio del tercero excluido, si ¬p es falsa, entonces p es necesariamente verdadera.