Simplificación de proposiciones lógicas

Simplificar una proposición lógica significa encontrar una expresión equivalente que sea más corta, utilice menos conectores lógicos y tenga menos variables repetidas. Este proceso nos permite trabajar con estructuras más manejables sin alterar su valor de verdad. 

En álgebra tradicional, una expresión como 2x + 4x la simplificamos a 6x. De la misma manera, en el álgebra de proposiciones, transformamos una fórmula compleja en una más simple que signifique exactamente lo mismo.

La equivalencia lógica es la clave: recordemos que dos proposiciones son equivalentes si sus tablas de verdad son idénticas. Por lo tanto, la proposición original y su versión simplificada serán verdaderas o falsas bajo las mismas condiciones. 

Leyes del álgebra de proposiciones

Para simplificar proposiciones, utilizamos un conjunto de leyes o reglas de equivalencia. Estas leyes nos permiten reescribir partes de una expresión sin cambiar su significado global. Las veremos a continuación.

Equivalencias básicas

1) Doble negación

¬(¬p) ≡ p. 

2) Idempotencia

p ∧ p ≡ p

p ∨ p ≡ p

3) Leyes conmutativas

p ∧ q ≡ q ∧ p

p ∨ q ≡ q ∨ p

4) Leyes asociativas

(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)

(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r)

5) Leyes distributivas

p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

Leyes de transformación

1) Leyes de De Morgan

¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q

¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q

2) Definición del condicional

p → q ≡ ¬p ∨ q

3) Definición del bicondicional

p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)

Leyes de reducción

1) Leyes de absorción

p ∧ (p ∨ q) ≡ p

p ∨ (p ∧ q) ≡ p

2) Leyes de identidad: qué sucede cuando operamos con una tautología (V) o una contradicción (F).

p ∧ V ≡ p 

p ∨ F ≡ p 

3) Leyes de dominación

p ∨ V ≡ V

p ∧ F ≡ F 

4) Leyes de inversas

p ∨ ¬p ≡ V 

p ∧ ¬p ≡ F

Más información sobre las leyes de la lógica proposicional

Pasos para simplificar proposiciones lógicas

Podemos seguir esta guía para simplificar expresiones:

1. Eliminar condicionales y bicondicionales: utilizar las definiciones del condicional y bicondicional para reescribir toda la expresión usando únicamente los conectores básicos: conjunción (∧), disyunción (∨) y negación (¬).
2. Aplicar las Leyes de De Morgan: si hay negaciones que afectan a paréntesis completos, como ¬(p ∧ q), usar las leyes de De Morgan para "distribuir" esa negación hasta que afecte sólo a variables proposicionales individuales.
3. Utilizar propiedades distributivas y asociativas: con la expresión compuesta solo por conectivos básicos, aplicar las leyes distributivas para factorizar o expandir términos, según convenga. Las leyes asociativas ayudarán a reagrupar expresiones para facilitar este paso.
4. Buscar absorciones para reducir términos: identificar patrones que se ajusten a las leyes de absorción.
5. Limpiar el resultado final: aplicar leyes de idempotencia para eliminar variables repetidas, y usar las leyes de identidad y dominación para simplificar cualquier constante lógica (V o F) que haya aparecido.

Una manera de comprobar que la simplificación es correcta es usando un comprobador online de equivalencias lógicas o, de manera manual, construyendo ambas tablas de verdad y verificando que coincidan en todas las filas.

Ejercicios resueltos

Simplifique las siguientes proposiciones usando leyes lógicas.

1. (p ∨ q) ∨ ¬p
2. ¬(p ∧ q) ∨ q
3. (p → q) ∧ p
4. p → (q → p)
5. (p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)
6. ¬(p → q) ∨ q
7. (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ q)
8. [(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)] → q
9. ¬[(¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)]
10. ¬p → (p → q)
11. [(p ∧ q) ∨ ¬p] ∧ q
12. [p → (q ∧ ¬q)] ∨ p
13. [(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q)] ∨ q
14. {[(p ∧ ¬q) → p] ∧ [p → (p ∨ q)]}
15. {[(¬p ∨ q) ∧ (p → ¬q)] → ¬q}
16. [(¬p → q) ∧ (q → p)] → (p ∨ ¬q)
17. ¬(p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q)
18. (p → q) ∧ (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)
19. ¬[¬p ∨ ¬(¬q)] ∧ ¬(¬p)
20. ¬[(p → q) ∧ ¬q] ↔ p
21. ¬[(p ↔ ¬q) ∨ q] 
22. q ∧ (¬p → ¬q)
23. (¬p → q) ∧ (p ∨ ¬q)
24. ¬(p ∧ q) ∧ (p ↔ q)
25. [q ∧ (q → ¬p)] → ¬(p ∧ q)

