Equivalencias lógicas

Daniel Machado · Actualizado el 02/11/2025

En lógica proposicional, dos expresiones son lógicamente equivalentes cuando poseen tablas de verdad idénticas para todas las combinaciones de valores de verdad de sus variables. Esto significa que afirman lo mismo, solo que de forma distinta. En la práctica, podemos sustituir una por la otra en cualquier expresión sin alterar su validez, y la relación de equivalencia se simboliza con ≡.

La herramienta fundamental para demostrar una equivalencia es el bicondicional (↔). Si la proposición p ↔ q es una tautología (siempre es verdadera), entonces p y q son lógicamente equivalentes, lo que denotamos como p ≡ q. Para demostrar que dos proposiciones son equivalentes podemos construir sus tablas de verdad; si la columna final de resultados es idéntica para ambas, son lógicamente equivalentes.

Índice

Lista de equivalencias lógicas

A continuación veremos las equivalencias más importantes en lógica matemática.

Equivalencias fundamentales

En las siguientes propiedades, V es una tautología (una proposición siempre verdadera), mientras que F es una contradicción (una proposición siempre falsa).

Nombre	Fórmula	Descripción
Leyes de identidad	p ≡ p p → p p ∧ V ≡ p p ∨ F ≡ p	Toda proposición es idéntica a sí misma. Si una proposición es verdadera, entonces es verdadera, y si es falsa, entonces es falsa.
Ley de la no contradicción	¬ (p ∧ ¬p)	Una proposición no puede ser verdadera y falsa al mismo tiempo.
Ley del tercero excluido	p ∨ ¬p	Una proposición es o bien verdadera o bien falsa, una tercera opción.
Doble negación	¬(¬p) ≡ p	Afirmar que algo no es falso es lo mismo que afirmar que es verdadero.
Leyes de idempotencia	p ∨ p ≡ p p ∧ p ≡ p	Repetir una misma proposición con “y” u “o” no añade nueva información.
Leyes de dominación	p ∨ V ≡ V p ∧ F ≡ F	La disyunción entre una proposición y una tautología es siempre verdadera. La conjunción entre una proposición y una contradicción es siempre falsa.
Leyes conmutativas	p ∨ q ≡ q ∨ p p ∧ q ≡ q ∧ p	El orden de las proposiciones en una conjunción o disyunción no altera el resultado.
Leyes asociativas	(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)	Cuando tenemos la misma conectiva (conjunción o disyunción), la forma de agrupar no importa.
Leyes distributivas	p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)	La conjunción y la disyunción se pueden distribuir una sobre la otra, similar al álgebra.
Leyes de absorción	p ∨ (p ∧ q) ≡ p p ∧ (p ∨ q) ≡ p	La disyunción de una proposición con una conjunción donde ella misma aparece es equivalente a la proposición original, lo mismo ocurre si se intercambian los símbolos.

Demostraremos que la proposición ¬(¬p) es equivalente a p, para esto construimos la tabla de verdad:

p	¬p	¬(¬p)
V	F	V
F	V	F

Los valores de la primera columna p coinciden en cada fila con los de ¬(¬p), por esto podemos afirmar que son proposiciones equivalentes, y escribimos ¬(¬p) ≡ p.

Del mismo modo podemos hacerlo cuando hay más variables. Demostremos la conmutatividad de la disyunción: p ∨ q ≡ q ∨ p:

p	q	p ∨ q	q ∨ p
V	V	V	V
V	F	V	V
F	V	V	V
F	F	F	F

Podemos ver que las columnas p ∨ q y q ∨ p son exactamente iguales, por esto es seguro afirmar que son expresiones equivalentes.

Leyes de De Morgan

Nombre	Fórmula	Descripción
Negación de la conjunción	¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q	La negación de la conjunción es equivalente a la disyunción de las negaciones.
Negación de la disyunción	¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q	La negación de la disyunción es equivalente a la conjunción de las negaciones.

