Límites trigonométricos indeterminados del tipo 0/0

En este artículo explicamos cómo resolver límites indeterminados que involucran funciones trigonométricas con ejemplos y ejercicios resueltos. 

Existen una serie de límites trigonométricos útiles de los cuales conocemos el valor y podemos usar para calcular otros límites. El primero es llamado el límite fundamental, los otros dos se derivan del primero.

Nombre	Fórmula
Límite fundamental del seno	*\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}=1*
Límite derivado del coseno	*\lim_{x\to 0} \dfrac{\cos x-1}{x}=0*
Límite fundamental de la tangente	*\lim_{x\to 0} \dfrac{\tan x}{x}=1*

Identidades trigonométricas útiles para calcular límites

Propiedad	Fórmula
La tangente es igual al seno sobre coseno	*\tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}*
Identidades pitagóricas	*\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1* *1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)* *1 + \cot^2(x) = \csc^2(x)*
Identidades recíprocas	*\csc(x) = \dfrac{1}{\sin(x)}* *\sec(x) = \dfrac{1}{\cos(x)}* *\cot(x) = \dfrac{1}{\tan(x)}*
Identidades de ángulo doble	*\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)* *\cos(2x)=\cos^2(x) - \sin^2(x)* *\tan(2x)=\dfrac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}*
Identidades de suma y resta	*\sin(a \pm b) = \sin(a)\cos(b) \pm \cos(a)\sin(b)* *\cos(a \pm b) = \cos(a)\cos(b) \mp \sin(a)\sin(b)* *\tan(a \pm b) = \dfrac{\tan(a) \pm \tan(b)}{1 \mp \tan(a)\tan(b)}*

Ejercicios resueltos

Ejercicio 1

Calcular *\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\sin x}*

Solución

El límite es muy parecido al fundamental, pero numerador y denominador están invertidos. Sin embargo, podemos resolverlo usando artificios algebraicos y propiedades de límites:

*\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\sin x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{x\cdot (1/x)}{\sin x\cdot (1/x)}*

*=\lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{x}{x}}{\dfrac{\sin x}{x}}=\lim_{x\to 0} \dfrac{1}{\dfrac{\sin x}{x}}*

*=\dfrac{\lim_{x\to 0} 1}{\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}}=\dfrac{1}{1}=1*

Por tanto, *\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\sin x}=1*

Ejercicio 2

Obtener *\lim_{x\to 0}\dfrac{2x}{\tan x}*

Solución

Podemos recurrir a una identidad trigonométrica para reescribir esta expresión y luego usar propiedades algebraicas y de límites.

*\lim_{x\to 0}\dfrac{2x}{\tan x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{2x}{\dfrac{\sin x}{\cos x}}*

*=\lim_{x\to 0}\dfrac{2x\cos x}{\sin x}=2\cdot \lim_{x\to 0}\dfrac{x\cos x}{\sin x}*

*=2\cdot \lim_{x\to 0} \left(\dfrac{x}{\sin x}\cdot \cos x\right)*

*=2\cdot \left(\lim_{x\to 0} \dfrac{x}{\sin x}\right)\left(\lim_{x\to 0}\cos x\right)*

*=2\cdot (1)\cdot (1)=2*

Entonces: *\lim_{x\to 0}\dfrac{2x}{\tan x}=2*

Ejercicio 3

Determinar *\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-x+\sin x}{2x}*

Solución

Recurrimos a propiedades algebraicas y de límites para reescribir y resolver.