Solución 1

(p ∨ q) ∨ ¬p	Original
p ∨ (q ∨ ¬p)	Asociativa
p ∨ (¬p ∨ q)	Conmutativa
(p ∨ ¬p) ∨ q	Asociativa
V ∨ q	Inversas
V	Dominación

Solución 2

¬(p ∧ q) ∨ q	Original
(¬p ∨ ¬q) ∨ q	De Morgan
¬p ∨ (¬q ∨ q)	Asociativa
¬p ∨ V	Inversas
V	Dominación

Solución 3

(p → q) ∧ p	Original
(¬p ∨ q) ∧ p	Definición de condicional
p ∧ (¬p ∨ q)	Conmutativa
(p ∧ ¬p) ∨ (p ∧ q)	Distributiva
F ∨ (p ∧ q)	Inversas
p ∧ q	Identidad

Solución 4

p → (q → p)	Original
p → (¬q ∨ p)	Definición de condicional
¬p ∨ (¬q ∨ p)	Definición de condicional
¬p ∨ (p ∨ ¬q)	Conmutativa
(¬p ∨ p) ∨ ¬q	Asociativa
V ∨ ¬q	Inversas
V	Dominación

Solución 5

(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)	Original
p ∧ (q ∨ ¬q)	Distributiva inversa (factor común p)
p ∧ V	Inversas
p	Identidad

Solución 6

¬(p → q) ∨ q	Original
¬(¬p ∨ q) ∨ q	Definición de condicional
(¬¬p ∧ ¬q) ∨ q	De Morgan
(p ∧ ¬q) ∨ q	Doble negación
q ∨ (p ∧ ¬q)	Conmutativa
(q ∨ p) ∧ (q ∨ ¬q)	Distributiva
(q ∨ p) ∧ V	Inversas
q ∨ p	Identidad
p ∨ q	Conmutativa

Solución 7

(p ∨ q) ∧ (¬p ∨ q)	Original
q ∨ (p ∧ ¬p)	Distributiva inversa (factor común q)
q ∨ F	Inversas
q	Identidad

Solución 8

[(p ∧ q) ∨ (p ∧ ¬q)] → q	Original
[p ∧ (q ∨ ¬q)] → q	Distributiva inversa (factor común p)
(p ∧ V) → q	Inversas
p → q	Identidad

Solución 9 

¬[(¬p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)]	Original
¬[¬p ∧ (q ∨ ¬q)]	Distributiva (factor común ¬p)
¬[¬p ∧ V]	Inversas
¬¬p	Identidad
p	Doble negación

Solución 10

¬p → (p → q)	Original
¬¬p ∨ (p → q)	Definición de condicional
p ∨ (p → q)	Doble negación
p ∨ (¬p ∨ q)	Definición de condicional
(p ∨ ¬p) ∨ q	Asociativa
V ∨ q	Inversas
V	Dominación

Solución 11

[(p ∧ q) ∨ ¬p] ∧ q	Original
[(p ∨ ¬p) ∧ (q ∨ ¬p)] ∧ q	Distributiva
[V ∧ (q ∨ ¬p)] ∧ q	Inversas
(q ∨ ¬p) ∧ q	Identidad
q	Absorción

Solución 12

[p → (q ∧ ¬q)] ∨ p	Original
[p → F] ∨ p	Inversas
[¬p ∨ F] ∨ p	Definición de condicional
¬p ∨ p	Identidad
V	Inversas

Solución 13

[(p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q)] ∨ q	Original
[¬q ∧ (p ∨ ¬p)] ∨ q	Distributiva (factor común ¬q)
[¬q ∧ V] ∨ q	Inversas
¬q ∨ q	Identidad
V	Inversas

