Cómo despejar logaritmos

En este artículo explicamos cómo despejar un logaritmo tanto si la incógnita está en el argumento o en la base. También veremos cómo despejar un exponente usando logaritmos.

Incógnita dentro del logaritmo

Ejemplo 1: despeje de un logaritmo decimal (base 10)

Resolver *\log(5x-1)=3*

Solución

Para despejar el logaritmo de base 10, utilizaremos la operación inversa: la exponenciación con base 10. Ya que el logaritmo está aislado en el lado izquierdo, expresamos ambos lados como exponentes de base 10:

*\log(5x-1)=3*

*{\color{green}10}^{\log(5x-1)}={\color{green}10}^3*

Por propiedades de los logaritmos, cuando hay un número elevado a un logaritmo de la misma base, el resultado es lo que está dentro del logaritmo (el argumento), es decir, la ecuación anterior se transforma en:

*5x-1=10^3*

Con esto, se ha eliminado el logaritmo y la ecuación puede resolverse despejando la incógnita:

*5x-1=1000*

*5x=1000+1*

*5x=1001*

*x=\dfrac{1001}{5}=200,2*

Comprobamos que esta solución es correcta reemplazando en la ecuación original:

*\log(5x-1)=3*

*\log(5\cdot 200,2 -1)=3*

*\log(1001-1)=3*

*\log(1000)=3*

*3=3*

Ejemplo 2: despeje de un logaritmo natural (base e)

Resuelva *\ln(-3-5x)=2*

Solución

Para despejar el logaritmo natural, aplicamos la exponenciación con base e (la base de ln), de modo similar al ejemplo anterior.

*\ln(-3-5x)=2*

*{\color{green}e}^{\ln(-3-5x)}={\color{green}e}^2*

Aplicamos la misma propiedad para quitar el logaritmo y dejar solo su argumento y luego despejamos la x.

*-3-5x=e^2*

*-5x=e^2+3*

*x=-\dfrac{e^2+3}{5}*

El resultado puede dejarse así o realizar una aproximación racional:

*x=-\dfrac{e^2+3}{5}≈-2,08*

Comprobamos el resultado reemplazando en la ecuación original. Lo hacemos con la expresión exacta para evitar errores de redondeo:

*\ln(-3-5x)=2*

*\ln\left(-3-5\cdot \dfrac{e^2+3}{-5}\right)=2*

*\ln(-3+e^2+3)=2*

*\ln(e^2)=2*

*2=2*

Ejemplo 3

Resolver *\log_3 (2x)-2=2*

Solución

Para despejar la x dentro del argumento, primero aislamos el logaritmo dejándolo en un miembro de la ecuación. Se puede conseguir sumando 2 a ambos miembros:

*\log_3 (2x)-2+2=2+2*

*\log_3 (2x)=4*

Ahora exponenciamos ambos lados. Como la base del logaritmo es 3, usaremos ese número como base:

*\log_3 (2x)=4*

*3^{\log_3 (2x)}=3^4*

Por propiedades de la logaritmación, queda:

*2x=3^4*

*2x=81*

Ahora podemos despejar la x:

*x=\dfrac{81}{2}*

Comprobamos que esta solución es correcta reemplazando en la ecuación original:

*\log_3 (2x)-2=2→\log_3 (2\cdot \frac{81}{2})-2=2*

*\log_3 (81)=4*

*4=4*

Ejemplo 4

Resolver la ecuación logarítmica *\log_2(2x+1)=4*

Solución

Debemos despejar x dentro del logaritmo, para ello seguimos los pasos que vimos en el ejemplo anterior. El logaritmo es binario así que se usará la base 2 para despejarlo.

