Reglas de inferencia

Las reglas de inferencia son esquemas o patrones lógicos formales que permiten deducir válidamente una conclusión a partir de una o más proposiciones dadas llamadas premisas. Constituyen la base del razonamiento deductivo formal y garantizan que, si las premisas iniciales son verdaderas, la conclusión obtenida necesariamente también lo será.

En la lógica proposicional, cada regla de inferencia representa una tautología condicional. Esto significa que al unir todas las premisas mediante conjunciones (∧) y relacionarlas con la conclusión mediante un condicional (→), la proposición resultante es verdadera para todas las combinaciones posibles de valores de verdad.

A diferencia de las leyes de equivalencia lógica, que permiten sustituir proposiciones con el mismo valor de verdad en ambos sentidos mediante un bicondicional (↔), las leyes de inferencia operan en un único sentido deductivo. Su propósito principal es avanzar paso a paso en las demostraciones formales sin alterar la validez del argumento.

Tabla de reglas de inferencia más utilizadas

En la siguiente tabla veremos las reglas más empleadas en la lógica proposicional, acompañadas de su notación formal y un ejemplo en lenguaje natural.

Regla	Formato condicional	Formato vertical	Ejemplo
Modus ponens (MP)	[(p → q) ∧ p] → q	$$\begin{matrix} p \rightarrow q \\ p \\ \hline \therefore q \end{matrix}$$	Si llueve, el suelo se moja. Llueve. Por lo tanto, el suelo se moja.
Modus tollens (MT)	[(p → q) ∧ ¬q] → ¬p	$$\begin{matrix} p \rightarrow q \\ \neg q \\ \hline \therefore \neg p \end{matrix}$$	Si llueve, el suelo se moja. El suelo no está mojado. Por lo tanto, no llueve.
Silogismo hipotético (SH)	[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)	$$\begin{matrix} p \rightarrow q \\ q \rightarrow r \\ \hline \therefore p \rightarrow r \end{matrix}$$	Si estudio, apruebo el examen. Si apruebo el examen, celebro. Por lo tanto, si estudio, celebro.
Silogismo disyuntivo (SD)	[(p ∨ q) ∧ ¬p] → q	$$\begin{matrix} p \lor q \\ \neg p \\ \hline \therefore q \end{matrix}$$	Viajo en tren o en autobús. No viajo en tren. Por lo tanto, viajo en autobús.
Simplificación	(p ∧ q) → p	$$\begin{matrix} p \land q \\ \hline \therefore p \end{matrix}$$	Tengo un perro y tengo un gato. Por lo tanto, tengo un perro.
Conjunción	(p ∧ q) → (p ∧ q)	$$\begin{matrix} p \\ q \\ \hline \therefore p \land q \end{matrix}$$	El cielo está despejado. Hace calor. Por lo tanto, el cielo está despejado y hace calor.
Adición	p → (p ∨ q)	$$\begin{matrix} p \\ \hline \therefore p \lor q \end{matrix}$$	Tengo una manzana. Por lo tanto, tengo una manzana o tengo una naranja.
Dilema constructivo (DC)	[(p → q) ∧ (r → s) ∧ (p ∨ r)] → (q ∨ s)	$$\begin{matrix} p \rightarrow q \\ r \rightarrow s \\ p \lor r \\ \hline \therefore q \lor s \end{matrix}$$	Si voy al cine gasto dinero, y si voy al parque camino. Voy al cine o voy al parque. Por lo tanto, gasto dinero o camino.
Dilema destructivo (DD)	[(p → q) ∧ (r → s) ∧ (¬q ∨ ¬s)] → (¬p ∨ ¬r)	$$\begin{matrix} p \rightarrow q \\ r \rightarrow s \\ \neg q \lor \neg s \\ \hline \therefore \neg p \lor \neg r \end{matrix}$$	Si cocino compro comida, y si salgo tomo un taxi. No compré comida o no tomé un taxi. Por lo tanto, no cociné o no salí.
Absorción	(p → q) → [p → (p ∧ q)]	$$\begin{matrix} p \rightarrow q \\ \hline \therefore p \rightarrow (p \land q) \end{matrix}$$	Si corro, me canso. Por lo tanto, si corro, entonces corro y me canso.
Ley de casos	[(p → q) ∧ (¬p → q)] → q	$$\begin{matrix} p \rightarrow q \\ \neg p \rightarrow q \\ \hline \therefore q \end{matrix}$$	Si voy al trabajo uso camisa, y si me quedo en casa uso camisa. Por lo tanto, uso camisa.