Solución 14

{[(p ∧ ¬q) → p] ∧ [p → (p ∨ q)]}	Original
{[¬(p ∧ ¬q) ∨ p] ∧ [¬p ∨ (p ∨ q)]}	Definición de condicional
{[(¬p ∨ ¬¬q) ∨ p] ∧ [¬p ∨ (p ∨ q)]}	De Morgan
{[(¬p ∨ q) ∨ p] ∧ [¬p ∨ (p ∨ q)]}	Doble negación
{[(¬p ∨ p) ∨ q] ∧ [(¬p ∨ p) ∨ q]}	Asociativa / conmutativa
{[V ∨ q] ∧ [V ∨ q]}	Inversas
{V ∧ V}	Dominación
V	Idempotencia

Solución 15

{[(¬p ∨ q) ∧ (p → ¬q)] → ¬q}	Original
{[(¬p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)] → ¬q}	Definición de condicional
{[¬p ∨ (q ∧ ¬q)] → ¬q}	Distributiva (factor común ¬p)
{[¬p ∨ F] → ¬q}	Inversas
¬p → ¬q	Identidad
¬¬p ∨ ¬q	Definición de condicional
p ∨ ¬q	Doble negación

Solución 16

[(¬p → q) ∧ (q → p)] → (p ∨ ¬q)	Original
[(¬¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)] → (p ∨ ¬q)	Definición de condicional
[(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)] → (p ∨ ¬q)	Doble negación
[(p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)] → (p ∨ ¬q)	Conmutativa
[p ∨ (q ∧ ¬q)] → (p ∨ ¬q)	Distributiva (factor común p)
[p ∨ F] → (p ∨ ¬q)	Inversas
p → (p ∨ ¬q)	Identidad
¬p ∨ (p ∨ ¬q)	Definición de condicional
(¬p ∨ p) ∨ ¬q	Asociativa
V ∨ ¬q	Inversas
V	Dominación

Solución 17

¬(p ∧ q) ∨ (¬p ∨ q)	Original
(¬p ∨ ¬q) ∨ (¬p ∨ q)	De Morgan
¬p ∨ ¬q ∨ ¬p ∨ q	Asociativa
¬p ∨ ¬p ∨ ¬q ∨ q	Conmutativa
¬p ∨ (¬q ∨ q)	Asociativa / Idempotencia
¬p ∨ V	Inversas
V	Dominación

Solución 18

(p → q) ∧ (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q)	Original
(¬p ∨ q) ∧ (p ∨ q) ∧ (¬p ∨ ¬q)	Definición de condicional + De Morgan
[(¬p ∨ q) ∧ (p ∨ q)] ∧ (¬p ∨ ¬q)	Asociativa
[q ∨ (¬p ∧ p)] ∧ (¬p ∨ ¬q)	Distributiva (factor común q)
[q ∨ F] ∧ (¬p ∨ ¬q)	Inversas
q ∧ (¬p ∨ ¬q)	Identidad
(q ∧ ¬p) ∨ (q ∧ ¬q)	Distributiva
(q ∧ ¬p) ∨ F	Inversas
q ∧ ¬p	Identidad
¬p ∧ q	Conmutativa

Solución 19

¬[¬p ∨ ¬(¬q)] ∧ ¬(¬p)	Original
¬[¬p ∨ q] ∧ p	Doble negación
[¬¬p ∧ ¬q] ∧ p	De Morgan
[p ∧ ¬q] ∧ p	Doble negación
p ∧ ¬q ∧ p	Asociativa
p ∧ p ∧ ¬q	Conmutativa
p ∧ ¬q	Idempotencia

Solución 20

¬[(p → q) ∧ ¬q]	Original
¬[(¬p ∨ q) ∧ ¬q]	Definición de condicional
¬[(¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬q)]	Distributiva
¬[(¬p ∧ ¬q) ∨ F]	Inversas
¬[¬p ∧ ¬q]	Identidad
¬¬p ∨ ¬¬q	De Morgan
p ∨ q	Doble negación