*\log_2(2x+1)=4*

*2^{\log_2(2x+1)}=2^4*

*2x+1=16*

*2x=15*

*x=\dfrac{15}{2}*

Comprobación: 

*\log_2(2x+1)=4*

*\log_2(2\cdot \frac{15}{2}+1)=4*

*\log_2(16)=4*

*4=4*

Ejemplo 5

Resolver *\log(x)+\log(x+2)=\log(4x)*

Solución

En este caso solo aparecen logaritmos en la ecuación. En el primer miembro podemos usar la propiedad de la suma de logaritmos de igual base para reescribirlo como un producto:

*\log(x)+\log(x+2)=\log(4x)*

*\log(x(x+2))=\log(4x)*

Como tenemos una igualdad de logaritmos, los argumentos deben ser iguales:

*\log(x(x+2))=\log(4x)*

*x(x+2)=4x*

*x^2+2x=4x*

*x^2-2x=0*

*x(x-2)=0*

*x=0~~~* o *~~~x=2*

La solución *x=0* se descarta porque no existe *\log(0),* entonces, la solución es *x=2.*

Comprobación:

*\log(x)+\log(x+2)=\log(4x)*

*\log(2)+\log(2+2)=\log(4\cdot 2)*

*\log(2)+\log(4)=\log(8)*

*\log(8)=\log(8)* (por suma de logaritmos)

Ejemplo 6

Resolver la ecuación logarítmica *\ln(2)+\ln(\frac{x}{2})=1*

Solución

La suma de logaritmos del primer miembro se puede escribir como el logaritmo del producto. Para despejar el logaritmo natural, usamos de base el número e.

*\ln(2)+\ln\left(\dfrac{x}{2}\right)=1*

*\ln\left(2\cdot \dfrac{x}{2}\right)=1*

*\ln(x)=1*

*e^{\ln(x)}=e^1*

*x=e*

Ejemplo 7

Resolver *\log(5x)=2-\log(x-1)*

Solución

Procedemos pasando todos los logaritmos a un miembro y aplicando propiedades para escribirlo como un solo logaritmo. Para despejar el logaritmo decimal, usamos de base el número 10. 

*\log(5x)=2-\log(x-1)*

*\log(5x)+\log(x-1)=2*

*\log(5x(x-1))=2*

*10^{\log(5x(x-1))}=10^2*

*5x(x-1)=100*

*5x^2-5x-100=0*

Ahora podemos usar la fórmula resolvente para ecuaciones cuadráticas:

*x=\dfrac{+5±\sqrt{(-5)^2-4\cdot 5\cdot (-100)}}{2\cdot 5}*

*x=\dfrac{5±\sqrt{2025}}{10}*

*x=\dfrac{5±45}{10}*

*x=5~~~* o *~~~x=-4*

Tenemos dos soluciones posibles. Descartamos *x=-4* porque reemplazando en la ecuación original nos quedaría *\log(-20)=2-\log(-5),* pero no existen los logaritmos de números negativos. Por tanto, la solución es *x=5.*

Ejemplo 8

Resolver la ecuación logarítmica *\log(22-x)=-1+\log(x)*

Solución

Pasamos los logaritmos a un mismo miembro y aplicamos propiedad de resta de logaritmos para reescribirlo como un cociente. Para despejar el logaritmo decimal, nuevamente usamos la base 10.

*\log(22-x)=-1+\log(x)*

*\log(22-x)-\log(x)=-1*

*\log\left(\dfrac{22-x}{x}\right)=-1*

*10^{\log(\frac{22-x}{x})}=10^{-1}*

*\dfrac{22-x}{x}=\dfrac{1}{10}*

*10(22-x)=x*

*220-10x-x=0*

*-11x=-220*

*x=\dfrac{-220}{-11}*

*x=20*

Incógnita en la base

Ejemplo 1

Resolver la ecuación *\log_x(25)=2*

Solución

Recordemos que la definición de logaritmo dice que *\log_a(b)=x* si y sólo si *a^x=b.* Es decir, la base elevada a lo que está en el segundo miembro debe ser igual al argumento. Aplicando esto a nuestra ecuación:

 *\log_x(25)=2~* si y sólo si *~x^2=25*

Ahora tenemos una ecuación cuadrática que podemos despejar sencillamente:

*x^2=25*

*x=±\sqrt{25}*

*x=±5*

*x=5~~* o *~~x=-5*

Tenemos dos soluciones posibles. Descartamos *x=-5* porque la base de un logaritmo no puede ser negativa. Entonces, la solución es *x=5.*

Ejemplo 2

Resolver *\log_{x-1}(8)=3*

Solución

Si escribimos el logaritmo en forma exponencial, podremos despejar la x:

*\log_{x-1}(8)=3~~* si y solo si *~~(x-1)^3=8*

*(x-1)^3=8*

*x-1=\sqrt[3]{8}*

*x-1=2*

*x=3*

Ejemplo 3

Resolver *\log_x(25)=3-\log_x(5)*

Solución

Para resolver esta ecuación, aislamos en el primer miembro a los logaritmos y aplicamos propiedades para convertirlo en un solo logaritmo. Luego, pasamos a forma exponencial.