Ejemplos de las leyes de inferencia

A continuación examinamos en detalle las reglas deductivas más utilizadas, su estructura condicional y ejemplos aplicados a diferentes contextos.

Modus ponens

El modus ponens, cuyo nombre en latín significa «el modo que al afirmar, afirma», es la regla más intuitiva de la lógica proposicional. Establece que si una implicación condicional es verdadera y simultáneamente su antecedente ocurre, entonces el consecuente necesariamente debe ser verdadero.

Su expresión condicional como tautología se escribe como [(p → q) ∧ p] → q. Esta regla constituye la base directa de los sistemas de deducción natural y de la ejecución secuencial de instrucciones en programación.

Ejemplos

• Premisa 1: Si la luz del semáforo está en rojo, entonces el conductor detiene el vehículo.
  Premisa 2: La luz del semáforo está en rojo.
  Conclusión: Por lo tanto, el conductor detiene el vehículo.
• Premisa 1: Si un estudiante aprueba el examen final, entonces promociona la materia.
  Premisa 2: El estudiante aprobó el examen final.
  Conclusión: Por lo tanto, promociona la materia.
• Premisa 1: Si un número entero n es divisible por 4, entonces n es un número par.
  Premisa 2: El número 16 es divisible por 4.
  Conclusión: Por lo tanto, el número 16 es un número par.

Modus tollens

El modus tollens proviene de la expresión latina «el modo que al negar, niega». Esta regla determina que si una condicional es válida y su consecuente resulta ser falso, el antecedente obligatoriamente no pudo haber ocurrido.

En notación formal, su estructura corresponde a la tautología [(p → q) ∧ ¬q] → ¬p. Es una herramienta indispensable en demostraciones por contradicción y en el método científico para descartar hipótesis cuando los resultados esperados no se cumplen.

Ejemplos

• Premisa 1: Si hay fuego en el bosque, entonces se observa humo en el cielo.
  Premisa 2: No se observa humo en el cielo.
  Conclusión: Por lo tanto, no hay fuego en el bosque.
• Premisa 1: Si un polígono es un cuadrado, entonces tiene exactamente cuatro lados.
  Premisa 2: Esta figura geométrica no tiene cuatro lados.
  Conclusión: Por lo tanto, la figura no es un cuadrado.
• Premisa 1: Si una función f(x) es derivable en un punto x = a, entonces f(x) es continua en ese punto.
  Premisa 2: La función no es continua en x = a.
  Conclusión: Por lo tanto, la función no es derivable en x = a.

Silogismo hipotético

El silogismo hipotético expresa la propiedad transitiva de la implicación lógica. Nos indica que si una primera condición produce un resultado intermedio, y dicho resultado intermedio desencadena una tercera consecuencia, existe una relación directa entre el punto de partida y el desenlace final.

Su representación formal como condicional tautológico es [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r). Esta regla permite construir cadenas argumentativas complejas y enlazar teoremas sucesivos en matemáticas.

Por ejemplo, si consideramos que al ahorrar dinero mensualmente se pueden comprar pasajes de avión, y al comprar dichos pasajes se concreta un viaje a otro país, se concluye directamente que al ahorrar dinero mensualmente se viajará a otro país. En el ámbito algebraico, si se establece que x > 5 → x > 2 y además que x > 2 → x > 0, se deduce inmediatamente que x > 5 → x > 0.