*\lim_{x\to 0}\dfrac{x^2-x+\sin x}{2x}=\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{x^2-x}{2x}+\dfrac{\sin x}{2x}\right)*

*=\lim_{x\to 0} \dfrac{x^2-x}{2x}+\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{2x}*

*=\lim_{x\to 0} \dfrac{x(x-1)}{2x}+\dfrac{1}{2} \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}* 

*=\lim_{x\to 0} \dfrac{x-1}{2}+\dfrac{1}{2} \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x}* 

*=\dfrac{0-1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot 1=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=0*

Ejercicio 4

Encontrar *\lim_{x\to 0}\dfrac{x+x\cos x}{\sin x \cos x}*

Solución

*\lim_{x\to 0}\dfrac{x+x\cos x}{\sin x \cos x}=\lim_{x\to 0}\left(\dfrac{x}{\sin x \cos x}+\dfrac{x\cos x}{\sin x \cos x}\right)*

*=\lim_{x\to 0}\left( \dfrac{x}{\sin x \cos x}+\dfrac{x}{\sin x}\right)*

*=\lim_{x\to 0} \dfrac{x}{\sin x}\cdot \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{\cos x}+\lim_{x\to 0} \dfrac{x}{\sin x}*

*=1\cdot 1+1=2*

Ejercicio 5

Hallar *\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x^2\cot 3x}*

Solución

*\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x^2\cot 3x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x^2\dfrac{1}{\tan(3x)}}*

*=\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x\cdot \tan(3x)}{x^2}*

*=\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}\cdot \dfrac{\tan(3x)}{x}*

*=\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}\cdot 3\cdot \lim_{x\to 0} \dfrac{\tan(3x)}{3x}*

*=1\cdot 3\cdot 1=3*

Ejercicio 6

Calcular *\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan^2 x}{x}*

Solución

*\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan^2 x}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{x}*

*=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin^2 x}{x \cos^2 x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x \sin x}{x \cos^2 x}*

*=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}\cdot \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{\cos^2 x}*

*=1\cdot \dfrac{0}{1}=0*

Ejercicio 7

Determinar *\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin^2 t}{t^2}*

Solución

*\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin^2 t}{t^2}=\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t\cdot \sin t}{t\cdot t}*

*=\lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t} \cdot \lim_{t\to 0} \dfrac{\sin t}{t}=1\cdot 1=1*

Ejercicio 8

Obtener *\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin (\sin x)}{\sin x}*

Solución

Haciendo *u=\sin x, u\to 0* cuando *x\to 0,* entonces:

*\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin (\sin x)}{\sin x}=\lim_{u\to 0}\dfrac{\sin (u)}{u}=1*

Ejercicio 9

Hallar *\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 5x}{\sin4x}*

Solución

En este caso tenemos una división de senos con diferentes argumentos lineales, podemos aplicar propiedades para probar que el valor del límite es el cociente de los argumentos.

*\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 5x}{\sin4x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{x\sin 5x}{x\sin4x}*

*=\lim_{x\to 0}\dfrac{5\cdot 4x\sin 5x}{4\cdot 5x\sin4x}*

*=\dfrac{5}{4} \cdot \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 5x}{5x}\cdot \lim_{x\to 0}\dfrac{4x}{\sin 4x}*

*=\dfrac{5}{4} \cdot 1 \cdot 1=\dfrac{5}{4}*

Ejercicio 10

Calcular *\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin (mx)}{\sin(nx)}*

Solución

Ahora resolvemos el caso general en base a lo que hicimos en el ejercicio anterior.

*\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin (mx)}{\sin(nx)}=\lim_{x\to 0}\dfrac{mnx\sin (mx)}{nmx\sin(nx)}*

*=\dfrac{m}{n}\cdot \lim_{x\to 0}\dfrac{nx\sin (mx)}{mx\sin(nx)}*

*=\dfrac{m}{n}\cdot \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin (mx)}{mx}\lim_{x\to 0} \dfrac{nx}{\sin(nx)}*

*=\dfrac{m}{n}\cdot 1\cdot 1=\dfrac{m}{n}*

Ejercicio 11

Determinar *\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{\sin2x}*

Solución

Podemos aplicar lo que vimos anteriormente.

*\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{\sin2x}=\dfrac{3}{2}*