*\log_x(25)=3-\log_x(5)*

*\log_x(25)+\log_x(5)=3*

*\log_x(25\cdot 5)=3*

*\log_x(125)=3*

En forma exponencial: *x^3=125,* aplicando raíz cúbica a ambos miembros:

*x=\sqrt[3]{125}*

*x=5*

Ejemplo 4

Resolver la ecuación *\log_{2x}(3+x)=1*

Solución

En este caso, tenemos incógnita tanto en el argumento como en la base. Podemos proceder escribiendo en forma exponencial y luego resolviendo como es habitual.

*\log_{2x}(3+x)=1~~* si y sólo si *~~(2x)^1=3+x*

*(2x)^1=3+x*

*2x=3+x*

*2x-x=3*

*x=3*

Incógnita en un exponente

Ejemplo 1

Resolver la ecuación exponencial *3^x-3=240*

Solución

Comenzamos dejando al término con incógnita a un lado de la ecuación.

*3^x-3=240*

*3^x=240+3*

*3^x=243*

Ahora aplicamos logaritmos a los dos lados de la ecuación. Como el exponente con la incógnita tiene base 3, usamos un logaritmo de esa base:

*3^x=243*

*\log_3(3^x)=\log_3(243)*

Por propiedad del logaritmo de una potencia, el exponente se multiplica al logaritmo. Luego, podemos despejar la x:

*\log_3(3^x)=\log_3(243)*

*x\cdot \log_3(3)=\log_3(243)*

*x=\dfrac{\log_3(243)}{\log_3(3)}*

*x=\dfrac{5}{1}*

*x=5*

Cómo calcular logaritmos con y sin calculadora

Ejemplo 2

Resolver *-40+7^{3x-1}=9*

Solución

Procedemos acomodando la expresión y aplicando logaritmo de base 7 para despejar la incógnita.

*-40+7^{3x-1}=9*

*7^{3x-1}=9+40*

*7^{3x-1}=49*

*\log_7 (7^{3x-1})=\log_7(49)*

*(3x-1) \log_7(7)=\log_7(49)*

*(3x-1)(1)=2*

*3x-1=2*

*3x=3*

*x=1*

Ejemplo 3

Despejar t de la ecuación *(2a)^{t/3}=5*

Solución

Podemos aplicar logaritmos de base a para despejar la incógnita t.

*(2a)^{t/3}=5*

*\log_a (2a)^{t/3}=\log_a (5)*

*(t/3) \log_a (2a)=\log_a (5)*

*\dfrac{t}{3}=\dfrac{\log_a (5)}{\log_a (2a)}*

*t=3\dfrac{\log_a (5)}{\log_a (2a)}*

Aunque ya se ha logrado el despeje, la última expresión puede simplificarse aún más usando la propiedad del cambio de base:

*t=3\dfrac{\log_a (5)}{\log_a (2a)}*

*t=3\log_{2a} (5)*

Ejercicios para practicar

Bibliografía

• Abálsamo, R., Berio, A., Mastucci, S., Quirós, N. y De Rossi, F. (2013). Matemática 5. Puerto de Palos.
• Leithold, L. (1994). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Oxford University Press.
• Rojas Hincapié, C. (2022). Matemáticas de secundaria: grados 8-9. Fondo Editorial RED Descartes.
• Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. Pearson Educación.
• Swokowski, E. y Cole, J. (2009). Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. Cengage Learning.
• Zill, D. y Dewar, J. (2012). Álgebra, trigonometría y geometría analítica (3ra edición). McGraw Hill.

Infografías