Leyes del condicional y el bicondicional

Nombre	Fórmula	Descripción
Definición del condicional	p → q ≡ ¬p ∨ q	Un condicional es equivalente a la disyunción entre la negación del antecedente y el consecuente
Negación del condicional	¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q	La negación de un condicional es equivalente a la conjunción del antecedente y la negación del consecuente
Contraposición del condicional	p → q ≡ ¬q → ¬p	Una implicación es equivalente a su contrarrecíproca.
Leyes de expansión	(p → q) ≡ (p ∨ q) ↔ q (p → q) ≡ (p ∧ q) ↔ p	Un condicional puede expresarse como un bicondicional entre la conjunción (o disyunción) de sus componentes y el consecuente (o el antecedente)
Definición de bicondicional	p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)	El bicondicional es equivalente a la conjunción de dos condicionales: uno de ida y otro de vuelta.
Negación del bicondicional	¬(p ↔ q) ≡ (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)	Negar un bicondicional es lo mismo que afirmar que una proposición es verdadera y la otra falsa, o viceversa.
Contraposición del bicondicional	(p ↔ q) ≡ (¬q ↔ ¬p)	El bicondicional de dos proposiciones es equivalente al bicondicional de sus negaciones.

Aplicación en la simplificación de proposiciones

El verdadero poder de las equivalencias lógicas se aprecia al simplificar proposiciones complejas. Una equivalencia como p ∧ q ≡ q ∧ p nos indica que, en cualquier expresión donde aparezca p ∧ q, podemos reemplazarla directamente por q ∧ p sin alterar el significado global. Este proceso sistemático de sustitución permite reducir fórmulas largas e intrincadas a otras más simples y manejables.

Ejercicio: simplificar las siguientes expresiones proposicionales usando equivalencias lógicas.

¬(p ∨ q) ∨ (¬p ∧ q)
(p → q) ∧ (p ∨ q)
¬p → (q → p)
(p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q)
¬(p → q) ∨ (¬p ∧ ¬q)

Solución 1

Enunciado original: ¬(p ∨ q) ∨ (¬p ∧ q)

Vamos a simplificar esta expresión. Comenzaremos aplicando la Ley de De Morgan para luego distribuir y buscar términos que se anulen.

¬(p ∨ q) ∨ (¬p ∧ q) (expresión original)

(¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) (ley de De Morgan en ¬(p ∨ q))

¬p ∧ (¬q ∨ q) (ley distributiva inversa, factorizando ¬p)

¬p ∧ V (ley del tercero excluido: ¬q ∨ q es una tautología, V)

¬p (ley de identidad)

La proposición se simplifica a ¬p.

Solución 2

Enunciado original: (p → q) ∧ (p ∨ q)

Comenzaremos transformando la condicional (→) en su equivalente con disyunción.

(p → q) ∧ (p ∨ q) (expresión original)

(¬p ∨ q) ∧ (p ∨ q) (definición de condicional)

(q ∨ ¬p) ∧ (q ∨ p) (ley conmutativa en ambos paréntesis)

q ∨ (¬p ∧ p) (ley distributiva inversa, factorizando q)

q ∨ F (porque ¬p ∧ p es una contradicción, F)

q (Ley de identidad)

La proposición se simplifica a q.

Solución 3

Enunciado original: ¬p → (q → p)

Transformaremos todas las condicionales para trabajar solo con conjunciones y disyunciones. Luego, simplificaremos usando las leyes de complementación.

¬p → (q → p) (expresión original)

¬(¬p) ∨ (q → p) (definición de implicación)

p ∨ (q → p) (doble negación)

p ∨ (¬q ∨ p) (definición de implicación)

p ∨ (p ∨ ¬q) (ley conmutativa)

(p ∨ p) ∨ ¬q (ley asociativa)

p ∨ ¬q (ley de idempotencia)

Solución 4

Enunciado original: (p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q)

Este es un caso claro donde podemos aplicar la ley distributiva "al revés" para factorizar la variable común y simplificar.

(p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q) (expresión original)

p ∧ (¬q ∨ q) (ley distributiva, factorizando p)