Silogismo disyuntivo

El silogismo disyuntivo modela el razonamiento por descarte entre alternativas exclusivas en un contexto dado. Si se tiene la certeza de que al menos una de dos proposiciones es verdadera y se logra refutar una de ellas, la proposición restante debe asumirse como verdadera de forma obligatoria.

Formalmente se describe mediante el esquema [(p ∨ q) ∧ ¬p] → q, o bien [(p ∨ q) ∧ ¬q] → p. Es la regla lógica más habitual en la resolución de problemas donde se reducen opciones posibles.

Como ejemplo cotidiano, consideremos la afirmación de que el pago de una compra se realiza con tarjeta de débito o con dinero en efectivo. Si se verifica que el comprador no dispone de dinero en efectivo, se concluye necesariamente que el pago se realiza con tarjeta de débito. Matemáticamente, si una ecuación tiene como soluciones posibles x = 3 o x = -3, y se demuestra que x ≠ -3, se infiere que x = 3.

Simplificación y adición

Las reglas de simplificación y adición operan respectivamente sobre las conectivas de conjunción y disyunción. La simplificación permite extraer cualquier componente individual de una conjunción verdadera mediante la fórmula (p ∧ q) → p, ya que si ambas partes son ciertas a la vez, cada una lo es por separado.

Por otro lado, la adición permite añadir cualquier proposición arbitraria a una afirmación verdadera mediante una disyunción, bajo el esquema p → (p ∨ q). Dado que una disyunción solo requiere que uno de sus términos sea verdadero para ser válida en su totalidad, la veracidad de la proposición original garantiza el valor del conjunto.

Un caso elemental de simplificación ocurre cuando se afirma que un triángulo es equilátero y equiángulo, deduciendo inmediatamente que el triángulo es equilátero. En el caso de la adición, si se sabe con certeza que el número 2 es un número primo, es formalmente válido concluir que 2 es primo o 2 es impar.

Demostración de las reglas mediante tablas de verdad

Toda regla de inferencia válida constituye una tautología condicional. Esto significa que al evaluar la estructura completa del argumento mediante una tabla de verdad, la columna del condicional principal arroja un valor verdadero (V) en todas sus filas posibles, sin importar las combinaciones de las proposiciones simples.

Para comprobar la validez formal de una regla, se construye la tabla uniendo las premisas a través de conjunciones (∧) como antecedente y colocando la conclusión como consecuente de la implicación principal (→).

Demostración del modus ponens

La estructura lógica a evaluar es [(p → q) ∧ p] → q. En esta tabla comprobamos cómo la conjunción entre la implicación inicial y la afirmación de su antecedente garantiza siempre la verdad de la conclusión.

p	q	p → q	(p → q) ∧ p	[(p → q) ∧ p] → q
V	V	V	V	V
V	F	F	F	V
F	V	V	F	V
F	F	V	F	V

Como la última columna contiene únicamente valores verdaderos, queda formalmente demostrado que el modus ponens es un razonamiento válido y tautológico.

Demostración del modus tollens

Para el modus tollens analizamos la proposición compuesta [(p → q) ∧ ¬q] → ¬p. Aquí evaluamos el efecto de negar el consecuente sobre la implicación condicional de partida.

p	q	¬p	¬q	p → q	(p → q) ∧ ¬q	[(p → q) ∧ ¬q] → ¬p
V	V	F	F	V	F	V
V	F	F	V	F	F	V
F	V	V	F	V	F	V
F	F	V	V	V	V	V

El resultado final es idéntico: al obtener una columna final exclusivamente verdadera, se ratifica la validez universal del modus tollens en la lógica proposicional.

Demostración de la simplificación

En la regla de simplificación analizamos la fórmula condicional (p ∧ q) → p. El propósito es verificar que a partir de una conjunción verdadera siempre es legítimo deducir cualquiera de sus componentes de forma individual.

p	q	p ∧ q	(p ∧ q) → p
V	V	V	V
V	F	F	V
F	V	F	V
F	F	F	V

La obtención de valores verdaderos en todos los casos confirma que extraer una proposición aislada de una conjunción válida constituye una deducción plenamente tautológica.

Bibliografía

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