Solución 20
¬[(p → q) ∧ ¬q] ↔ p

Proposición	Ley aplicada
¬[(p → q) ∧ ¬q] ↔ p	Original
¬[(¬p ∨ q) ∧ ¬q] ↔ p	Definición de condicional
[¬(¬p ∨ q) ∨ ¬¬q] ↔ p	De Morgan
[(¬¬p ∧ ¬q) ∨ q] ↔ p	De Morgan + Doble negación
[(p ∧ ¬q) ∨ q] ↔ p	Doble negación
[(p ∨ q) ∧ (¬q ∨ q)] ↔ p	Distributiva
[(p ∨ q) ∧ V] ↔ p	Inversas
(p ∨ q) ↔ p	Identidad
[(p ∨ q) → p] ∧ [p → (p ∨ q)]	Definición de bicondicional
[¬(p ∨ q) ∨ p] ∧ [¬p ∨ (p ∨ q)]	Definición de condicional
[(¬p ∧ ¬q) ∨ p] ∧ [¬p ∨ p ∨ q]	De Morgan + Asociativa
[(p ∨ ¬p) ∧ (p ∨ ¬q)] ∧ [V ∨ q]	Distributiva + Inversas
[V ∧ (p ∨ ¬q)] ∧ V	Inversas + Dominación
(p ∨ ¬q) ∧ V	Identidad
p ∨ ¬q	Identidad

Solución 21

¬[(p ↔ ¬q) ∨ q]	Original
¬[((p → ¬q) ∧ (¬q → p)) ∨ q]	Definición de bicondicional
¬[((¬p ∨ ¬q) ∧ (¬¬q ∨ p)) ∨ q]	Definición de condicional
¬[((¬p ∨ ¬q) ∧ (q ∨ p)) ∨ q]	Doble negación
¬[[(¬p ∨ ¬q) ∧ (p ∨ q)] ∨ q]	Conmutativa
¬[[(¬p ∨ ¬q) ∨ q] ∧ [(p ∨ q) ∨ q]]	Distributiva
¬[[¬p ∨ ¬q ∨ q] ∧ [p ∨ q ∨ q]]	Asociativa
¬[[¬p ∨ V] ∧ [p ∨ q]]	Inversas + Idempotencia
¬[V ∧ (p ∨ q)]	Dominación
¬(p ∨ q)	Identidad
¬p ∧ ¬q	De Morgan

Solución 22

q ∧ (¬p → ¬q)	Original
q ∧ (¬¬p ∨ ¬q)	Definición de condicional
q ∧ (p ∨ ¬q)	Doble negación
(q ∧ p) ∨ (q ∧ ¬q)	Distributiva
(q ∧ p) ∨ F	Inversas
q ∧ p	Identidad
p ∧ q	Conmutativa

Solución 23

(¬p → q) ∧ (p ∨ ¬q)	Original
(¬¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)	Definición de condicional
(p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q)	Doble negación
p ∨ (q ∧ ¬q)	Distributiva (factor común p)
p ∨ F	Inversas
p	Identidad

Solución 24

¬(p ∧ q) ∧ (p ↔ q)	Original
(¬p ∨ ¬q) ∧ [(p → q) ∧ (q → p)]	De Morgan + Definición de bicondicional
(¬p ∨ ¬q) ∧ [(¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)]	Definición de condicional
(¬p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ p)	Asociativa
[¬p ∨ (¬q ∧ q)] ∧ (¬q ∨ p)	Distributiva (factor común ¬p)
[¬p ∨ F] ∧ (¬q ∨ p)	Inversas
¬p ∧ (¬q ∨ p)	Identidad
(¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ p)	Distributiva
(¬p ∧ ¬q) ∨ F	Inversas
¬p ∧ ¬q	Identidad

Solución 25

[q ∧ (q → ¬p)] → ¬(p ∧ q)	Original
[q ∧ (¬q ∨ ¬p)] → ¬(p ∧ q)	Definición de condicional
[q ∧ (¬q ∨ ¬p)] → (¬p ∨ ¬q)	De Morgan
[(q ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p)] → (¬p ∨ ¬q)	Distributiva
[F ∨ (q ∧ ¬p)] → (¬p ∨ ¬q)	Inversas
(q ∧ ¬p) → (¬p ∨ ¬q)	Identidad
¬(q ∧ ¬p) ∨ (¬p ∨ ¬q)	Definición de condicional
(¬q ∨ ¬¬p) ∨ (¬p ∨ ¬q)	De Morgan
(¬q ∨ p) ∨ (¬p ∨ ¬q)	Doble negación
¬q ∨ p ∨ ¬p ∨ ¬q	Asociativa
¬q ∨ ¬q ∨ p ∨ ¬p	Conmutativa
¬q ∨ (p ∨ ¬p)	Asociativa + Idempotencia
¬q ∨ V	Inversas
V	Dominación